Me to de De re t Ta ylo r

Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa 393

8.6 Me to de De re t Ta ylo r

Kita sudah melihat bahwa metode Euler diturunkan dengan menggunakan deret Taylor. Deret Taylor pada penurunan metode Euler dipotong sampai suku orde pertama sehingga solusinya kurang teliti. Kita dapat meningkatkan ketelitian dengan memotong deret sampaisuku yang lebih tinggi lagi. Metode deret Taylor adalah metode yang umum untuk menurunkan rumus-rumus solusi PDB. Metode Euler merupakan metode deret Taylor yang paling sederhana. Diberikan PDB yx = fx,y dengan kondisi awal yx = y Misalkan y r+1 = yx r+1 , r = 0,1,…,n adalah hampiran nilai y di x r+1 . Hampiran ini diperoleh dengan mengu raikan y r+1 di sekitar x r sebagai berikut: yx r+1 = yx r + 1 1 r r x x − + yx r + 2 2 1 r r x x − + yx r + 3 3 1 r r x x − + yx r + … + 1 n x x n r r − + y n x r atau yx r+1 = yx r + hyx r + 2 2 h yx r + 6 3 h yx r + … + n y h n n x r P.8.19 Persamaan P.8.19 menyiratkan bahwa untuk menghitung hampiran nilai y r+1 , kita perlu menghitung yx r , yx r ,…, y n x r , yang dapat dikerjakan dengan rumus y k x = P k-1 fx, y P.8.20 yang dalam hal ini, P adalah operator turunan, P = x ∂ ∂ + f y ∂ ∂ P.8.21 394 Metode Numerik Contoh 8.3 Diketahui PDB dydx = ½ x - ½ y ; y0 = 1 Tentukan y0.50 dengan metode deret Taylor h = 0.25. Penyelesaian: x = 0 → y = 1 x 1 = 0.25 → y 1 = ? yx 1 = yx + hyx + 2 2 h yx + 6 3 h yx + … + n h n y n x + … Misal kita hanya menghitung yx 1 sampai suku orde ke-4 saja. yx = ½ x - ½ y yx = dx d ½ x - ½ y = ½ + f . -12 = ½ - ½ x - ½ y . ½ = ½ - ¼ x + ¼ y yx = dx d ½ - ¼ x + ¼ y = -14 + f . 14 = -14 + ½ x - ½ y . ¼ = -14 + x8 - y8 y 4 x = dx d 14 + 18 x - 18 y = 18 + f . -18 = 18 - x2 - y2 . 18 = 18 - x16 + y16 Diperoleh: yx = y0 = 1 yx = y0 = ½ × 0 - ½ × 1 = -12 yx = y0 = ½ - ¼ × 0 + ¼ × 1 = 34 yx = y0 = -14 + 18 × 0 - 18 × 1 = - 38 y 4 x = y 4 0 = 18 - 116 × 0 + 116 × 1 = 316 sehingga Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa 395 yx 1 = 1 + 0.25 -12 + 0.25 2 2 34 + 0.25 3 6 -38 + 0.25 4 24 316 = 0.8974915 x 2 = 0.50 → y 2 = ? yx 2 = yx 1 + hyx 1 + 2 2 h yx 1 + 6 3 h yx 1 + … + n h n y n x 1 = … Diperoleh: yx 1 = 0.8974915 yx 1 = 120.25 - 120.8974915 = -0.3237458 yx 1 = ½ - ¼ 0.25 + 140.8974915 = 0.6618729 yx 1 = -14 + 180.25 - 180.8974915 = -0.3309634 y 4 x 1 = 18 - 1160.25 + 116.8974915 = 0.1654682 Sehingga, y 2 = 0.8974915 + 0.25 -0.3237458 + 0.25 2 20.6618729 + 0.25 3 6-0.3309634 + 0.25 4 240.1654682 = 0.8364037 Jadi, y0.50 ≈ 0.8364037 Bandingkan dengan solusi sejati, y0.50 = 0.8364023 Galat Metode Deret Taylor Galat perlangkah metode deret Taylor setelah pemotongan ke-n adalah E t ≈ 1 1 1 + + + n f h n n t, x t x r+1 P.8.22 = Oh n+1 Pada Contoh 8.1, galat per langkahnya adalah E p ≈ 5 5 h f 5 t, 0 t 0.50 Karena t tidak diketahui, kita hanya dapat menghitung batas atas dan batas bawah galat E p dalam selang-buka 0, 50. Galat longgokan total metode deret Taylor adalah: 396 Metode Numerik E L = 1 1 + + n h n f n+1 t = h a b − 1 1 + + n h n f n+1 t = b - a 1 1 + + n t f n h n P.8.23 = Oh n

8.7 O rde Me to de PDB