21 Contoh
Diketahui : � = �
6
− � − 1 = 0 dengan � = 0,001 pada selang 1,2 Iterasi
a B
c fa
fb fc
b-c 1
1 2
1,02 -1
61 0,89
0,98 2
1,02 2
1,04 -0,94
61 -0,77
0,96 3
1,04 2
1,06 -0,77
61 -0,64
0,94 4
1,06 2
1,07 -0,64
61 -0,56
0,93 5
1,07 2
1,08 -0,56
61 -0,49
0,92 6
1,08 2
1,09 -0,49
61 0,91
7 1,09
2 dst
e 2
2 2 0,983870967
1,016129032
Metode Terbuka
Metode Terbuka dibagi menjadi 3 yaitu: 1.
Metode Iterasi Titik Tetap 2.
Metode Newton – Rhapson 3.
Metode Secant
1. Metode Iterasi Titik Tetap
Metode iterasi titik tetap disebut juga metode iterasi sederhana, metode langsung, atau metode substitusi beruntun.
Jika dipunyai persamaan secara aljabar dapat dibentuk menjadi
. Maka prosedur iterasi yang berpadanan adalah
.
22 Selanjutnya membuat nilai awal
, kemudian menghitung nilai sedemikian
hingga konvergen ke akar sejati
agar memenuhi dan
. Iterasi akan berhenti jika :
ℇ
atau δ
dengan ℇ
dan
δ telah ditetapkan sebelumnya
Contoh : Carilah akar persamaan
gunakan metode iteresi titik tetap dengan ℇ=0,000001
Penyelesaian :
Diket :
Ditanya : akar persamaan ? i.
prosedur iterasi yang bersesuaian
Untuk mencari =
23 =3,31662479
:
=0,68337
r
4 -
1 3,316625
0,683375 2
3.103748 0,212877
3 3.034385
0,069362 4
3,011440 0,022945
5 3,00,3811
0,007629 6
3, 001270 0,002541
7 3, 000423
0,000847 8
3, 000141 0,000282
9 3, 000047
0,000094 10
3,000016 0,000031
11 3,000005
0,000010 12
3,000002 0,000003
13 3,000001
0,000001 14
3,000000 0,000000
Hampiran akar = 3 konvergen monoton ii.
→ prosedur iterasi yang bersesuaian
24 Tebakan awal
r
4.000000 -
1 1.500000
2,500000 2
-6.000000 7,500000
3 -0,375000
5,625000 4
-1,263158 0,888158
5 -0,919355
0,343803 6
-1,027624 0,108269
7 -0,990876
0,036748 8
-1,003051 0,012175
9 -0,998984
0,004066 10
-1,000339 0,001355
11 -0,999887
0,000452 12
-0,000038 0,000151
13 -0,999987
0,000050 14
-1,000004 0,000017
15 -0,999999
0,000006 16
-1,000000 0,000002
17 -1,000000
0,000001
Hampiran akar = -1,00000 konvergen berosilasi iii.
→ prosedur iterasi yang bersesuaian
r
4,000000 -
1 6.500000
2.500000
25 2
19.625000 13.125000
3 191.070313
171.445312 4
18252.432159 18061.361847
…..dst…..
Notasi divergen nilai semakin membesar
Teorema Kekonvergenan
Misalkan adalah solusi dari
dan andaikan mempunyai turunan kontinue
dalam selang yang memuat
Maka jika dalam selang tersebut , proses iterasi yang didefinisikan
akan konvergen ke Sebaliknya jika dalam selang tersebut ,
maka iterasi akan divergen dari
Jika terdapat selang dengan sebagai titik tetap, maka berlaku :
i .
→ Iterasi konvergen monoton. ii
. → Iterasi konvergen berosilasi.
iii. → Iterasi divergen monoton.
iv .
→ Iterasi divergen berosilasi. Contoh :
a. =
26 Karena
maka iterasi konvergen monoton b.
Tentukan selang agar konvergen ?
Penyelesaian :
Syarat konvergen
Untuk tidak mungkin
Untuk
Jadi iterasi akan konvergen
27
2. Metode Newton-Rhapson
