9
BAB 2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
Polinomial Taylor
Umumnya fungsi
f x
yang ada di matematika tidak dapat dikerjakan secara eksak dengan cara yang sederhana.Sebagai contoh untuk menentukan nilai f
x
= cos
x
,
�
atau � tanpa menggunakan alat bantu adalah hal yang sangat susah.Salah satu cara yang
digunakan untuk mencari nilai
f x
adalah dengan menggunakan fungsi pendekatan yaitu
polinomial.
Diantara polinomial-polinomial yang banyak digunakan adalah polinomial taylor. Rumus umum dari polinomial taylor adalah sbb:
Pnx = fa + x − a f′a +
�−
2
2
f′′a+. .. +
�−
=
�− =0
dengan =
Contoh 1 : Misalkan
� =
�
= 0 maka
� =
�
, 0 = 1,
∀j 0 � � = 0 + � − 0
′ 0
+ � − 0
2
2
′′
+ +
� − 0
= 1 +
� .1 +
�
2
2
.1 + +
�
.1 =
1 + � +
�
2
2
+ +
�
Kasus khusus bila fungsi polinomial taylor diperluas disekitar a=0 maka dinamakan deret
Maclaurin
. Contoh 2 :
Diketahui � = sin � dan = 0
Carilah deret Maclaurin dari fungsi f tersebut Penyelesaian :
′ � = cos � ′′′ � = −cos�
� = cos� ′′ � = −sin�
4
� = sin�
10 � � = 0 + � − 0 ′ 0 +
� − 0
2
2 ′′ 0 +
� − 0
3
3 ′′′ 0 +
� − 0
4
4
4
+ � − 0
5
5
5
0 + = 0 +
�. 1 + �
2
2 .0 +
�
3
3 −1 +
�
4
4 0 +
�
5
5 1
= � −
�
3
3 +
�
5
5 −
−�
7
7 +
�
9
9 +
Latihan Soal
Carilah deret Maclaurin dari 1.
� = cos � 2.
� = ln � + 1 3.
� =
1 1
−�
4. � = 1 + �
Penyelesaian 1.
′ � = −sin� ′′′ � = sin�
5
� = −sin� ′′ � = −cos�
4
� = cos� � � = 0 + � − 0
′ 0
+ � − 0
2
2
′′ 0
+ � − 0
3
3
′′′
+
�−0
4
4 4
0 +
�−0
5
5 5
0 + = 1 +
� + �
2
2 −1 +
� 3
3
. 0 + �
4
4 . 1 +
�
5
5 . 0
= 1 −
�
2
2 +
�
4
4 …
2.
′ �
=
1 �+1
′′ �
= − � + 1
−2
=
−1 �+1
2
′′′ �
= 2 � + 1
−3
= 2
� + 1
3
� � = 0 + � − 0
′ 0
+ � − 0
2
2
′′ 0
+ � − 0
3
3
′′′
= 0 + �. 1 +
�
2
2 −1 +
�
3
3 2 +
11 =
� − �
2
2 +
2 �
3
3 +
= � −
�
2
2 +
�
2
2 +
�
3
3 −
�
4
4 +
�
5
5 +
3.
′ �
= − 1 − �
−2
= −
1 1−�
2
′′ �
= 2 1 − �
−3
=
2 1−�
3
′′′ �
= −6 1 − �
−4
= −
6 1−�
4
� � = 0 + � − 0
′ 0
+ � − 0
2
2
′′ 0
+ � − 0
2
3
′′′
= 1 + � −1 +
�
2
2
2 +
�
3
3
−6 = 1
− � + �
2
− �
3
+ 4.
′
� = 1 2
1 + �
−1 2
=
1 2
1+�
1 2
′′ �
= −
1 4
1 + �
−3 2
= −
1 4
1+�
3 2
′′′ �
=
3 8
1 + �
−5 2
=
3 8
1+�
3 2
� � = 0 + � − 0
′ 0
+ � − 0
2
2
′′ 0
+ � − 0
3
3
′′′
= 1 + �.
1 2
+
�
2
2
−
1 4
+
�
3
3
.
3 8
= 1 +
1 2
� −
�
2
8
+
3 �
2
16
+
Galat Pada Polinomial Taylor
Diasumsikan bahwa � mempunyai n+1 turunan kontinu pada interval
, misalkan titik berada pada interval tersebut maka
� � disebut remainder atau galat atau sisaresidu.
Dirumuskan : � � = � − � �
Dengan � � adalah Polinomial Taylor
� � =
�−
+1
+1 +1
�
, �
Dengan
�
adalah sebuah titik yang berada diantara a dan x. Suku-suku deret Taylor biasanya di tuliskan tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan
praktis, deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu.
12 Deret Taylor yang dipotong sampai orde ke-n disebut deret taylor terpotong. Deret Taylor
yang dipotong sampai suku ke-n bisa dituliskan : � = � � + � �
Contoh : Misalkan
� = sin � , hampirilah deret taylor orde 4 disekitar a=1. � � = + � −
′
+ � −
2
2 +
+ � −
4
4
4
Diketahui : � = sin � , hampirilah deret taylor orde 4 di a=1.
Penyelesaian : � � = sin 1 + � − 1 cos 1 +
�−1
2
2
− sin 1 +
�−1
3
3
− cos 1 +
�−1
4
4
sin 1
�
5
� =
�−1
5
5
cos
�
� = � � + � � =
sin 1 + � − 1 cos 1 +
�−1
2
2
− sin 1 +
�−1
3
3
− cos 1 +
�−1
4
4
sin 1 +
�−1
5
5
cos
�
dengan �
5
� =
�−1
5
5
cos
�
, 1
�
� Deret taylor terpotong di daerah
a
= 0 disebut deret Maclaurin terpotong. Contoh :
�
= 1 + � +
�
2
2 +
+ �
+ �
+1
+ 1
Galat
Didalam metode numerik selalu digunakan nilai hampiran untuk mencari nilai atau solusi numerik. Nnilai hampiran inilah yang memunculkan galat atau
error
.
Error
atau galat terjadi karena beberapa sebab : 1.
dari pengamatan 2.
dari pengabaian sesuatu 3.
dari alat yang digunakan 4.
dari metode numeris yang digunakan Galat didefinisikan sebagai :
� = − â
13 Keterangan:
� : dibaca epsilon : galaterror : nilai sejatitrue value
: nilai hampiran approximation value Galat Relatif yaitu ukuran galat terhadap nilai sejatinya.
�
�
=
�
atau �
�
=
�
100 Keterangan :
�
�
: galat relatif � : galat
: nilai sejati Contoh :
Dipunyai nilai π = 3,14159265... Nilai hampiran = 227 = 3,1428571...
Sehingga galatnya adalah : ε = 3,14159265 - 3,1428571
= - 0,00126 ε =
�
=
−0,00126 3,14159265
= -0,000402
Galat relatif hampiran yaitu : ukuran galat terhadap nilai hampirannya. ε
RA
=
� ᾂ
Macam-macam galat dalam penghitungan numerik :
1. Galat Pemotongan Truncation Error
Galat ini mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti solusi eksak. Galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang
digunakan, sehingga galat ini juga disebut galat metode.
14 contoh :
cosx = 1-
�
2
2
+
�
4
4
-
�
6
6
+
�
8
8
-
�
10
10
Nilai hampiran galat pemotongan
pemotongan 2.
Galat Pembulatan Galat yang ditimbulkan dari keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan real.
contoh :
1 6
= 0,1666... Komputer tidak dapat menyatakan secara tepat jumlah dari digit 6. Komputer hanya
mampu mempresentasikan sejumlah digit atau bit 1 byte = 8 bit 3.
Galat total Atau galat akhir pada solusi numerik. Merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan. Contoh :
cos0,5 ≈ 1-
0,5
2
2
+
0,5
4
4
≈ 0,877604...
galat pemotongan galat pembulatan
contoh : 1.
Hitunglah error, relative error, dan digit yang signifikan dibawah ini dengan perkiraan � = ��
a X
t
= 28,254, X
A
= 28,271 ε
R
=
�
=
−17 28,254
= -0,000601684717 Jawab
: ε = a-â
= 28,354-28,271 = -17
b X
t
= 0,028254, X
A
= 0,028271 ε
R
=
�
=
−0,000017 0,028254
= -0,0006016847 Jawab :
ε = a-â = 0,028254 - 0,028271
15 = -,000017
c X
t
= e, X
A
=
19 7
ε
R
=
�
=
0,003996113714 3 2,178281828
= 0,0014700880803 Jawab :
ε = a-â = 2,178281828
– 2,7142857142857 = 0,0039961137143
d X
t
= 2, X
A
= 1,414 ε
R
=
�
=
0,0002135623731 1,4142135623731
= 0,0001510114022 Jawab :
ε = a-â = 1,4142135623731
– 1,414 = 0,0002135623731
Bilangan Titik Kambang
Format bilangan real di komputer berbeda-beda bergantung pada perangkat keras dan penerjemah bahasa pemrograman. Bilangan real di dalam komputer umumnya disajikan
dalam format bilangan titik kambang = ±
� ᴾ Keterangan:
m = mantis rill B = basis sistem bilangan yang di pakai 2, 8, 10, dst
P = pangkat berupa bilangan bulat
Contoh: Bilangan rill 245,7654 dinyatakan sebagai 0,2457654 x 10
3
atau bisa juga ditulis 0,2457654E03
Bilangan Titik Kambang Ternormalisasi
Represensitatif bilangan titik kambang bisa beragam sebagai contoh kita dapat menuliskan sebagai
= ± � ᴾ⁻¹
16 Misalnya 245,7654 dapat dituliskan sebagai 0,2457654 x 10
3
atau 2,457654 x 10
2
atau 0,02457654 x 10
4
dst. Agar bilangan titik kambang dapat disajikan seragam, maka digit pertama mantis tidak boleh
“0”. Bilangan titik kambang yang di normalisasi ditulis sebagai: = ±
� ᴾ = ±0 1, 2, 3 … ᴾ Dimana d1, d2 ,d3 ... dn adalah digit matriks terhadap syarat 1 ≤ d1 ≤ b-1, dan 0 ≤ d
k
≤ b-1 untuk k1
Pada syarat desimal: 1 ≤ d ≤ 9 dan 0 ≤ d
x
≤ 9 Pada sistem biner: d = 1 dan 0 ≤ d
x
≤ 1 Contoh:
1. 0,0563 x 10
-3
dinormalisasi menjadi 0,563 x 10
-4
2. 0,00023270 x 10
6
dinormalisasikan menjadi 0,23270 x 10
3
17
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
Kategori