55
Dikarenakan beban dianggap merata, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
f y f x
f y f x
l xfe
2 1
3 2
3.2.3.9
Dimana
3 2
l
merupakan panjang sisi dari titik 2 ke titik 3 sebuah segitiga. Setelah matriks gaya, kekakuan dan massa diperoleh maka matriks global dapat diperoleh
dengan menggabungkan per elemen dari suatu objek.
3.3 Elemen Segiempat Linear
Elemen segitiga jarang digunakan dalam mesh objek metode elemen hingga. Alasan utama mengapa elemen segitiga lebih jarang digunakan dibanding
dengan elemen segiempat dan elemen lainnya adalah pada matriks regangan elemen segitiga, nilainya konstan namun untuk elemen segiempat, nilainya
tidaklah konstan
3.3.1 Pembentukan Persamaan Bentuk Elemen Segiempat
Diasumsikan sebuah objek dengan domain segiempat seperti pada Gambar 3.5 kemudian, objek tersebut dibagi menjadi elemen segiempat kecil
mesh, dimana tiap elemen segiempat terdapat empat noda dengan 2 DOF Degree of Freedom
Universitas Sumatera Utara
56
Gambar 3.5 Domain segiempat dipotong menjadi elemen segiempat Sama dengan persamaan elemen segitiga sebelumnya, persamaan vector
perpindahan pada elemen segitiga juga berlaku untuk elemen segiempat dimana:
de y
x N
y x
U
h
, ,
3.2.1 Dengan perpindahan tiap noda berupa:
4 4
3 3
2 2
1 1
v u
v u
v u
v u
de node1
node2 node3
node4
3.3.1.1 Namun pada elemen segiempat, terdapat dua jenis koordinat yg akan digunakan
dalam menyelesaikan persamaan fungsi bentuk elemen, yaitu koordinat natural
,
dan koordinat lokal elemen x,y seperti pada Gambar 3.6 dengan hubungan antara koordinat lokal dan koordinat natural adalah sebagai berikut:
a x
,
b y
3.3.1.2
Universitas Sumatera Utara
57
Gambar 3.6 Koordinat elemen segiempat a Koordinat lokal elemen, b koordinat natural elemen
Maka persamaan matriks untuk fungsi bentuk elemen segiempat dapat dituliskan sebagai berikut:
4 3
2 1
4 3
2 1
N N
N N
N N
N N
N Node1
Node2 Node3
Node4
3.3.1.3 Dengan nilai N
i
i= 1, 2, 3, 4 dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk elemen segitiga sehingga didapat:
1 1
4 1
1 1
4 1
1 1
4 1
1 1
4 1
4 3
2 1
N N
N N
3.3.1.4
Universitas Sumatera Utara
58
3.3.2 Matriks Regangan Elemen Segiempat
Dengan cara yang sama untuk Elemen segitiga, matriks regangan didapat dengan persamaan sebelumnya B=LN sehingga didapat:
a b
a b
a b
a b
b b
b b
a a
a a
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
3.3.2.1
Terlihat bahwa matriks regangan untuk elemen segiempat memiliki nilai yang tidak konstan seperti elemen segitiga.
3.3.3 Elemen Matriks
Setelah mendapatkan nilai matriks regangan, sama seperti prosedur sebelumnya, nilai matriks kekakuan didapat dengan persamaan berikut:
1 1
1 1
d
cBd abhB
cBdA hB
ke
T A
T
3.3.2.2
Untuk matriks massa,diperoleh dengan cara yang sama sehingga dihasilkan persamaan:
j j
i ij
hab m
1
3 1
1 3
1 1
4
3.3.2.3 Sebagai contoh,
9 4
1 1
3 1
1 1
1 3
1 1
4
33
hab hab
m
3.3.2.4
Universitas Sumatera Utara
59
Sehingga didapat matriks massa sebagai berikut:
4 2
1 2
4 2
1 2
2 4
2 1
2 4
2 1
1 2
4 2
1 2
4 2
2 1
2 4
2 1
2 4
9 hab
me
3.3.2.5
Dan persamaan matriks gaya yang bekerja pada objek didapat dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
f y
f y f x
f x b
f e 3.3.2.6
3.4 Elemen Cangkang Shell Element
