49
Sedangkan nilai de adalah vector perpindahan noda dengan susunan matriks sebagai berikut:
3 3
2 2
1 1
v u
v u
v u
de node1
node2 node3
3.2.3 Sehingga persamaan 3.2.1 dapat dituliskan sebagai berikut:
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
, ,
, ,
, ,
, ,
v y
x N
v y
x N
v y
x N
y x
v u
y x
N u
y x
N u
y x
N y
x u
h h
3.2.4
3.2.1 Pembentukan Persamaan Bentuk Elemen Segitiga
Cara pembentukan matriks persamaan bentuk untuk elemen segitiga dimulai dengan menentukan koordinat luas untuk elemen segitiga dan
membaginya menjadi tiga luasan A
1
, A
2
, A
3
seperti pada Gambar 3.4 dan dari ketiga luasan tersebut dibuat perbandingan dari bagian-bagian segitiga tersebut
dengan luas total segitiga, sehingga terdapat 3 luasan yang dibandingkan dengan luasan total segitiga L
1,
L
2
, L
3
Universitas Sumatera Utara
50
Gambar 3.4 Koordinat area
y x
x x
y y
y x
y x
y x
y x
y x
A
2 3
3 2
2 3
3 2
3 3
2 2
1
2 1
1 1
1 2
1
3.2.1.1
Sehingga nilai perbandingan A
1
dengan Luas total dinyatakan sebagai berikut:
e
A A
L
1 1
3.2.1.2
Begitu juga dengan nilai A
2
dan nilai A
3
dengan nilai sebagai berikut:
y x
x x
y y
y x
y x
y x
y x
y x
A
3 1
1 3
3 1
1 3
1 1
3 3
2
2 1
1 1
1 2
1
3.2.1.3
y x
x x
y y
y x
y x
y x
y x
y x
A
1 2
2 1
1 2
2 1
2 2
1 1
1
2 1
1 1
1 2
1
3.2.1.4
Universitas Sumatera Utara
51
Dengan nilai L
2
dan L
3
sebagai berikut:
e
A A
L
2 2
3.2.1.5
e
A A
L
3 3
3.2.1.6
Dan ketiga nilai tersebut harus memenuhi:
1
3 2
1 3
2 1
e e
e
A A
A A
A A
L L
L
3.2.1.7
Dan ketiga nilai L
1
, L
2
, L
3,
merupakan nilai untuk persamaan bentuk yaitu: N
1
= L
1
, N
2
= L
2
, N
3
= L
3
3.2.1.8
3.2.2 Matriks Regangan
Langkah kedua setelah kita mendapatkan persamaan matriks bentuk dari elemen segitiga maka selanjunya kita menentukan matriks regangan yang
nantinya akan digunakan untuk menentukan persamaan matriks kekakuan. Pada elemen
segitiga 2
dimensi, komponen
tegangan utama
berupa
xy yy
xx T
untuk benda 2D dan regangan utama pada benda 2 dimensi solid berupa
xy yy
xx T
, sehingga dengan tengangan dan regangan sumbu tersebut, dituliskan persamaan:
Universitas Sumatera Utara
52
y v
x u
y v
x u
xx yy
xx
3.2.2.1
Dan jika dibentuk dalam bentuk matriks, didapat persamaan: LU
3.2.2.2 Dimana L didapat dari persamaan 3.2.2.1 dan dituliskan dalam persamaan
matriks yaitu:
x
y y
x L
3.2.2.3
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.2.1 dengan persamaan 3.2.2.2 didapat: Bde
LNde LU
3.2.2.4 Nilai B pada persamaan 3.2.2.4 merupakan matriks regangan yang akan dicari
dimana:
N x
y y
x LN
B
3.2.2.5
Dengan mensubstitusikan persamaan bentuk elemen segitiga pada persamaan 3.2.2 , 3.2.1.8 dengan persamaan 3.2.2.5 maka akan didapat:
3 3
2 2
1 1
3 2
1 3
2 1
a b
a b
a b
b b
b a
a a
B
3.2.2.6
Universitas Sumatera Utara
53
Dengan nilai:
e
A y
x y
x a
2
2 3
3 2
1
,
e
A y
x y
x a
2
3 1
1 3
2
,
e
A y
x y
x a
2
1 1
2 1
3
3.2.2.7
e
A y
y b
2
3 2
1
,
e
A y
y b
2
1 3
1
,
e
A y
y b
2
2 1
1
3.2.2.8
3.2.3 Elemen Matriks
