Bab 1 PENGERTIAN SISTEM LINIER

BAB I

PENDAHULUAN :

PENGERTIAN SISTEM LINIER

1.1 Pengertian Sistem

Pada beberapa aplikasi pemrosesan sinyal kita berharap mendesain suatu alat atau algoritma yang melakukan beberapa operasi tertentu pada sinyal, divais atau algoritma seperti itu dinamakan sistem. Secara lebih jelas sistem dapat didefinisikan sebagai desain alat atau algoritma yang beroperasi pada sinyal (waktu) yang dinamakan masukan (input) atau eksitasi, menurut beberapa aturan yang terdefinisi dengan baik/jelas (biasanya berbentuk persamaan matematis), untuk menghasilkan sinyal (waktu) yang dinamakan keluaran (output) atau respons sistem. Kita biasa katakan sinyal x(t) ditransformasikan oleh sistem menjadi y(t). Hubungan x(t) dan y(t) ditulis dengan :

y(t)  [x(t)] (1.1)

dengan simbol  menunjukkan transformasi , atau pemrosesan dilakukan oleh sistam pada x(t) untu menghasilkan y(t). Hubungan matematis x(t) dan y(t) ditunjukkan pada persamaan (1.2) dan digambarkan secara grafis pada gambar (1.1)

x(t) y(t)

Gambar 1.1 Blok Diagram Sistem Hubungan matematis x(t) dan y(t) :



1.2 Klasifikasi Sistem

Sistem dapat diklasifikasikan pada beberapa macam , yaitu :

1.2.1 Sistem Linier dan Nonlinier

Sistem linier adalah sistem yang memenuhi hukum superposisi. Prinsip superposisi adalah respons sistem (keluaran) terhadap jumlah bobot sinyal akan sama dengan jumlah bobot yang sesuai dari respon (keluaran) sistem terhadap masing-masing sinyal masukan individual. Karena itu linieritas dapat didefinisikan sebagai berikut.

Teorema : Sistem adalah linier jika dan hanya jika

[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1 [x1(t)] + a2[x2(t)] (1.3)

untuk setiap deret masukan x1(t) dan x2(t) yang berubah-ubah dan setiap konstanta a1

dan a2 yang berubah-ubah.

Gambar 1.2 dibawah ini memberikan ilustrasi dari superposisi x1(t)

a1

y(t)

x2(t)

a2

x1(t) a1

y’(t)

x2(t)

a2

+



+



Gambar 1.2 Tampilan Grafis Prinsip Superposisi,  linier jika dan hanya jika y(t) = y’(t) Sistem yang tidak memenuhi prinsip superposisi seperti diberikan pada definisi diatas, dinamakan sistem nol-linier.

Contoh : Jika sistem sistem didiskripsikan dengan persamaan masukan- keluaran sebagai berikut, tentukan apakah sistem linier atau non-linier.

(a) y(t) = t x(t) (b) y(t) = x2_{(t) (c) y(t) = Ax(t) + B}

(d) y(t) = 5 x” + 7 x’ + 3x

Jawab :

(a) Untuk dua deret masukan x1(t) dan x2(t) keluaran yang sesuai adalah :

y1(t) = t x1(t)

(1.4) y2(t) = t x2(t)

Kombinasi linier dari kedua deret masukan menghasilkan keluaran : y3(t) = [a1x1(t) + a2x2(t)] = t[a1x1(t) + a2x2(t)]

= a1 tx1(t) + a2 tx2(t) (1.5)

Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.4) menghasilkan keluaran : ay1(t) + ay2(t) = a1 tx1(t) + a2 tx2(t) (1.6)

Karena ruas kanan dari persamaan (1.5) dan (1.6) identik , maka sistem tersebut linier

(b) seperti pada bagian (a) kita dapatkan respons sistem terhadap dua sinyal masukan secara terpisah x1(t) dan x2(t), hasilnya adalah :

y1(t) = x12(t)

y3(t) = [a1x1(t) + a2x2(t)] = [a1x1(t) + a2x2(t)]2

= a12x12(t) + 2a1a2x1(t)x2(t) + a22x22(t) (1.8)

Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.7) menghasilkan keluaran : ay1(t) + ay2(t) = a1 x12(t) + a2 x22(t) (1.9)

Karena ruas kanan dari persamaan (1.8) dan (1.9) tidak sama , maka sistem tersebut

non-linier

Dengan cara yang sama soal (c) dan (d) dapat anda gunakan sebagai latihan.

Kuliah ini diarahkan pada sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik, karena itu perlu diketahui, semua sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik akan merupakan sistem linier, dengan syarat :

1. Rangkaian listriknya tidak mengandung sumber tak bebas.

2. Rangkaian listriknya mengandung sumber tak bebas yang bergantungnya linier.

1.2.2 Sistem Invarian waktu dan varian waktu

Sistem dinamakan invarian waktu, jika karakteristik masukan-keluaran tidak berubah menurut waktu. Secara terperinci, anggaplah keluaran y(t) adalah transformasi dari x(t), sehingga dapat kita tulis :

y(t) = [x(t)] (1.10)

Sekarang anggap sinyal masukan yang sama ditunda k sekon untuk menghasilkan x(t-k), dan juga dipakai sistem yang sama. Jika karakteristik sistem tidak berubah dengan waktu, maka keluaran sistem akan menjadi y(t-k), yakni keluaran akan sama seperti respons terhadap x(t), kecuali bahwa ia akan ditunda k sekon, yang sama dengan penundaan masukannya. Karen itu dapat kita definisikan sistem invarian waktu sebagai berikut.

Teorema : Suatu sistem adalah invarian waktu jika dan hanya jika



x(t) y(t)

akan mamberikan



x(t-k) y(t-k)

untuk setiap sinyal masukan x(t) dan setiap pergeseran k sekon.

Untuk keperluan uji coba respons sistem dari x(t-k) atau [x(t)] dinotasikan dengan y(n,k) , sehingga dapat ditulis :

y(t,k ) = [x(t)]

Sekarang dapat kita katakan suatu sistem invarian waktu, jika dan hanya jika : y(t,k ) = y(t-k)

Contoh soal :

Selidikilah apakah sistem-sistem dibawah ini invarian waktu atau varian waktu ?

(a)

y(t) = [x(t)] = x(t) – x(t-1)

(b)

y(t) = [x(t)] = t x(t)

(c)

y(t) = [x(t)] = x(-t)

(d)

y(t) = [x(t)] = x(t) cos ot

Jawab :

(a) y(t,k) = x(t-k) – x(t-k-1) (1.11)

y(t-k) = x(t-k) – x(t-k-1) (1.12)

Karena ruas kanan persamaan (1.13) dan (1.14) berbeda, maka sistem tersebut varian waktu

(c) y(t,k) = x(-t-k) (1.15)

y(t-k) = x (-(t-k)) = x(-t+k) (1.16)

Karena ruas kanan persamaan (1.15) dan (1.16) berbeda, maka sistem tersebut varian waktu

(d) y(t,k) = x(t-k) cos ot (1.17)

y(t-k) = x(t-k) cos o(t-k)

Karena ruas kanan persamaan (1.15) dan (1.16) berbeda, maka sistem tersebut varian waktu

Sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik akan selalu merupakan sistem invarian waktu, dengan syarat resistor, induktor dan kapasitor bukan merupakan besaran yang berubah terhadap waktu.

Sistem linier dan dan sekaligus invarian waktu disebut sistem LTI (linier, time invarian)

1.2.3 Sistem Statis dan Dinamis

Suatu sistem dinamakan statis atau tanpa memori jika dan hanya jika keluaran untuk setiap waktu t hanya bergantung pada masukan untuk waktu yang sama, bukan pada masukan sebelum atau sesudahnya, sebaliknya suatu sistem dinamakan dinamis atau akan mempunyai memori, jika dan hanya jika keluaran sistem untuk setiap waktu t secara mutlak bergantung pada masukan sebelumnya.

Contoh :

(1) Sistem statis (tanpa memori) : y(t) = a x(t)

y(t) = a x(t) + b x2_(t)

y(t) = x(t) + 3 x(t –1) y(t) = x(t – 2) + 5 x(t-4) y(t) = x(t-k)

y(t) = x(t-k)

1.2.4 Sistem Sebab Akibat (Causal) dan Bukan Ssbab Akibat (Non-Causal)

Teorema : Suatu sistem dikatakankausal jika dan hanya jika keluaran sistem untuk setiap waktu hanya bergantung pada masukan sekarang dan sebelumnya [yaitu x(t), x(t-1), x(t-2), …] dan tidak bergantung pada masukan yang akan datang [dengan kata lain, x(t+1), x(t+2), …]. Dalam bahasa matematis, keluaran sistem kausal memenuhi persamaan dalam bentuk :

y(t) = f[x(t), x(t-1), x(t –2), x(t – 3), …] (1.18)

Jika sistem tidak memenuhi definisi diatas, disebut non- kausal . Sistem seperti itu mempunyai keluaran tidak hanya bergantung pada masukan sekarang dan sebelumnya saja, tapi juga bergantung pada masukan yang akan datang juga. Jelas sistem non-kausal tidak dapat direalisasikan sistem waktu-real, tapi hanya dapat direalisasikan untuk untuk sistem off-line (waktu non-real).

Contoh soal :

Tentukan apakah sistem dideskripsikan dibawah ini merupakan sistem kausal atau non-kausal :

(a) y(t) = x(t) – x(t-1) (b) y(t) = x2_(t)

c) y(t) = Ax(t) + B (d) y(t) = x(t – 2) + 5 x(t-4)

(e) y(t) = x(t2_{) (f) y(t) = x(2t)}

(g) y(t) = x(-t)

Jawab:

Sistem yang dideskripsikan pada bagian (a), (b) dan (c) jelas kausal dan sistem yang dideskripsikan pada bagian (d), (e) ,(f) dan (g) jelas non-kausal

Stabilitas merupakan sifat penting yang harus dipertimbangkan dalam setiap aplikasi praktis dari sistem. Sistem yang tidak stabil biasanya memunculkan sifat tak menentu dan sifat perbedaan yang mencolok dan menyebabkan aliran berlebih (overflow) dalam setiap implementasi praktis. Dibawah ini kita akan mendefinisikan secara matematis apa yang kita maksud dengan sistem stabil.

Teorema : Suatu sistem berelaksasi (bertransformasi) yang berubah-ubah dikatakan menjasi stabil masukan terbatas – keluaran terbatas (bounded input-bounded output = BIBO) jika dan hanya jika setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran terbatas.

Kondisi masukan x(t) dan keluaran y(t) terbatas diterjemahkan secara matematis dengan arti bahwa terdapat beberapa angka terbatas , sebut saja Mx dan My,

sehingga

x(t)  Mx < y(t)  My <  (1.19)

Contoh :

Perhatikan sistem yang dideskripsikan dengan persamaan masukan – keluaran : y(t) = y2_{(t) + x(t)}

sebagai deret nasukan kita memilih sinyal terbatas x(t) = C (t)

dengan C adalah konstanta . Kita juga mangasumsikan y(-1) = 0, maka deret keluarannya adalah :

y(0) = C, y(1) = C2_{, y(2) = C}4_{, …….., y(t) = C}2t

Jelasnya, keluarannya tak terbatas, bila 1 <  C  <  . Oleh karena itu, sistem ini tidak stabil BIBO, karena deret masukan terbatas menghasilkan keluaran tak terbatas.

y3(t) = [a1x1(t) + a2x2(t)] = [a1x1(t) + a2x2(t)]2

= a12_x12_{(t) + 2a1a2x1(t)x2(t) + a2}2_x22_{(t) (1.8)} Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.7) menghasilkan keluaran :

ay1(t) + ay2(t) = a1 x12_{(t) + a2 x2}2_{(t) (1.9)}

Karena ruas kanan dari persamaan (1.8) dan (1.9) tidak sama , maka sistem tersebut

non-linier

Dengan cara yang sama soal (c) dan (d) dapat anda gunakan sebagai latihan.

Kuliah ini diarahkan pada sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik, karena itu perlu diketahui, semua sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik akan merupakan sistem linier, dengan syarat :

1. Rangkaian listriknya tidak mengandung sumber tak bebas.

2. Rangkaian listriknya mengandung sumber tak bebas yang bergantungnya linier.

1.2.2 Sistem Invarian waktu dan varian waktu

Sistem dinamakan invarian waktu, jika karakteristik masukan-keluaran tidak berubah menurut waktu. Secara terperinci, anggaplah keluaran y(t) adalah transformasi dari x(t), sehingga dapat kita tulis :

y(t) = [x(t)] (1.10)

Sekarang anggap sinyal masukan yang sama ditunda k sekon untuk menghasilkan x(t-k), dan juga dipakai sistem yang sama. Jika karakteristik sistem tidak berubah dengan waktu, maka keluaran sistem akan menjadi y(t-k), yakni keluaran akan sama seperti respons terhadap x(t), kecuali bahwa ia akan ditunda k sekon, yang sama dengan penundaan masukannya. Karen itu dapat kita definisikan sistem invarian waktu sebagai berikut.

Teorema : Suatu sistem adalah invarian waktu jika dan hanya jika



x(t) y(t)

akan mamberikan



x(t-k) y(t-k)

untuk setiap sinyal masukan x(t) dan setiap pergeseran k sekon.

Untuk keperluan uji coba respons sistem dari x(t-k) atau [x(t)] dinotasikan dengan y(n,k) , sehingga dapat ditulis :

y(t,k ) = [x(t)]

Sekarang dapat kita katakan suatu sistem invarian waktu, jika dan hanya jika : y(t,k ) = y(t-k)

Contoh soal :

Selidikilah apakah sistem-sistem dibawah ini invarian waktu atau varian waktu ?

(a)

y(t) = [x(t)] = x(t) – x(t-1)

(b)

y(t) = [x(t)] = t x(t)

(c)

y(t) = [x(t)] = x(-t)

(d)

y(t) = [x(t)] = x(t) cos ot

Jawab :

(a) y(t,k) = x(t-k) – x(t-k-1) (1.11)

y(t-k) = x(t-k) – x(t-k-1) (1.12)

Ruas kanan persamaan (1.11) dan (1.12) identik, maka sistem tersebut invarian waktu

(b) y(t,k) = t x(t-k) (1.13)

Karena ruas kanan persamaan (1.13) dan (1.14) berbeda, maka sistem tersebut varian waktu

(c) y(t,k) = x(-t-k) (1.15)

y(t-k) = x (-(t-k)) = x(-t+k) (1.16)

Karena ruas kanan persamaan (1.15) dan (1.16) berbeda, maka sistem tersebut varian waktu

(d) y(t,k) = x(t-k) cos ot (1.17)

y(t-k) = x(t-k) cos o(t-k)

Karena ruas kanan persamaan (1.15) dan (1.16) berbeda, maka sistem tersebut varian waktu

Sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik akan selalu merupakan sistem invarian waktu, dengan syarat resistor, induktor dan kapasitor bukan merupakan besaran yang berubah terhadap waktu.

Sistem linier dan dan sekaligus invarian waktu disebut sistem LTI (linier, time invarian)

1.2.3 Sistem Statis dan Dinamis

Suatu sistem dinamakan statis atau tanpa memori jika dan hanya jika keluaran untuk setiap waktu t hanya bergantung pada masukan untuk waktu yang sama, bukan pada masukan sebelum atau sesudahnya, sebaliknya suatu sistem dinamakan dinamis atau akan mempunyai memori, jika dan hanya jika keluaran sistem untuk setiap waktu t secara mutlak bergantung pada masukan sebelumnya.

Contoh :

(1) Sistem statis (tanpa memori) : y(t) = a x(t)

y(t) = a x(t) + b x2_(t)

y(t) = x(t) + 3 x(t –1) y(t) = x(t – 2) + 5 x(t-4) y(t) = x(t-k)

y(t) = x(t-k)

1.2.4 Sistem Sebab Akibat (Causal) dan Bukan Ssbab Akibat (Non-Causal)

Teorema : Suatu sistem dikatakankausal jika dan hanya jika keluaran sistem untuk setiap waktu hanya bergantung pada masukan sekarang dan sebelumnya [yaitu x(t), x(t-1), x(t-2), …] dan tidak bergantung pada masukan yang akan datang [dengan kata lain, x(t+1), x(t+2), …]. Dalam bahasa matematis, keluaran sistem kausal memenuhi persamaan dalam bentuk :

y(t) = f[x(t), x(t-1), x(t –2), x(t – 3), …] (1.18)

Jika sistem tidak memenuhi definisi diatas, disebut non- kausal . Sistem seperti itu mempunyai keluaran tidak hanya bergantung pada masukan sekarang dan sebelumnya saja, tapi juga bergantung pada masukan yang akan datang juga. Jelas sistem non-kausal tidak dapat direalisasikan sistem waktu-real, tapi hanya dapat direalisasikan untuk untuk sistem off-line (waktu non-real).

Contoh soal :

Tentukan apakah sistem dideskripsikan dibawah ini merupakan sistem kausal atau non-kausal :

(a) y(t) = x(t) – x(t-1) (b) y(t) = x2_(t)

c) y(t) = Ax(t) + B (d) y(t) = x(t – 2) + 5 x(t-4) (e) y(t) = x(t2_{) (f) y(t) = x(2t)}

(g) y(t) = x(-t)

Jawab:

Sistem yang dideskripsikan pada bagian (a), (b) dan (c) jelas kausal dan sistem yang dideskripsikan pada bagian (d), (e) ,(f) dan (g) jelas non-kausal

Stabilitas merupakan sifat penting yang harus dipertimbangkan dalam setiap aplikasi praktis dari sistem. Sistem yang tidak stabil biasanya memunculkan sifat tak menentu dan sifat perbedaan yang mencolok dan menyebabkan aliran berlebih (overflow) dalam setiap implementasi praktis. Dibawah ini kita akan mendefinisikan secara matematis apa yang kita maksud dengan sistem stabil.

Teorema : Suatu sistem berelaksasi (bertransformasi) yang berubah-ubah dikatakan menjasi stabil masukan terbatas – keluaran terbatas (bounded input-bounded output = BIBO) jika dan hanya jika setiap masukan terbatas menghasilkan keluaran terbatas.

Kondisi masukan x(t) dan keluaran y(t) terbatas diterjemahkan secara matematis dengan arti bahwa terdapat beberapa angka terbatas , sebut saja Mx dan My, sehingga

x(t)  Mx < y(t)  My <  (1.19)

Contoh :

Perhatikan sistem yang dideskripsikan dengan persamaan masukan – keluaran :

y(t) = y2_{(t) + x(t)}

sebagai deret nasukan kita memilih sinyal terbatas

x(t) = C (t)

dengan C adalah konstanta . Kita juga mangasumsikan y(-1) = 0, maka deret keluarannya adalah :

y(0) = C, y(1) = C2_{, y(2) = C}4_{, …….., y(t) = C}2t

Jelasnya, keluarannya tak terbatas, bila 1 <  C  <  . Oleh karena itu, sistem ini tidak stabil BIBO, karena deret masukan terbatas menghasilkan keluaran tak terbatas.