414
Metode Numerik
8.10.4 Pro se d ur Pe nd a hulua n
PDB hanya mempunyai satu nilai awal, yaitu y = yx
. Dengan demikian, metode banyak-langkah tidak swa-mulai self-start, sehingga tidak dapat diterapkan langsung,
sebab metode tersebut memerlukan beberapa buah nilai awal. Inilah kelemahan metode banyak-langkah.
Misalkan predictor mempunyai persamaan
y
r+1
= y
r
+
h 12
23f
r
- 16f
r-1
+ 5f
r-2
Untuk menghitung y
3
, kita harus mempunyai nilai y , y
1
, dan y
2
agar nilai f
= fx , y
, f
1
= fx
1
, y
1
, f
2
= fx
2
, y
2
dapat ditentukan. Untuk mendapatkan beberapa nilai awal yang lain, kita harus melakukan prosedur pendahuluan starting procedure dengan metode PDB yang
bebas. Metode PDB yang sering dijadikan sebagai prosedur pendahuluan adalah: -
metode Euler -
metode Runge-Kutta -
metode deret Taylor Jadi, untuk contoh predictor di atas, y
1
dan y
2
dihitung terlebih dahulu dengan salah satu prosedur pendahuluan. Selanjutnya, metode P-C dapat dipakai untuk
menghitung y
3
, y
4
, ..., y
n
.
Program 8.7 Metode Adams-Bashforth-Moulton function y_Adams_Bashforth_Moultonx0, y0, b, h:real:real;
{menghitung yb dengan metode Adams_Bashforth_moulton pada PDB y=fx,y; yx0=y0 }
var r, n: integer;
x, y, y0, y1, y2, y3 : real; begin
n:=b-x0h; {jumlah langkah} y0:=y0;
{nilai awal dari PDB} {Prosedur pendahuluan untuk menghitung nilai awal lain, y1, y2, y3}
y1:=y_RK3x0, y0, x0+h, h; {yx1}
y2:=y_RK3x0, y0, x0+2h, h; {yx2}
y3:=y_RK3x0, y0, x0+3h, h; {yx3}
x:=x0 + 3h; { x3 }
for r:=4 to n do begin
y:=y3 + h24-9fx-3h, y0 + 37fx-2h, y1 - 59fx-h, y2 + 55fx, y3;
y:=y3 + h24fx-2h, y1-5fx-h, y2 + 19fx,y3 + 9fx+h,y;
y0:=y1; y1:=y2;
Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
415
y2:=y3; y3:=y;
x:=x+h; titik berikutnya }
end; y_Adams_Bashforth_Moulton:=y;
end;
8.10.5 Ke id e a la n Me to d e
Pre d ic to r
-
C o rre c to r
Metode predictor-corrector dikatakan ideal jika galat per langkah predictor mempunyai orde yang sama dengan galat per langkah corrector:
galat per langkah predictor : Y
r+1
- y
r+1
≈ A
r
h
p
galat per langkah corrector : Y
r+1
- y
r+1
≈ α
A
r
h
p
dengan α
adalah tetapan yang diketahui. Metode Adams-Bashforth-Moulton, metode Milne-Simpson, dan metode Hamming adalah metode P-C yang ideal.
Metode Heun adalah metode P-C yang tidak ideal, karena
galat per langkah predictor : E
p
= Y
r+1
- y
r+1
≈ 2
1 y th
2
≈ Ah
2
galat per langkah corrector : E
p
= Y
r+1
- y
r+1
≈ -
12 1
y
th
3
≈ Bh
3
Jika sebuah metode P-C ideal, kita dapat memperoleh nilai y
r+1
yang lebih baik improve sebagai berikut:
1 +
r
y
- y
r+1
= A
r
h
p
P.8.45
1 +
r
y
- y
r+1
= α
A
r
h
p
P.8.46 dengan
1 +
r
y
adalah taksiran yang lebih baik dari pada y
r+1
. Rumus
1 +
r
y
dapat diperoleh dengan membagi persamaan P.8.45 dengan persamaan P.8.46:
1 1
1 1
+ +
+ +
− −
r r
r r
y y
y y
=
p r
p r
h A
h A
α =
α 1
⇔
1 +
r
y
- Y
r+1
= α
y
r+1
- α
y
r+1
416
Metode Numerik
⇔
1 +
r
y
1 - α
= y
r+1
- α
y
r+1
⇔
1 +
r
y
= α
α −
−
+ +
1
1 1
r r
y y
⇔
1 +
r
y
= α
−
+
1
1 r
y -
α α
−
+
1
1 r
y
⇔
1 +
r
y
=
α α
α −
+ −
+ +
1 1
1 1
r r
y y
- α
α −
+
1
1 r
y
⇔
1 +
r
y
= α
α −
−
+
1 1
1 r
y +
α −
+
1
1 r
y -
α α
−
+
1
1 r
y
⇔
1 +
r
y
= y
r+1
+
α α
− 1
y
r+1
- y
r+1
P.8.47 Suku
α 1-
α
y
r+1
- y
r+1
pada persamaan P.8.47 merupakan taksiran galat per langkah untuk menghitung
1 +
r
y
, dan menyatakan faktor koreksi terhadap nilai y
r+1
. Jadi, untuk mendapatkan taksiran nilai y
r+1
yang lebih baik, tambahkan y
r+1
dengan faktor koreksi tersebut.
Contoh 8.7
Tentukan perkiraan galat per langkah untuk nilai y
r+1
yang lebih baik dengan metode Adams-Bashforth-Moulton.
Penyelesaian:
galat per langkah predictor : E
p
= y
r+1
- y
r+1
≈
251 720
y
5
th
5
galat per langkah corrector : E
p
= y
r+1
- y
r+1
≈
-19 720
y
5
th
5
Dari persamaan galat di atas, diperoleh A
r
= 251720 dan α
A
r
= -19720 Nilai
α ditentukan sebagai berikut:
⇔ α
A
r
= -19720 ⇔
α 251720 = -19720
⇔ α
= -19251
Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
417 Sehingga,
1 +
r
y
= y
r+1
+
251 19
1 251
19 +
−
y
r+1
- y
r+1
= y
r+1
-
270 19
y
r+1
- y
r+1
Jadi, taksiran galat per langkah untuk nilai y
r+1
adalah E
p
≈
-19 270
y
r+1
- y
r+1
8.11 Pe m iliha n Ukura n La ng ka h ya ng O ptim a l
Kategori