Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
379 ⇔
lnp = kt + C
2
- C
1
= kt + C , dengan C = C
2
- C
1
⇔ p = e
kt + C
= e
kt
e
C
= p e
kt
, dengan p = e
C
Jadi, solusi analitiknya adalah pt = p
e
kt
dengan p adalah jumlah bakteri pada waktu t = 0. Bila p
= p0 diketahui, maka solusi yang unik dapat diperoleh. Dengan cara yang sama, solusi unik persamaan
P.8.3 juga dapat dihitung secara analitik bila diketahui besar arus pada t = 0 adalah i0 = 0, yaitu
it = ER1 - e
-RtL
Setelah persamaan it diperoleh, besar arus pada sembarang waktu t dapat dihitung.
Metode numerik untuk persamaan diferensial memainkan peranan sangat penting bagi rekayasawan, karena dalam prakteknya sebagian besar persamaan
diferensial tidak dapat diselesaikan secara analitik. Metode numerik dipakai para rekayasawan untuk memperoleh solusi persaman diferensial. Bila metode analitik
memberikan solusi persamaan diferensial dalam bentuk fungsi menerus, maka metode numerik memberikan solusi persamaan diferensial dalam bentuk farik.
Upabab berikut ini membahas berbagai metode numerik untuk menghitung solusi PDB orde satu.
8.3 PDB O rde Sa tu
Bentuk baku PDB orde satu dengan nilai awal ditulis sebagai y = fx, y
dengan nilai awal yx = y
P.8.4 Catatan: Kadang-kadang y ditulis sebagai dydx. Jadi, y = dydx.
PDB orde satu yang tidak mengikuti bentuk baku tersebut harus ditulis ulang menjadi bentuk persamaan P.8.4, agar ia dapat diselesaikan secara numerik.
380
Metode Numerik
Contoh 8.3
Contoh-contoh persamaan berikut adalah persamaan diferensial biasa dan trans formasinya ke dalam bentuk baku PDB orde 1:
i 2 y + xy = 100 ; y0 = 1 Bentuk baku: y = 100 - xy2 ; y0 = 1
ii -xy + 2yx = y - y ; y1 = -1
Bentuk baku: y =
x y
x y
+ +
1 2
; y1 = -1 Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi di x
r+1
= x
r
+ h, dengan h adalah ukuran langkah step setiap lelaran. Pada metode analitik, nilai
awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada metode numerik nilai awal initial value pada persamaan P.8.4 berfungsi untuk memulai
lelaran. Terdapat beberapa metode numerik yang sering digunakan untuk menghitung solusi PDB, mulai dari metode yang paling dasar sampai dengan metode yang
lebih teliti, yaitu 1. Metode Euler
2. Metode Heun 3. Metode Deret Taylor
4. Metode Runge-Kutta 5. Metode predictor-corrector.
8.4 Me to de Eule r
Diberikan PDB orde satu, y = dydx = fx, y dan nilai awal yx
= y Misalkan
y
r
= yx
r
adalah hampiran nilai y di x
r
yang dihitung dengan metode Euler. Dalam hal ini x
r
= x + rh,
r = 0,1,2,... n. Metoda Euler diturunkan dengan cara menguraikan yx
r+1
di sekitar x
r
ke dalam deret Taylor:
Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
381 yx
r+1
= yx
r
+ 1
1 r
r
x x
−
+
yx
r
+ 2
2 1
r r
x x
−
+
yx
r
+ ... P.8.5
Bila persamaan P.8.5 dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh yx
r+1
≈ yx
r
+ 1
1 r
r
x x
−
+
yx
r
+ 2
2 1
r r
x x
−
+
yt , x
r
t x
r+1
P.8.6 Berdasarkan persamaan P.8.4,
yx
r
= fx
r
, y
r
dan x
r+1
- x
r
= h maka persamaan P.8.6 dapat ditulis menjadi
yx
r+1
≈ yx
r
+ hfx
r
, y
r
+
2
2
h
yt P.8.7
Dua suku pertama persamaan P.8.7, yaitu yx
r+1
= yx
r
+ hfx
r
, y
r
; r = 0, 1, 2, ..., n P.8.8
menyatakan metode Euler atau metode Euler-Cauchy. Metode Euler disebut juga metode orde-pertama, karena pada persamaan P.8.7 kita hanya
mengambil sampai suku orde pertama saja. Untuk menyederhanakan penulisan, persamaan P.8.8 dapat juga ditulis lebih singkat sebagai
y
r+1
= y
r
+ hf
r
Selain dengan bantuan deret Taylor, metode Euler juga dapat diturunkan dengan cara yang berbeda. Sebagai contoh, misalkan kita menggunakan aturan segiempat untuk
mengintegrasi-kan fx,y pada persamaan diferensial
y = fx, y ; yx = y
Integrasikan kedua ruas dalam selang [x
r
, x
r+1
]:
382
Metode Numerik
∫ ∫
+ +
=
1 1
,
r r
r r
x x
x x
dx x
y x
f dx
x y
Gunakan aturan segiempat untuk mengintegrasikan ruas kanan, menghasilkan: yx
r+1
- yx
r
= hfx
r
, yx
r
atau yx
r+1
= yx
r
+ hfx
r
, y
r
yang merupakan metode Euler.
8.4.1 Ta fsira n G e o m e tri Me to d e PDB
Pikirkanlah kembali bahwa fx,y dalam persamaan diferensial menyatakan gradien garis singgung kurva di titik x,y. Kita mulai menarik garis singgung dari titik
x , y
dengan gradien fx , y
dan berhenti di titik x
1
, y
1
, dengan y
1
dihitung dari persamaan P.8.8. Selanjutnya, dari titik x
1
, y
1
ditarik lagi garis dengan gradien fx
1
, y
1
dan berhenti di titik x
2
, y
2
, dengan y
2
dihitung dari persamaan P.8.8. Proses ini kita ulang beberapa kali, misalnya sampai lelaran ke-n, sehingga
hasilnya adalah garis patah-patah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2.
L y
x x
x
1
x
2
x
3
x
n-1
x
n
y=f x
gradien fx
n-1
,y
n-1
L
Gambar 8.2 Tafsiran geometri metode PDB
Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
383
y
r+1
sejati y
r+1
y
r
x
r
x
r+1
x y
yx
B C
A h
Gambar 8.3 Tafsiran geometri untuk penurunan metode Euler
Berdasarkan tafsiran geometri pada Gambar 8.2, kita juga dapat menurunkan metode Euler. Tinjau Gambar 8.3. Gradien m garis singgung di x
r
adalah m = y x
r
= fx
r
, y
r
= x
y ∆
∆ =
AB BC
= h
y y
r r
−
+ 1
⇔ y
r+1
= y
r
+ hfx
r
, y
r
yang tidak lain adalah persamaan metode Euler.
8.4.2 A na lisis G a la t Me to d e Eule r
Meskipun metode Euler sederhana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotongan
truncation error dan galat longgokan cumulative error. Galat
pemotongan dapat langsung ditentukan dari persamaan P.8.7, yaitu E
p
≈ 2
1 h
2
yt = Oh
2
P.8.9 Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga disebut
juga galat per langkah error per step atau galat lokal. Semakin kecil nilai h yang berarti semakin banyak langkah perhitungan, semakin kecil pula galat hasil
perhitungannya. Perhatikan bahwa nilai pada setiap langkah y
r
dipakai lagi pada langkah berikutnya y
r+1
. Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r
ini disebut galat longgokan cumulative error. Jika langkah dimulai dari x
= a
384
Metode Numerik
dan berakhir di x
n
= b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir y
n
adalah
h t
y a
b t
y h
h a
b t
y h
n t
y h
E
n r
total
2 2
2 2
1
2 2
1 2
− =
− =
= =
∑
=
P.8.10 Galat longgokan total ini sebenarnya adalah
E
total
= yb
sejati
- yx
n Euler
Persamaan P.8.10 menyatakan bahwa galat longgokan sebanding dengan h. Ini berarti metode Euler memberikan hampiran solusi yang buruk, sehingga dalam
praktek metode ini kurang disukai, namun metode ini membantu untuk memahami gagasan dasar metode penyelesaian PDB dengan orde yang lebih
tinggi. Pengurangan h dapat meningkatkan ketelitian hasil, namun pengurangan h tanpa penggunaan bilangan berketelitian ganda tidaklah menguntungkan karena
galat numerik meningkat disebabkan oleh galat pembulatan [NAK93]. Selain galat pemotongan, solusi PDB juga mengandung galat pembulatan, yang
mempengaruhi ketelitian nilai y
1
, y
2
, …, semakin lama semakin buruk dengan meningkatnya n baca kembali Bab 2 Deret Taylor dan Analisis Galat.
Program 8.1 Metode Euler function y_Eulerx0, y0, b, h:real:real;
{menghitung nilai yb pada PDB y=fx,y; yx0=y0
dengan metode Euler }
var r, n: integer;
x, y: real; begin
