Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
419 Diketahui:
x = 0
→ y
= 1 ε
= 0.00001 Dengan ukuran langkah h = 1 dan h = 0.5, metode Runge-Kutta orde-4 menghasilkan
y
1
= y 1; 1 = 0.4566667 y
1
= y 1; 0.5 = 0.4559973 Nilai B dihitung dengan persamaan P.8.53:
B =
15 16
5
1 4559973
. 4566667
. −
= 0 .00063 Jadi, ukuran langkah yang optimal agar galat per langkah metode Runge-Kutta orde-4
kurang dari ε
ialah h 0.000010.00063
15
= 0.44
8.12 Siste m Pe rsa m a a n Dife re nsia l
Dalam bidang sains dan rekayasa, persamaan diferensial banyak muncul dalam bentuk simultan, yang dinamakan sistem persamaan diferensial, sebagai berikut:
y
1
= dx
dy
1
= f
1
x, y
1
, y
2
,…, y
n
, y
1
x = y
10
y
2
= dx
dy
2
= f
2
x, y
1
, y
2
,…, y
n
, y
2
x = y
20
M y
n
= dx
dy
n
= f
n
x, y
1
, y
2
,…, y
n
, y
n
x = y
n0
P.8.54 Sistem persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam notasi vektor sebagai berikut:
y = f x, y
, yx = y
P.8.55 yang dalam hal ini,
420
Metode Numerik
y
1
y
1
f
1
1
y
y
2
y
2
f
2
2
y
y =
. , y = . , f = . , y = .
. .
. .
. .
. .
y
n
y
n
f
n
n
y
Semua metode yang telah dijelaskan untuk persamaan tunggal Euler, Runge- Kutta, dll. dapat diterapkan pada sistem persamaan di atas.
Contoh 8.9
Diketahui sistem PDB orde-1
dt dy
= -0.5 y , y0 = 4
dt dz
= 4 - 0.3z - 0.1 y , z0 = 6
Hitung y0.5 dan z0.5 dengan a metode Euler, dan b metode Runge-Kutta orde 3. Ambil h = 0.5.
Penyelesaian
:
y =
z y
, y =
z
y
, f =
2 1
f f
=
−
− −
y z
y 1
. 3
. 4
5 .
y =
6 4
Sistem PDB di atas dapat ditulis menjadi y = f t, y, yt = y
a Dengan metode Euler y
r+1
= y
r
+ hf t
r
, y
r
: y
r+1
= y
r
+ hf
1
t
r
, y
r
, z
r
z
r+1
= z
r
+ hf
2
t
r
, y
r
, z
r
t = 0
→ y
= 4 dan z = 6
t = 0.5
→ y
1
= y0.5 = y + hf
1
t , y
, z = 4 + 0.5{-0.54} = 3
z
1
= z0.5 = z + hf
2
t , y
, z = 6 + 0.5{4 - 0.36 - 0.14} = 6.9
Bab 8 Solusi Persamaan Diferensial Biasa
421 b Dengan metode Runge-Kutta orde-3,
k
1
= hf t
r
, y
r
, k
2
= hf t
r
+ h2, y
r
+ k
1
2 k
2
= hf t
r
+h, y
r
- k
1
+ 2k
2
y
r+1
= y
r
+ 16k
1
+ 4k
2
+ k
3
t = 0
→ y
= 4 t
1
= 0.5 →
y
1
= ? k
1
= hf
1
t , y
, z = 0.5 {-0.54} = -1
k
2
= hf
1
t + h2, y
+ k
1
2, z + k
1
2 = 0.5f
1
0.25, 3.5, 5.5 = 0.5{-0.53.5}
= -0.875 k
3
= hf
1
t + h, y
- k
1
+ 2k
2
, z - k
1
+ 2k
2
= 0.5 f
1
0.5, 3.25, 6.815 = 0.5{-0.53.25}
= -0.8125 sehingga
y
1
= y0.5 = y +
1 6
k
1
+ 4k
2
+ k
3
= 4 +
1 6
{-1 + 4-0.875 + -0.8125} = 3.114583
t = 0
→ z
= 6 t
1
= 0.5 →
z
1
= ? k
1
= hf
2
t , y
, z = 0.5 {4 - 0.36 - 0.14} = 0.9
k
2
= hf
2
t + h2, y
+ k
1
2, z + k
1
2 = 0.5 f
2
0.25, 4.45, 6.45 = 0.5{4 - 0.36.45 - 0.14.45}
= 0.81 k
3
= hf
2
t + h, y
- k
1
+ 2k
2
, z - k
1
+ 2k
2
= 0.5 f
2
0.5, 4.72, 6.72 = 0.5{4 - 0.36.72 - 0.14.72}
= 0.756 sehingga
z
1
= z0.5 = z + 16k
1
+ 4k
2
+ k
3
= 6 + 16 {0.9 + 40.81 + 0.756} = 6.816
422
Metode Numerik
8.13 Pe rsa m a a n Dife re nsia l O rde La njut
