2
BAB 1 PENGANTAR METODE NUMERIK
Metode Numerik Secara Umum
Model matematika fisika, kimia, ekonomi, teknik, dsb Seringkali model matematika tidak ideal rumit
Model matematika rumit tidak dapat diselesaikan dengan Metode Analitik untuk
mendapatkan solusi eksak.
Metode analitik metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus
aljabar yang sudah baku lazim.
Contoh ilustrasi : 1.
Tentukan akar-akar persamaan polinom:
2. Tentukan harga x yang memnuhi persamaan:
Soal 1 tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom. Solusi untuk 1 memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan atau menguraikan
polinom menjadi perkalian beberapa suku. Kendala: semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya.
Soal 2 masih sejenis dengan soal 1 yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua
persamaan.
Metode Analitik VS Metode Numerik
Metode analitik memberi solusi eksak, yaitu solusi yang memiliki galat error sama dengan nol.
Metode analitik hanya dapat digunakan pada kasus-kasus tertentu. Nilai praktis penyelesaian metode analitik, terbatas.
Metode Numerik teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik
sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitunganaritmatika biasa. Secara harfiah, metode numerik cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.
3 Perbedaan antara metode numeriK dan metode analitik adalah :
Metode Numerik Metode Analitik
Solusi selalu berbentuk angka Solusi dalam bentuk fungsi matematika
Solusi berupa hampiran atau pendekatan Solusi eksak Terdapat galat error
Tidak ada galat galat=0
Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa
Dalam bidang rekayasa, kebutuhan menemukan solusi persoalan secara praktis adalah jelas.
Masih banyak cara penyelesaian persoalan matematis yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk kurang kongkrit.
Penyelesaian analitik, kurang berguna bagi rekayasawan. Banyak persoalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan
secara hampiran. Contoh kasus :
Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100oC. Kemudian, pada saat t = 0, bola dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30oC. Setelah 3 menit, suhu bola berkurang menjadi
70
o
C. Tentukan suhu bola setelah 22,78 menit. Diketahui tetapan pendingin bola logam itu adalah 0,1865.
Jawab:
Dengan menggunakan Hukum Pendingin Newton
k = tetapan pendingan bola logam = 0,1865 Untuk menentukan suhu bola pada t = 22,78 menit, persamaan differensial harus diselesaikan
agar suhu T sebagai fungsi dari waktu t ditemukan. Persamaan differensial
metode kalkulus diferensial cari sendiri???. Solusi umumnya adalah:
Tt=ce
-kt
+ 30 Nilai awal yang diberikan T0 = 100
4 Tt=70e
-0,1865t
+30 Dengan memasukkan t=22,78 ke dalam persamaan T, diperoleh T= 31
o
C. Bagi rekayasawan, solusi persamaan differensial yang berbentuk fungsi kontinu, tidak terlalu
penting. Dalam praktik di lapangan, rekayasawan hanya ingin mengetahui berapa suhu bola logam setelah t tertentu. Rekayasawan cukup memodelkan sistem ke dalam persamaan
differensial, lalu solusi untuk t dicari secara numerik.
Apakah Metode Numerik Hanya untuk Persoalan Matematika Rumit Saja?
Metode numerik berlaku umum, yakni dapat diterapkan untuk menyelesaikan persoalan matematika sederhana yang juga dapat diselesaikan dengan metode analitik, maupun
persoalan matematika yang rumit. Peranan Komputer dalam Metode Numerik
Perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasinya, terkadang butuh suatu pengulangan, sehingga perhitungan manual terkesan
menjemukan. Komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.
Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk membuat program. Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer yang
dapat membantu mencari alternatif solusi, akibat perubahan beberapa parameter serta dapat meningkatkan tingkat ketelitian dengan mengubah-ubah nilai parameter.
Jelas bahwa kecepatan tinggi, kehandalan, dan flesibikitas komputer memberikan akses untuk menyelesaikan masalah-masalah di dunia nyata.
Contoh: solusi sistem persamaan linier yang besar menjadi lebih mudah dan cepat diselesaikan dengan komputer.
Alasan Mempelajari Metode Numerik
Sebagai alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, seperti mampu menangani sistem persamaan linear, ketidaklinearan dan geometri yang rumit, yang
dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis. Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program.
Mampu merancang program sendiri sesuai persalahan yang dihadapi pada masalah
rekayasa.
5 Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer
dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis. Menangani galat suatu nilai hampirandari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari
paket program yang berskala besar. Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu
kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi- operasi matematika yang mendasar.
Tahap Pemecahan Secara Numeris
Pemodelan Penyederhanan Model
Formulasi Numerik
o menentukan metode numerik yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal.
o Pertimbangan pemilihan metode
Apakah metode tersebut teliti? Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat?
Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data.
o Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
Pemrograman
translate
algoritma program komputer
Operasional pengujian program dengan data uji Evaluasi intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numerik, pengambilan
keputusan untuk menjalankan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.
Peran Ahli Informatika dalam Metode Numerik
Tahap 1, dan 2 melibatkan para pakar di bidang persoalan yang bersangkutan. Dimana peran orang informatika?
Infromataikawan berperan dalam tahap 3, 4, dan 5. Agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang informatika juga ikut
dilibatkan dalam memodelkan. Tahap 6 memerlukan kerjasama informatikawan dengan para pakar di bidang yang
bersangkutan. Bersama-sama pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang diperoleh.
6
Turunan
1 1
x x
m y
y
1 1
x x
y y
m
a x
x f
y x
f y
x f
m
1 1
1
1 1
a x
a f
a f
x p
a x
a f
x p
a f
a x
a f
x f
x f
x x
e x
f e
x f
Logx→natural logaritmiclnx Misal:
,
a e
x f
x
1
a x
a f
a f
x P
x x
x e
e a
x e
e
a a
1 1
1
Selesaikan
1. dx² = �
2. d1+x²-2x³ = � – �²
3.
1 1
−�
�
=
−�
= − �
− � −�
−
� −�
.
� −� ��
= − − �
−
− = − �
−
=
−�
4.
1+� �
=
� +� ��
=
� +� � +�
.
� +� ��
= +
�
−
= +
�
−
=
+�
7 5.
1+2 �
5 10
�
=
� + � ��
=
� + � �� + �
.
� + � ��
= +
� �
6.
�−1 2
�+5
�
=
� �− �+
��
=
��− ��
. �+ –
� �+ ��
. �−
�+
=
�+ − �− �+
7.
�
2
−1 2−3�
4
�
= =
� � − − � ��
= uv + vu =
�� − ��
2- � +
� − � ��
� − = 2x2-
� + − � � −
= �− � + − � + �
= − � + � + �
8.
cos �
2
�
=
� � � � ��
=
� � � � � �
�� ��
= −�� � �
= − � �� �
9.
ln � �
=
�
10.
ln 1−� �
=
� � −� � −�
.
� −� ��
=
−�
− =
− −�
11.
�
2
−3�
2 3
�
=
�� − � � � − �
.
� � − � ��
= � − �
−
� −
8 12.
1−�2 �+1
�
=
=
�
−� �+
��
=
� −� ��
�+ −
��+ ��
−� �+
=
−�
−
− � �+ − −� �+
=
−�
−
− � − � − −� �+
=
− � − �−
� �+
− − � =
− � − �− −�
−� �+
=
− � − �− + � −� �+ ²
=
− �− −�²�+ ²
=
− �+ − �+ −�²
=
− �+ −�²
13.
3
1−�
2
�
= =
� ��� −� ��� −� � −� ��� −� � −� ��
= 3 ��� − � � � − � − �
= -6x ��� − � � � − �
9
BAB 2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT