27
2. Metode Newton-Rhapson
Y Y=fx
,
X f
X
1
X X
X
Perhatikan grafik
x f
y
di atas
Akar terjadi ketika grafik memotong sumbu x,estimasi untuk digunakan garis singgung
yang menyinggung garfik
x f
y
di
x
. Gradien garis singgung dapat dicari dengan turunan pertama fungsi
x f
. Dari gambar tersebut gradien garis singgungnya adalah: Gradien garis singgung
,
o o
x f
x
dan ,
1
x
1 2
1 2
x x
y y
m
x f
m
1
x x
x f
x f
1
x f
x f
x x
1
x f
x f
x x
…………….. Secara umum,bentuk rumus bisa digeneralisasi menjadi:
..., 4
, 3
, 2
, 1
, ;
1
x f
n x
f x
f x
x
n n
n n
. . . Formula atau rumus digunakan untuk prosedur iterasi metode Newton-Rhapson.
Iterasi Newton-Rhapson akan berhenti pada kondisi:
1 1
n n
n
x x
x
dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan.
Catatan: 1.
Jika
n
x f
, ulangi kembali hitungan iterasi dengan
x
yang lain. 2.
Jika persamaan
x f
memiliki lebih dari satu akar pemilihan
x
yang berbeda- beda dapat menemukan akar yang lain.
28 3.
Dapat terjadi iterasi konvergen keakar yang berbeda dari yang diharapkan. Contoh:
Carilah akar dari 1
6
x x
x f
dengan menggunakan metode Newton-Rhapson. Untuk menyelesaikan soal diatas maka terlebih dahulu mencari selang yang
mengandung akar. Batas atas dan batas bawah selang sebaiknya menghasilkan nilai dengan perubahan tanda ketika dimasukkan kedalam fungsi tersebut.
Selanjutnya,pilih satu nilai didalam selang tersebut.
1 n
n n
n
x f
x f
x x
1 6
1 1
6 5
, 1
; 1
5 6
1 5
6
x x
x x
x x
x f
x x
x x
f
n n
n n
Jadi akar dari persamaan diatas adalah 1,134724 Tentukan hampiran akar untuk persamaan berikut:
1. 3
3
x x
x f
Dengan tebakan awal 1
, 1
x
2. 34
2
3 4
x x
x x
f
Dengan tebakan awal 3
x
Penyelesaian: 1.
3
3
x x
x f
1 3
2
x x
f
n x
n
fx
n
fx
n
x
n
-x
n-1
1.1 -0.569
4.63 1
1.222894 0.051696 5.48641 0.122894
2 1.213472 0.000325 5.41754
-0.00942 3
1.213412 1.31E-08 5.417104 -6E-05 4
1.213412 0 5.417104 -2.4E-09
5 1.213412 0
5.417104 0 6
1.213412 0 5.417104 0
Jadi akar persamaannya adalah=1,213412 2.
34 2
3 4
x x
x x
f
2 3
4
2 3
x x
x f
29
n x
n
fx
n
fx
n
x
n
-x
n-1
3 14
79 1
2.822785 1.353001 64.06474 -0.17722 2
2.801666 0.01745 62.4168
-0.02112 3
2.801386 3.02E-06 62.39517 -0.00028 4
2.801386 9.24E-14 62.39516 -4.8E-08 5
2.801386 0 62.39516 0
6 2.801386 0
62.39516 0
Jadi akar persamaannya adalah=2,801386
Kriteria Konvergen Newton Raphson. Untuk memperoleh iterasi konvergen maka harus memenuhi harga mutlak
g’x 1 Karena metode Newton Raphson adalah metode terbuka maka dapat dirumuskan
gx maka turunan pertama gxadalah :
g‟x=1- =
g‟x= karena syarat konvergensi
g‟x 1 maka
1 Dengan syarat f‟x 0
3. Metode Secant
Kategori