Pembentukan Portofolio Reksadana Saham yang Optimal Menggunakan Algoritma Genetika Multi Objektif

PEMBENTUKAN PORTOFOLIO REKSADANA SAHAM

YANG OPTIMAL MENGGUNAKAN ALGORITMA

GENETIKA MULTI OBJEKTIF

AKHMAD YUSUF

DEPARTEMEN ILMU KOMPUTER

SEKOLAH PASCA SARJANA - INSTITUT

PERTANIAN BOGOR

2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER

INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pembentukan Portofolio reksadana Saham yang optimal Menggunakan Algoritma Genetika Multi Objektif adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2012

Akhmad Yusuf NRP G651090141

ABSTRACT

Investments in financial assets has become a trend in the era of globalization, especially the investment in mutual fund shares. Investors who want to invest in stock mutual funds can set up an investment portfolio in order to generate an maximal return and minimimal risk. In this study the author used the Multi-Objective Genetic Algorithm Non-Dominated Sorting II (MOGA NSGA-II) technique with the Markowitz portfolio principle to find the best portfolio from several mutual funds. The data used are 10 company stock mutual funds with a period of 12 months, 24 months and 36 months. The genetic algorithm parameter used are probability crossover of 0.65, probability mutation of 0.05, Generation 400 and a population numbering 20 individuals. The study produced a combination of the best portfolios in the period of 24 months with a computing time of 63.289 seconds.

RINGKASAN

AKHMAD YUSUF. Pembentukan Portofolio Reksadana Saham yang Optimal Menggunakan Algoritma Genetika Multi Objektif. Dibimbing oleh YANDRA ARKEMAN dan MUSHTHOFA.

Indikator kemajuan perkembangan ekonomi suatu negara sering dilihat dari segi kemajuan di pasar modal yang ada di negara tersebut. Di Indonesia untuk pasar modal lebih didominasi oleh pemodal besar dan badan usaha, seperti reksadana. Reksadana mempunyai beberapa jenis seperti reksadana pasar uang, reksadana pendapatan tetap, reksadana saham dan reksadana campuran. Untuk melakukan investasi di reksadana terutama reksadana saham diperlukan pengetahuan mengenai produk yang dijualbelikan oleh reksadana tersebut. Seorang investor dapat melakukan penyusunan portofolio untuk mendapatkan keuntungan (return) yang maksimal dengan tingkat risiko (risk) yang minimal. Kedua fungsi tujuan tersebut saling bertentangan satu dengan lainnya dan akan terjadi konflik disaat kedua fungsi akan dioptimalkan. Untuk mendapatkan susunan portofolio yang optimal tersebut dapat menggunakan algoritma genetika multi objektif (MOGA NSGA-II). Algoritma genetika bekerja berdasarkan konsep teori evolusi, dimana individu yang mempunyai nilai fitness terbesar yang berpeluang bertahan hidup lebih lama. Penelitian ini bertujuan : (1) Mempelajari model komputasi algoritma genetika multi objektif pada penyusunan portofolio reksadana saham yang optimal, (2) Menentukan bobot (alokasi) dari tiap reksadana saham sehingga portofolio yang dibentuk optimal, dan (3) Menyusun portofolio reksadana saham yang optimal.

Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Pascasarjana Departemen Ilmu Komputer FMIPA-IPB. Data nilai aktiva bersih (NAB) per unit reksadana saham yang digunakan diperoleh dari Pusdok Majalah Bisnis Indonesia (PMBI) dari periode Januari 2007 – Desember 2010. Sebelum dilakukan proses algoritma genetika, maka data reksadana saham yang berupa NAB tiap reksadana saham dilakukan pendugaan NAB (expected NAB) bulan berikutnya untuk mendapatkan pendugaan keuntungan (expected return) dan risiko (risk). Setelah expected return

dan risiko diperoleh dilakukan pembentukan bobot secara acak (random) kemudian dilakukan proses MOGA NSGA-II dengan melakukan klasifikasi non-dominated sorting untuk mengelompokkan individu kedalam beberapa front, setelah terbentuk kedalam beberapa front, maka dilakukan proses crowding distance dan operasi algoritma genetika seperti crossover, mutasi dan elitism.

Front pertama yang terbentuk merupakan front yang optimal atau disebut juga sebagai pareto frontier.

Hasil penelitian didapatkan bahwa portofolio yang dibentuk menggunakan data hasil expected NAB dengan EMA periode 12, 24 dan 36 bulan menunjukkan bahwa optimalitas dari portofolio terbesar terdapat pada periode 24 bulan. Parameter algoritma genetika yang digunakan Pc=0.6, 0.65, 0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9 dan 0.95 dengan tingkat mutasi Pm=0.05 dan jumlah individu sebanyak 20 serta generasi sejumlah 400. Didapat bahwa portofolio optimum terdapat pada portofolio dengan periode 24 bulan dengan probabilitas crossover (Pc)=0.65 dan

probabilitas mutation (Pm) = 0.05. Kecepatan yang didapat saat melakukan proses algoritma genetika pada periode 24 bulan adalah sebesar 63.289 detik atau

1.05 menit. Susunan portopolio yang terbentuk terdapat pada Lampiran tabel susunan portofolio.

Kata kunci : Portofolio, reksadana saham, MOGA NSGA-II, pareto frontier

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

PEMBENTUKAN PORTOFOLIO REKSADANA SAHAM

YANG OPTIMAL MENGGUNAKAN ALGORITMA

GENETIKA MULTI OBJEKTIF

AKHMAD YUSUF

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Komputer pada

Program Studi Magister Ilmu Komputer

DEPARTEMEN ILMU KOMPUTER

SEKOLAH PASCA SARJANA - INSTITUT

PERTANIAN BOGOR

2012

Judul Tesis : Pembentukan Portofolio Reksadana Saham yang Optimal Menggunakan Algoritma Genetika Multi Objektif

Nama : Akhmad Yusuf

NRP : G651090141

Disetujui, Komisi Pembimbing

Dr. Ir Yandra Arkeman, M.Eng Mushthofa, S.Kom, M.Sc

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Ilmu Komputer

Dr. Yani Nurhadryani, S.Si, MT Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc, Agr

PRAKATA

Puji syukur dipanjatkan ke hadirat Allah SWT sehingga penulis bisa menyelesaikan tesis ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW hingga akhir zaman. Amin. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah tentang Pembentukan Portofolio Reksadana Saham yang Optimal Menggunakan Algoritma Genetika Multi Objektif.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Dr . Ir. Yandra Arkeman, M.Eng sebagai ketua komisi pembimbing yang telah memberikan arahan dalam penelitian dan penulisan tesis.

2. Bapak Mushthofa, S.Kom, M.Sc sebagai anggota komisi pembimbing yang telah memberikan arahan dalam penelitian dan penulisan tesis.

3. Teman-teman Pascasarjana Ilkom IPB Angkatan XI (Pa Mukhlis, Mas Deba, Mas Kamal, Mas Rafi, Pa Rico, Bu Retno, Bu Sinta, dkk) yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu.

4. Teman-teman Pascasarjana Ilkom IPB Angkatan XII (Mba Gibtha, Mas Imam, Mba Mila, Mba Yudit, Mas Safar, dkk).

5. Istri saya tercinta Yulia Safitri atas dorongan dan selalu mengingatkan untuk cepat menyelesaikan tesis ini.

6. Nabila Aulia Rizqina anak saya yang selalu menjadi motivasi dan penyemangat disetiap saat melakukan penyelesaian tesis.

7. Abah dan Mama serta kaka dan adik penulis yang memberikan semangat dalam penyelesaian tesis ini.

Semoga, karya ilmiah yang jauh dari sempurna ini dapat bermanfaat bagi penulis dan juga bagi rekan-rekan yang ingin mempelajari topic yang penulis bahas.

Bogor, Agustus 2012

RIWAYAT HIDUP

Penulis (Akhmad Yusuf) dilahirkan di Desa Mahang, Kabupaten Hulu Sungai Tengah, Kalimantan Selatan pada tanggal 02 April 1980 dari ayah Saberi dan ibu Jasimah. Penulis merupakan putra keenam dari tujuh bersaudara.

Pada masa kecil penulis memulai pendidikan di SDN Haur Kuning, Ds. Banua Kupang (HST). Penulis melanjutkan pendidikan menengah di MTsN Filial Banua Kupang, dan lanjut ke SMAN 1 Pantai Hambawang. Tahun 2000 penulis lulus dari SMU Negeri 1 Pantai Hambawang dan pada tahun yang sama melanjutkan pendidikan di Universitas Lambung Mangkurat (Unlam). Penulis memilih program studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, dan memperoleh gelar Sarjana Matematika (S.Si.) pada tahun 2004.

Penulis bekerja sebagai staf pengajar pada program studi Matematika FMIPA Unlam sejak tahun 2005 sampai sekarang. Menikah dengan Yulia Safitri, S.Si pada tahun 2005 dan saat ini dikaruniai seorang putri bernama Nabila Aulia Rizqina.

Pada tahun 2009, penulis diterima sebagai mahasiswa Sekolah Pascasarjana program studi Ilmu Komputer Institut Pertanian Bogor. Penulis melaksanakan penelitian dengan judul “Pembentukan Portofolio Reksadana Saham yang Optimal Menggunakan Algoritma genetika Multi Objektif” untuk penyusunan tesis sebagai tugas akhir guna memperoleh gelar Magister Ilmu Komputer.

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xiv

DAFTAR GAMBAR ... xv

DAFTAR LAMPIRAN ... xvi

PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 3

1.3 Manfaat Penelitian ... 3

1.4 Ruang Lingkup Penelitian ... 3

TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1 Pasar Modal ... 4

2.2 Investasi ... 4

2.3 Reksadana ... 6

2.4 Portofolio ... 10

2.5 Algoritma Genetika ... 13

Pengkodean ... 13

2.6 Multi Objective Optimization ... 20

2.7 Non-dominated Sorting Genetic AlgorithmII (NSGA-II) ... 22

METODOLOGI PENELITIAN ... 25

3.1 Kerangka Pikir Penelitian ... 25

3.1.1 Identifikasi Masalah ... 26

3.1.2 Studi Literatur ... 26

3.1.3 Pengumpulan Data ... 26

3.1.4 Pengolahan Data ... 26

3.1.5 Pengembangan Model ... 28

3.1.6 Analisa dan Pembahasan ... 30

3.1.7 Alat Bantu Penelitian ... 31

3.1.8 Lokasi dan Waktu Penelitian ... 31

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 32

4.2 Expected Nilai Aktiva Bersih (NAB) ... 32

4.3 ExpectedReturn dan Risiko ... 35

4.4 Portofolio Reksadana Saham Menggunakan MOGA ... 36

KESIMPULAN DAN SARAN ... 44

5.1 Kesimpulan ... 44

5.2 Saran ... 44

DAFTAR PUSTAKA ... 45

DAFTAR TABEL

1. Daftar nama reksadana saham ... 26

2. Parameter Expected NAB ... 33

3. ExpectedReturn dan Risiko ... 35

4. Parameter Algoritma Genetika ... 37

5. Distribusi individu generasi pertama ... 39

DAFTAR GAMBAR

1. Proses keputusan investasi ... 5

2. Mekanisme Reksadana ... 7

3. kurva indeferen... 11

4. Portofolio efisien dan portofolio optimal ... 12

5. Perbandingan pendekatan kovensional dengan GA ... 14

6. Tiga jenis skema pengkodean. Real-number encoding (atas), discrete encoding (tengah), dan Binary encoding (bawah) . ... 15

7. Contoh penggunaan metoda roulette wheel selection. ... 16

8. Pindah silang satu titik ... 18

9. Pindah silang lebih dari satu titik ... 18

10. Proses Simulated Binary Crossover (SBX) ... 19

11. Prinsip kerja NSGA-II ... 23

12. Proses crowdingdistance ... 24

13. Diagram alir penelitian ... 25

14. Pengembangan model algoritma genetika multi objektif... 28

15. Expected NAB periode 12 bulan ... 33

16. Expected NAB periode 24 bulan ... 34

17. Expected NAB periode 36 bulan ... 34

18. Grafik hubungan expectedreturn dengan risiko ... 36

19. Grafik Portofolio periode 12 bulan ... 37

20. Grafik portofolio periode 24 bulan ... 38

21. Grafik portofolio periode 36 bulan ... 38

22. Plot generasi pertama ... 39

23. Front terdepan pada periode 12 bulan ... 40

24. Front terdepan pada periode 24 bulan ... 40

25. Front terdepan pada periode 36 bulan ... 41

26. Grafik pareto frontier ... 41

DAFTAR LAMPIRAN

1. Data Reksadana Saham ... 48

2. Data ExpectedReturn NAB ... 50

3. Generasi Awal Algoritma genetika periode 12 bulan Pc=0.65, Pm=0.05 dan Generasi 400... 51

4. Generasi Awal Algoritma genetika periode 24 bulan Pc=0.65, Pm=0.05 dan Generasi 400... 52

5. Generasi Akhir Algoritma genetika periode 36 bulan Pc=0.65, Pm=0.05 dan Generasi 400... 53

6. UserInterface... 54

7. Proses GA Periode 12 Bulan, Pc = 0.65 dan Pm = 0.05 ... 54

8. Proses GA Periode 24 Bulan, Pc = 0.65 dan Pm = 0.05 ... 55

9. Proses GA Periode 36 Bulan, Pc = 0.65 dan Pm = 0.05 ... 55

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan perekonomian negara pada era globalisasi banyak dipengaruhi oleh komponen-komponen yang ada dalam struktur ekonomi negara itu sendiri. Salah satu komponen tersebut yaitu pasar modal. Pasar modal berfungsi menjembatani dana dari unit surplus kepada unit yang defisit dana. Di negara maju seperti Jepang, Amerika dan Inggris, pasar modal dijadikan ukuran dalam melihat perkembangan perekonomian negara setiap tahunnya. Semakin maju pasar modal suatu negara, maka dapat dipastikan bahwa negara tersebut mempunyai perekonomian yang baik pula (Ponco 2010).

Perkembangan pasar modal Indonesia saat ini masih didominasi oleh investor besar dan badan usaha. Salah satu diantaranya adalah reksadana. Pertumbuhan reksadana di Indonesia sangatlah pesat, hal ini tentu saja mempunyai pengaruh yang positif bagi pasar modal Indonesia (Ponco 2010).

Reksadana merupakan suatu media investasi yang mempunyai tujuan utama untuk membantu dan memobilisasi investor kecil dan individual melakukan investasi di pasar modal. Reksadana memberikan kemungkinan kepada investor kecil untuk memiliki bagian dari surat berharga yang mungkin tidak dapat dimilikinya dengan instrumen investasi langsung pada surat berharga tersebut. Melalui reksadana, investor dibantu oleh sebuah tim manajemen atau wakil manajer investasi untuk mengelola investasinya. Manajer investasi ini melakukan tugas menganalisa surat-surat berharga di pasar uang dan pasar modal serta memilih surat berharga yang sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai oleh investor (Musaroh 2007).

Reksadana pada dasarnya dapat dibagi menjadi beberapa kategori berdasarkan tingkat risikonya, diantaranya : Pertama, reksadana dengan risiko rendah seperti reksadana Pasar Uang; Kedua, reksadana risiko rendah hingga menengah seperti reksadana Pendapatan Tetap, reksadana Terproteksi, reksadana Campuran dengan alokasi saham tertentu; Ketiga, reksadana risiko menengah hingga tinggi seperti reksadana campuran dengan orientasi saham yang cukup besar; Keempat, reksadana dengan risiko tinggi seperti reksadana saham. Makin

besar potensi risiko suatu reksadana makin besar potensi imbal hasil keuntungan yang bisa diharapkan (Bapepam 2011).

Terdapat begitu banyak produk dari setiap jenis reksadana yang ada di Indonesia dan dikelola oleh manajer investasi yang berbeda. Pemilihan instrumen invetasi reksadana sangat berbeda dengan menabung di bank atau deposito berjangka serta tabungan tahapan, karena adanya unsur resiko yang akan ditanggung investor pada saat melakukan investasi di reksadana (Simforianus & Yanthi 2008).

Dalam mengelola investasi, seorang investor seharusnya selalu melakukan analisa dan membentuk portofolio reksadana saham dengan tujuan mendapatkan

return yang maksimal dengan risiko yang minimal. Menurut Jogiyanto (1998) portofolio yang efisien didefinisikan sebagai portofolio yang memberikan return

ekspektasi terbesar dengan risiko yang sudah tertentu atau memberikan risiko yang terkecil dengan return ekspektasi yang sudah tertentu. Untuk menentukan portofolio yang optimal, pertama kali dibutuhkan adalah menentukan portofolio yang efisien, portofolio yang efisien adalah portofolio yang optimal.

Menurut Heidi et al. (2006), permasalahan yang mempunyai beberapa kriteria atau tujuan tersebut jika dipenuhi secara bersamaan akan menjadi suatu permasalahan yang komplek. Hal ini menyebabkan objektif tersebut akan saling konflik. Untuk itu diperlukan suatu cara untuk mengatasi permasalahan ini dengan menggunakan pencarian solusi terbaik yang akan memenuhi tujuan yang berkompetisi dibawah skenario trade-off yang berbeda. Dengan mempertimbangkan tujuan ganda (multi-objective) dan kendala-kendala yang membatasinya maka formulasi optimasi dapat ditentukan, hal ini dikenal dengan

Multiobjective Optimization Problems (MOP). MOP tidak mungkin mempunyai satu solusi yang terbaik (global minimum atau maksimum) bagi seluruh objektif, akan tetapi bentuk solusinya dalam sekumpulan solusi yang superior ketika seluruh objektif dipertimbangkan, namun inferior pada beberapa solusi yang lain pada search space pada satu objektif atau lebih. Solusi ini dikenal dengan istilah solusi Pareto-optimal atau solusi nondominated (Branke Jürgen et al. 2008).

Untuk menentukan atau menyusun suatu portofolio optimal tersebut metode yang digunakan adalah Metode Markowitz. Dalam penelitian ini penulis

tertarik untuk meneliti Pembentukan Portofolio yang Optimal Menggunakan Algoritma Genetika Multi-objective berdasarkan metode perhitungan portofolio

Markowitz pada Reksadana Saham. 1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mempelajari model komputasi algoritma genetika multi objektif pada

penyusunan portofolio reksadana saham yang optimal;

2. Menentukan bobot (alokasi) dari tiap reksadana saham sehingga portofolio yang dibentuk optimal;

3. Menyusun portofolio reksadana saham yang optimal. 1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah :

1. Mengetahui model komputasi algoritma genetika multi objektif yang digunakan pada penyusunan portofolio reksadana saham yang optimal; 2. Mendapatkan bobot (prosentasi) dari tiap reksadana saham sehingga

portofolio optimal;

3. Mendapatkan portofolio reksadana saham yang optimal. 1.4 Ruang Lingkup Penelitian

Adapun ruang lingkup penelitian ini meliputi :

1. Pendekatan yang dilakukan pada pembentukan portofolio reksadana saham yang optimal menggunakan algoritma genetika multi objektif;

2. Model alokasi portofolio reksadana saham yang optimal menggunakan model Markowitz;

3. Aplikasi model komputasi algoritma genetika multi objektif menggunakan perangkat lunak Matlab 7.7.0;

4. Data yang digunakan pada penelitian ini menggunakan data reksadana saham dari tahun 2007-2010 yang diambil dari sumber Pusdok Majalah Bisnis Indonesia (PMBI).

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pasar Modal

Pasar modal adalah pasar dari berbagai instrumen keuangan (sekuritas) jangka panjang yang dapat diperjualbelikan, baik dalam bentuk hutang (obligasi) maupun modal sendiri (saham) yang diterbitkan pemerintah atau perusahaan swasta. Pada dasarnya fungsi pasar modal sebagai wahana demokratisasi pemilikan saham yang ditunjukkan dengan semakin banyaknya institusi dan individu yang memiliki saham perusahaan yang telah go public (Suad Husnan 1994).

Undang-Undang Pasar Modal No. 8 tahun 1995 tentang Pasar Modal mendefinisikan pasar modal sebagai “kegiatan yang bersangkutan dengan Penawaran Umum dan perdagangan Efek, Perusahaan Publik yang berkaitan dengan Efek yang diterbitkannya, serta lembaga dan profesi yang berkaitan dengan Efek”. Pasar Modal memiliki peran penting bagi perekonomian suatu negara karena pasar modal menjalankan dua fungsi, yaitu pertama sebagai sarana bagi pendanaan usaha atau sebagai sarana bagi perusahaan untuk mendapatkan dana dari masyarakat pemodal (investor). Dana yang diperoleh dari pasar modal dapat digunakan untuk pengembangan usaha, ekspansi, penambahan modal kerja dan lain-lain, kedua pasar modal menjadi sarana bagi masyarakat untuk berinvestasi pada instrument keuangan seperti saham, obligasi, reksadana, dan lain-lain. Dengan demikian, masyarakat dapat menempatkan dana yang dimilikinya sesuai dengan karakteristik keuntungan dan risiko masing-masing instrument.

2.2 Investasi

Investasi merupakan suatu aktiva yang digunakan perusahaan untuk pertumbuhan kekayaan (accretion wealth) melalui distribusi hasil investasi (seperti bunga, royalti, dividen, dan uang sewa) untuk apresiasi nilai investasi atau untuk mendapat manfaat lain bagi perusahaan yang berinvestasi, seperti manfaat yang diperoleh melalui hubungan perdagangan. Persediaan dan aktiva tetap bukan merupakan investasi (SAK 1999).

Investasi merupakan suatu kegiatan penempatan dana pada sebuah atau sekumpulan asset selama periode tertentu dengan harapan dapat memperoleh penghasilan dan/atau peningkatan nilai investasi (Jones 2004). Pengertian investasi tersebut menunjukkan bahwa tujuan investasi adalah meningkatkan kesejahteraan investor, baik sekarang maupun dimasa yang akan datang (Dhuwita 2003).

Keputusan Investasi

Proses keputusan investasi merupakan proses keputusan yang berkesinambungan (going process). Proses keputusan investasi terdiri dari lima tahap keputusan yang berjalan terus menerus sampai tercapai keputusan investasi yang terbaik. Tahap-tahap keputusan investasi meliputi lima tahap keputusannya, yaitu :

1. Penentuan tujuan investasi 2. Penentuan kebijakan investasi 3. Pemilihan strategi portofolio 4. Pemilihan asset

5. Pengukuran dan evaluasi kinerja portofolio

Gambar 1 berikut ini adalah gambar yang menunjukkan kelima tahap yang ada dalam proses keputusan investasi. Dalam Gambar 1 tersebut terlihat bahwa tahap-tahap dalam proses keputusan investasi merupakan proses yang berkesinambungan (on going process), terdiri dari lima tahap keputusan yang berjalan terus-menerus.

2.3 Reksadana

Reksadana merupakan terjemahan dari mutual fund, yang lahir sekitar seratus tahun yang lalu di London, Inggris. Reksadana merupakan salah satu bentuk dari perusahaan investasi (investment company) sehingga merupakan buy side (sisi beli/permintaan). Sebenarnya, melalui reksadana inilah nasihat investasi yang baik “jangan menaruh telur dalam satu keranjang” bisa dilaksanakan, sebab pada prinsipnya, investasi pada reksadana adalah melakukan investasi yang menyebar pada sekian instrument investasi yang diperdagangkan di pasar modal, seperti saham, obligasi pemerintah, obligasi swasta, dan yang lainnya dan juga di pasar uang, seperti commercial paper, valas, SBI (Sertifikat Bank Indonesia), dan yang lainnya. Prinsip cara kerja reksadana adalah sebagai berikut :

I. Manajer investasi mengumpulkan dana dari para investor. Untuk bisa mengumpulkan dana ini, manajer investasi menerbitkan saham, yang dijual kepada investor. Saham yang diterbitkan oleh manajer investasi inilah yang kemudian disebut sertifikat reksadana. Untuk bisa menarik minat investor agar membeli reksadana itu, manajer investasi menawarkan berbagai keunggulan yang bisa diraih investor.

II. Setelah dana terkumpul, manajer investasi akan menginvestasikannya pada surat-surat berharga yang dianggap paling menguntungkan. Untuk bisa mendapatkan keuntungan ini, biasanya manajer investasi melakukan spesialisasi, sesuai dengan keahliannya (inilah yang dimaksud keunggulan yang ditawarkan kepada investor). Ada manajer investasi yang khusus melakukan investasi pada saham saja, ada yang dikombinasikan dengan obligasi, atau spesialis pada obligasi saja dan yang lainnya (tergantung spesialisasinya).

III. Manajer investasi akan membagikan keuntungan yang didapatnya kepada investor.

Untuk memperjelas pengertian mekanisme dari reksadana dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 Mekanisme Reksadana (Widoatmodjo 2009).

Dari sisi Bapepam, reksadana Indonesia dibagi dalam 4 (empat) jenis kategori, yakni reksadana pasar uang, reksadana pendapatan tetap, reksadana saham, dan reksadana campuran.

1. Reksadana Pasar Uang

Reksadana pasar uang didefinisikan sebagai reksadana yang melakukan investasi 100% pada efek pasar uang. Efek pasar uang sendiri didefinisikan sebagai efek-efek hutang berjangka kurang dari satu tahun. Secara umum, instrumen atau efek yang masuk dalam kategori ini meliputi deposito, obligasi, serta efek hutang lainnya dengan jatuh tempo kurang dari satu tahun.

2. Reksadana Pendapatan Tetap

Reksadana pendapatan tetap adalah reksadana yang melakukan investasi sekurang-kurangnya 80% dari portofolio yang dikelolanya ke dalam efek yang bersifat hutang. Umumnya reksadana pendapatan tetap di Indonesia memanfaatkan instrumen obligasi sebagai bagian terbesar investasinya. 3. Reksadana Saham

Reksadana saham adalah reksadana yang melakukan investasi sekurang-kurangnya 80% dari portofolio yang dikelolanya ke dalam efek yang bersifat ekuitas (saham). Berbeda dengan efek pendapatan tetap seperti obligasi yang lebih berorientasi pada pendapatan bunga, efek saham umumnya memberikan potensi hasil yang lebih tinggi berupa capital gain

melalui pertumbuhan harga-harga saham. Selain hasil dari capital gain, efek saham juga memberikan hasil berupa dividen.

4. Reksadana Campuran

Tidak seperti reksadana pasar uang, reksadana pendapatan tetap, dan reksadana saham yang mempunyai batasan alokasi investasi yang boleh dilakukan, reksadana campuran dapat melakukan investasinya baik pada efek hutang maupun ekuitas dan porsi alokasi yang lebih fleksibel. Secara definisi, reksadana campuran adalah reksadana yang melakukan investasi dalam efek ekuitas dan efek hutang yang perbandingannya (alokasi) tidak termasuk dalam kategori reksadana pendapatan tetap dan reksadana saham (Pratomo 2004).

Manfaat Dan Risiko Reksadana

Reksadana memberikan keuntungan bagi investor, salah satunya adalah para pemodal/pemegang reksadana tanpa harus memonitor aktivitas perdagangan saham, investasi mereka diurus oleh pengelola reksadana (manajer investasi). Keuntungan lainnya yang didapat dari investasi reksadana adalah sebagai berikut :

1. Mendapat dividen dan bunga.

2. Distribusi laba kapital (capital gain distribution). 3. Diversifikasi investasi dan penyebaran risiko. 4. Biaya rendah.

5. Harga reksadana tidak begitu tergantung dengan harga saham di bursa. 6. Likuiditas terjamin.

7. Pengelolaan portofolio yang profesional.

Risiko yang terkandung dalam setiap tipe reksadana besarnya berbeda-beda. Semakin tinggi return yang diharapkan semakin tinggi pula risikonya. Risiko yang terkandung dalam reksadana perlu mendapat pertimbangan para pemodal. Risiko-risiko ini antara lain adalah :

1. Berkurangnya nilai unit penyertaan. Risiko ini dipengaruhi oleh turunnya harga dari efek yang menjadi bagian portofolio reksadana yang mengakibatkan menurunnya nilai unit penyertaan.

2. Risiko likuidas. Penjualan kembali (redemption) sebagian besar unit penyertaan oleh pemilik kepada manajer investasi secara bersamaan dapat menyulitkan manajer investasi dalam menyediakan uang tunai bagi pembayaran tersebut.

3. Risiko politik dan ekonomi. Perubahan kebijakan di bidang politik dan ekonomi dapat mempengaruhi kinerja perusahaan.

4. Aset perusahaan tidak dilindungi. Perlindungan terhadap aset reksadana dari risiko pencurian, kehilangan, penyalahgunaan sangat penting.

5. Nilai aset perusahaan tidak bisa ditetapkan secara tepat sehingga Net Asset Value (NAV) dari suatu saham reksadana tidak bisa dihitung dengan akurat. 6. Manajemen perusahaan melibatkan orang-orang yang tidak jujur. Perusahaan

reksadana dikelola menurut kepentingan dari pemegang saham tertentu/kelompok (Cahyono 2002).

Nilai Aktiva Bersih (NAB)

NAB adalah jumlah aktiva setelah dikurangi kewajiban-kewajiban yang timbul selama reksadana diperdagangkan. Aktiva reksadana berasal dari nilai portofolio reksadana, yang dapat berupa kas, deposito, Surat Berharga Pasar Uang (SBPU), Sertifikat Bank Indonesia (SBI), saham, obligasi dan efek lainnya. Sementara kewajiban reksadana dapat berupa fee manajer investasi yang belum dibayar, fee Bank Kustodian yang belum dibayar, fee pialang yang belum dibayar, pembelian efek yang belum dilunasi dan pajak-pajak yang belum dibayar.

Unit Penyertaan (UP) adalah satuan kepemilikan investor atas reksadana. Sedangkan NAB per UP berarti nilai NAB dibagi dengan UP yang beredar

(outstanding). Secara singkat NAB/UP dapat dijelaskan sebagai harga beli per Unit Penyertaan jika investor ingin berinvestasi di reksadana, sekaligus sebagai harga jual per Unit Penyertaan jika investor ingin mencairkan investasinya. Informasi NAB/UP menjadi indikator untung ruginya investasi, dengan mengetahui pada harga berapa investor membeli dan pada harga berapa investor akan menjualnya.

Return Reksadana

Return reksadana saham bulanan dihitung dengan cara mengurangi NAB per unit penyertaan pada akhir bulan bersangkutan dengan akhir bulan sebelumnya. Hasilnya kemudian dibagi dengan NAB perunit penyertaan akhir bulan sebelumnya (Pratomo 2004).

Risiko Reksadana Saham

Risiko sering diasosiasikan dengan variabilitas atau dispersi. Jika return

suatu asset tidak mempunyai variabilitas, maka asset tersebut dikatakan tidak mempunyai risiko. Semakin besar variabilitas return suatu asset, semakin besar kemungkinan return berbeda dengan hasil yang diharapkannya. Antarjenis aset yang berbeda, variabilitas return dari tahun ke tahun adalah juga berbeda. Yang dibutuhkan disini adalah pengukur volatilitas return.

Pengukur variabilitas return yang paling umum digunakan adalah varians

(variance) dan deviasi standar (standart deviation). Keduanya mengukur seberapa jauh return aktual berbeda dengan rata-rata return. Varians mengukur rata-rata selisih kuadrat antara return aktual dan rata-rata return. Semakin besar nilai

varians, semakin jauh return aktual berbeda dari rata-rata returnnya. 2.4 Portofolio

Portofolio merupakan suatu bidang ilmu yang khusus mengkaji tentang bagaimana cara yang dilakukan oleh seorang investor untuk menurunkan risiko dalam berinvestasi secara seminimal mungkin, termasuk salah satunya dengan menganekaragamkan risiko tersebut (Fahmi 2009).

Portofolio Efisien dan Portofolio Optimal

Dalam pembentukan portofolio, investor selalu ingin memaksimalkan return harapan dengan tingkat risiko tertentu yang bersedia ditanggungnya, atau mencari portofolio yang menawarkan risiko terendah dengan tingkat return

tertentu. Karakteristik portofolio seperti ini disebut sebagai portofolio efisien. Sedangkan, portofolio optimal merupakan portofolio yang dipilih seorang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien. Tentunya portofolio yang dipilih sesuai dengan preferensi investor bersangkutan terhadap return maupun terhadap risiko yang bersedia ditanggungnya.

Fungsi Utilitas dan Kurva Indeferen

Dalam ilmu ekonomi, dikenal adanya “teori pilihan” yang membahas proses pembuatan keputusan diantara dua atau lebih alternatif pilihan. Salah satu konsep penting dalam teori pilihan adalah apa yang disebut sebagai konsep fungsi utilitas. Fungsi utilitas bisa diartikan sebagai suatu fungsi matematis yang menunjukkan nilai dari semua alternatif pilihan yang ada. Semakin tinggi nilai

suatu alternatif pilihan, semakin tinggi utilitas alternatif tersebut. Dalam konteks manajemen portofolio, fungsi utilitas menunjukkan preferensi seorang investor terhadap pilihan investasi dengan masing-masing risiko dan tingkat return

harapan.

Fungsi utilitas bisa digambarkan dalam bentuk grafik sebagai kurva

indeferen. Gambar 3 menunjukkan tiga kurva indeferen yang dilambangkan sebagai u1, u2, dan u3. Garis horizontal menggambarkan risiko, sedangkan garis

vertical menggambarkan return harapan. Setiap kurva indeferen menggambarkan suatu kumpulan portofolio dengan return harapan dan risikonya masing-masing. Setiap titik-titik yang terletak disepanjang suatu kurva indeferen menggambarkan kombinasi return yang diharapkan dan risiko yang akan memberikan utilitas yang sama bagi investor.

Gambar 3 kurva indeferen (Tandelin 2010) Metode Portofolio Markowitz

Pendekatan Markowitz mampu mengatasi kelemahan diversifikasi secara naif, karena dengan menggunakan model Markowitz investor bisa memanfaatkan semua informasi yang tersedia sebagai dasar pembentukan portofolio yang optimal. Pada dasarnya, teori portofolio dengan model Markowitz didasari oleh tiga asumsi, yaitu :

1. Periode investasi tunggal, misalnya 1 tahun; 2. Tidak ada biaya transaksi;

Memilih Portofolio Optimal

Dalam pendekatan Markowitz, pemilihan portofolio investor didasarkan pada preferensi mereka terhadap return harapan dan risiko masing-masing pilihan portofolio. Pemilihan portofolio yang optimal didasarkan pada preferensi investor terhadap return harapan dan risiko yang ditunjukkan oleh kurva indeferen. Gambar 4 menunjukkan portofolio yang efisien dan portofolio optimal.

Gambar 4 Portofolio efisien dan portofolio optimal (Tandelin 2010)

Model portofolio Markowitz merupakan kontribusi penting dari Markowitz yang sangat berguna bagi investor untuk memahami bagaimana mereka seharusnya melakukan diversifikasi secara optimal. Disamping kontribusi penting tersebut, ada tiga hal yang perlu diperhatikan dari model Markowitz.

1. Semua titik portofolio yang ada dalam permukaan efisien mempunyai kedudukan yang sama antara satu dengan yang lainnya.

2. Model Markowitz tidak memasukkan isu bahwa investor boleh meminjam dana untuk membiayai investasi portofolio pada asset berisiko. Model Markowitz juga belum memperhitungkan kemungkinan investor untuk melakukan investasi pada asset bebas risiko.

3. Dalam kenyataannya, investor yang berbeda-beda akan mengestimasi input yang berbeda pula ke dalam model Markowitz sehingga garis permukaan efisien yang dihasilkan juga berbeda-beda bagi masing-masing investor tersebut.

Return Harapan Portofolio

Return harapan dari suatu portofolio adalah penjumlahan return harapan tiap reksadana pembentuk portofolio tersebut dikalikan bobot masing-masing reksadana dalam portofolio atau dapat ditulis seperti pada persamaan 2.1.

………. (2.1) dimana : = Return harapan dari portofolio

= Return dari reksadana saham ke-i

= Proporsi dana yang diinvestasikan pada reksadana saham-i

………. (2.2) (Markowitz 1952).

Risiko Portofolio

Ragam portofolio mencerminkan risiko dari portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dapat dituliskan seperti pada persamaan 2.3.

………. (2.3) dimana : = Ragam (Varian) portofolio

= Koragam (Kovarian) dari reksadana saham i dan j

= Proporsi dana yang diinvestasikan pada reksadana saham-i

= Ragam (Varian) reksadana saham ke-i

(Markowitz 1952). 2.5 Algoritma Genetika

Algoritma genetika (AG) adalah algoritma pencarian yang didasarkan pada mekanisme seleksi alamiah dan genetika alamiah (Golberg 1989). Menurut Suyanto (2007) pada awalnya AG memang digunakan sebagai algoritma pencarian parameter-parameter optimal. Tetapi, dalam perkembangannya, AG dapat diaplikasikan untuk berbagai masalah lain, seperti learning, peramalan, pemrograman otomatis, dan sebagainya. Pada bidang soft computing, AG banyak digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai parameter yang optimal pada JST maupun system fuzzy.

Pengkodean

Pengkodean adalah suatu teknik untuk menyatakan populasi awal sebagai calon solusi suatu masalah ke dalam suatu kromosom sebagai suatu kunci pokok persoalan ketika menggunakan algoritma genetika.

Agar algoritma genetika dapat dijelaskan berdasarkan teori evolusi, maka setiap solusi harus direpresentasikan dalam sebuah kode yang sesuai dengan persoalan. Kode yang digunakan harus dapat mewakili seluruh ruang penyelesaian.

Gambar 5 Perbandingan pendekatan kovensional dengan GA

Sebagai contoh, untuk persoalan mencari nilai maksimal sebuah fungsi f(x)

dengan batasan variable x adalah (ax, bx

………..……. (2.4) Persamaan 2.4 dapat juga ditulis :

dan

Dimana :

m = panjang kode bit (panjang kromosom)

) dan dengan akurasi p angka di belakang koma. Bila panjang kode bit untuk variable x adalah m, maka panjang kromosom (chromosome size) adalah m, di mana (Mitsuo, 1994) :

bx = nilai batas maksimal dari variable x

ax

………….……… (2.5) dimana :

c

= nilai batas minimal dari variable x

p = jumlah angka dibelakang koma (akurasi)

Untuk mendapatkan nilai x dari sebuah kromosom dapat diperoleh dari persamaan 2.5.

x

• Real-number encoding. Pada skema ini, nilai gen berada dalam interval [0,R], di mana R adalah bilangan real positif dan biasanya R=1.

= nilai desimal dari m bit kromosom (Berlianty 2010).

Terdapat tiga skema yang paling umum digunakan dalam pengkodean, yaitu :

• Discrete decimal encoding. Setiap gen bisa bernilai salah satu bilangan bulat dalam interval [0,9].

• Binary encoding. Setiap gen hanya bisa bernilai 0 atau 1.

x1 x2 x

0,2390

3

1,0000 0,0131

g1 g2 g3

2 3 9 9 9 9 0 1 3

g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9

0 1 0 1 1 1 0 0 0

g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9

Gambar 6 Tiga jenis skema pengkodean. Real-number encoding (atas), discrete encoding (tengah), dan Binary encoding (bawah) (Suyanto 2005). Parameter Algoritma Genetika

1. Fungsi Evaluasi Kebugaran (fitness)

Fungsi fitness digunakan untuk mengukur tingkat kebaikan atau kesesuaian (fitness) suatu solusi dengan solusi yang dicari. Fungsi fitness biasa berhubungan langsung dengan fungsi tujuan (fungsi objektif), atau bisa juga sedikit dimodifikasi terhadap fungsi tujuan. Sejumlah solusi yang dibangkitkan dalam populasi akan dievaluasi menggunakan fungsi fitness. Fungsi fitness yang

biasa digunakan adalah , dimana f(x) adalah fungsi tujuan dari problem yang kita selesaikan. Untuk kasus minimasi, jika didapatkan f(x) yang kecil maka nilai fitnessnya besar. Sebaliknya, untuk kasus maksimasi, fungsi

fitnessnya bisa menggunakan nilai f(x) sendiri, jadi F(x) = f(x).

Setelah setiap solusi dievaluasi dengan fungsi fitness, perlu dilakukan proses seleksi terhadap kromosom. Proses seleksi dilakukan untuk memilih diantara kromosom anggota populasi ini, mana yang bisa menjadi induk (parent) atau melakukan identifikasi diantara populasi ini, kromosom yang akan menjadi anggota populasi berikutnya. Ada beberapa cara melakukan seleksi ini. Sebagian anggota populasi bisa dipilih untuk proses reproduksi (Santosa 2011).

2. Proses Seleksi

1. Metode Roulette-Wheel Selection

Sesuai dengan namanya, metoda ini menirukan permainan roulette wheel di mana masing-masing kromosom menempati potongan lingkaran pada roda roulette secara proporsional sesuai dengan nilai fitnessnya. Kromosom yang memiliki nilai fitness lebih besar menempati potongan lingkaran yang lebih besar dibandingkan dengan kromosom bernilai fitness rendah.

Gambar 7 Contoh penggunaan metoda roulette wheel selection.

Metoda raulette-wheel selection sangat mudah diimplementasikan dalam pemprograman. Pertama, dibuat interval nilai kumulatif dari nilai fitness masing-masing kromosom. Sebuah kromosom akan terpilih jika bilangan random yang dibangkitkan berada dalam interval kumulatifnya. Pada Gambar 7 di atas, K1 menempati interval kumulatif [0;0,25], K2 beradadalam interval (0,25;0,74], K3 dalam interval (0,75;0,875] dan K4 berada dalam interval (0,875;1]. Misalkan, jika bilangan random yang

dibangkitkan adalah 0,6 maka kromosom K2 terpilih sebagai orang tua. Tetapi jika bilangan random yang dibangkitkan adalah 0,9 maka kromosom K4 yang terpilih (Suyanto 2005).

2. Metode Pairing dari atas ke bawah

Dimulai dari atas pada dua kromosom yang berurutan sampai dengan jumlah peluang rate seleksi yang telah ditentukan. Orang tua dipilih dari baris ganjil dan genap dan saling dikawinkan (Haupt 2004).

3. Steady State

Metode ini tidak banyak digunakan dalam proses seleksi karena dilakukan dengan mempertahankan individu yang terbaik. Pada setiap generasi, akan dipilih beberapa kromosom dengan nilai fitnessnya yang terbaik sebagai induk, sedangkan kromosom-kromosom yang memiliki nilai f.itness terburuk akan digantikan dengan offspring yang baru. Sehingga pada generasi selanjutnya akan terdapat beberapa populasi yang bertahan.

4. Binary Tournament

Dalam metode seleksi binary tournament dua individu dipilih secara acak dari n populasi dan kemudian membandingkan nilai fitness. Individu yang mempunyai nilai fitness terbesar akan terpilih menjadi

parent.

3. Operator Pada Algoritma Genetika

Algoritma genetika merupakan proses pencarian yang heuristik dan acak sehingga penekanan pemilihan operator yang digunakan sangat menentukan keberhasilan algoritma genetik dalam menemukan solusi optimum suatu masalah yang diberikan. Hal yang harus diperhatikan adalah menghindari terjadinya konvergensi premature, yaitu mencapai solusi optimum yang belum waktunya, dalam arti bahwa solusi yang diperoleh adalah hasil optimum lokal.

1. Pindah Silang (Crossover)

Salah satu komponen paling penting dalam algoritma genetika adalah crossover atau pindah silang. Sebuah kromosom yang mengarah

pada solusi yang bagus bisa diperoleh dari proses memindah-silangkan dua buah kromosom.

Pindah silang bisa juga berakibat buruk jika ukuran populasinya sangat kecil. Dalam suatu populasi yang sangat kecil, suatu kromosom dengan gen-gen yang mengarah ke solusi akan sangat cepat menyebar ke kromosom-kromosom lainnya. Untuk mengatasi masalah ini digunakan suatu aturan bahwa pindah silang (crossover) hanya bisa dilakukan dengan suatu probabilitas crossover tertentu pc. Artinya pindah silang bisa

dilakukan hanya jika suatu bilangan random [0,1) yang dibangkitkan kurang dari pc yang ditentukan. Pada umumnya, pc

1. Pindah silang satu titik (one-point crossover)

diset mendekati 1, misalnya 0.8.

Pindah silang dapat dilakukan dalam beberapa cara berbeda, yaitu :

Suatu titik potong dipilih secara random, kemudian bagian pertama dari orang tua 1 digabungkan dengan bagian kedua dari orang tua 2 (lihat Gambar 8).

Gambar 8 Pindah silang satu titik 2. Pindah silang lebih dari satu titik (n-point crossover)

Untuk kromosom yang sangat panjang, misalkan 1000 gen, mungkin saja diperlukan beberapa titik potong, dimana n titik potong dipilih secara random dan bagian-bagian kromosom dipilih dengan probabilitas 0.5 dari salah satu orang tuanya.

3. Simulated Binary Crossover (SBX)

Pada proses crossover menggunakan SBX, dua individu parent

diseleksi secara acak, kemuadian setiap elemen pada kromosom akan diganti menggunakan persamaan berikut sehingga menghasilkan kromosom anak (child).

, Jika u ≤ 0.5 ………... (2.6) , Jika u > 0.5………... (2.7) ………... (2.8) ……….. (2.9)

Parent 1 Parent 2 Child 1 Child 2

p1,1 p2,1 c1,1 c2,1

p1,2 p2,2 c1,2 c2,2

⋮ dan ⋮  ⋮ dan ⋮

p1,k p2,k c1,k c2,k

Gambar 10 Proses Simulated Binary Crossover (SBX) Keterangan :

u = Bilangan acak random pada interval 0-1 Mu = Distribusi index untuk crossover

= parent (orang tua) ke-1 dengan k elemen = parent (orang tua) ke-2 dengan k elemen = child (anak) yang ke-1 hasil crossover = child (anak) yang ke-2 hasil crossover

2. Mutasi (Mutation)

Proses mutasi yang dilakukan menggunakan metode polynomial mutation

dengan melakukan penggantian setiap elemen di dalam kromosom menggunakan persamaan berikut.

, Jika rk , Jika r

< 0.5 ……….. (2.10) k

………. (2.12)

Keterangan : rk

= child (anak) ke-k yang terjadi mutasi = Bilangan acak random pada interval 0-1 Mum = Distribusi index untuk mutasi

3. Elitisme

Konsep elitisme (elitism) dalam algoritma genetika berarti usaha mempertahankan individu-individu terbaik yang telah diperoleh disuatu generasi ke dalam generasi selanjutnya. Sehingga individu-individu terbaik ini akan tetap muncul di populasi berikutnya. Langkah ini dilakukan dalam berbagai cara. Misalnya, melalui penyalinan individu terbaik, atau dapat juga melalui kombinasi antara solusi-solusi turunan atau anak dengan induk. Terbukti bahwa penggunaan operator elitism ini telah terbukti memiliki pengaruh yang sangat penting saat menggunakan algoritma genetika untuk menyelesaikan persoalan optimasi dengan tujuan tunggal (Santosa 2011).

2.6 Multi Objective Optimization

Multi-objective optization atau juga dikenal dengan Multi-criteria optimization merupakan suatu persoalan optimasi dengan fungsi tujuan lebih dari satu (ganda), diantara fungsi-fungsi tujuan ini sangat mungkin terjadi konflik.

Keberadaan masalah optimasi multi tujuan ini tidak dapat disangkal atau dihindari lagi. Ada begitu banyak permasalahan, baik didunia nyata maupun secara matematis, yang secara alamiah memiliki lebih dari satu tujuan yang ingin dioptimasikan. Bahkan, sangat mungkin terjadi konflik antar satu atau beberapa tujuan dengan tujuan lainnya.

Upaya untuk menemukan solusi optimal dari suatu permasalahan multi tujuan telah banyak dilakukan. Sayangnya, banyak diantara penelitian tersebut yang dalam proses optimasinya, melakukan konversi multi tujuan ke tujuan tunggal. Bahkan tidak jarang, penelitian justru berfokus pada perbaikan teknik konversi (Santosa 2011).

Pareto Optimal

Pareto optimal atau Optimalitas Pareto adalah konsep optimalitas yang dikemukakan oleh Pareto. Konsep ini secara sederhana mengatakan bahwa sebuah titik mencapai optimalitas apabila tidak ada titik lain yang mampu memperbaiki optimalitas yang sudah tercapai.

Dalam bahasa matematis, untuk masalah optimasi multi tujuan tanpa pembatas,

……… (2.13) Dengan k 2 dan x X, solusi x* X disebut optimal Pareto jika dan

hanya jika ………. (2.14)

Dengan berlaku untuk paling sedikit satu index-j.

Optimal pareto menurut definisi ini dikenal sebagai bentuk tegas (strict form) atau bentuk kuat (strong form). Sementara bentuk lemah (weak form) jika yang berlaku adalah tanda “<”, menggantikan tanda “ ” pada persamaan diatas,

………. (2.15) Dengan demikian, optimal Pareto yang jika tidak disebut khusus berarti bersifat tegas atau kuat, merupakan bagian (subset) dari optimal Pareto yang bersifat lemah (weakly Pareto optimal). Untuk kasus maksimasi, tanda tinggal dibalik.

Dominasi

Dalam kasus meminimumkan jika terdapat a,b∈ X dan f(a) < f(b), maka dikatakan bahwa b didominasi a dan f(b) didominasi f(a). pendominasian disini bersifat tegas (strictly domination) atau kuat (strongly domination). Solusi b

dikatakan didominasi secara lemah (weakly domination) oleh a, jika f(a) ≤ f(b). Jika solusi a mendominasi secara tegas solusi b maka solusi a juga mendominasi secara lemah solusi b, namun tidak sebaliknya. Jika solusi a mendominasi solusi b

maka secara intuisi a lebih baik daripada b, untuk kasus maksimasi tanda tinggal dibalik (Santosa 2011).

Himpunan (set) dari non-dominated solutions disebut non-dominated set. Himpunan ini memenuhi dua kondisi berikut :

2. Setiap solusi yang berada diluar himpunan didominasi paling sedikit oleh satu anggota himpunan (Deb 2004).

Pareto Set

Apabila non-dominated set yang diperoleh berasal dari keseluruhan ruang pencarian (x∈ X) maka himpunan ini dikenal pula sebagai Pareto set atau Pareto frontier. Jadi, semua solusi x dalam Pareto set, atau lengkapnya set of pareto optimal solutions, memenuhi konsep Optimalitas Pareto. Dengan demikian, seluruh anggota Pareto set adalah yang terbaik, yang paling optimal sesuai fungsi-fungsi tujuan yang ada.

2.7 Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II)

Model NSGA-II ini efisien dari segi komputasi dan menggunakan operator

elitism dan crowded comparison yang mempertahankan keragaman tanpa menggunakan berbagai parameter tambahan (Santosa 2011).

Pada Gambar 11, generasi ke-t, populasi offspring Qt dibentuk dari

populasi Pt dengan menggunakan operator-operator evolusioner. Kemudian Pt

dan Qt digabungkan menjadi satu populasi, yaitu Rt.

Setiap individu dalam populasi Rt kemudian diklasifikasikan berdasarkan

nondomination level ke dalam kelas, atau front yang berbeda : F1, F2, …, Fn.

Dengan demikian F1 terdiri atas solusi-solusi, atau individu-individu, terbaik

dalam populasi gabungan Rt. Sementara yang terburuk berada pada kelas yang

paling buncit, yaitu Fn.

Selanjutnya NSGA-II menerapkan niching berupa penambahan crowding distance kepada setiap individu. Tujuannya adalah untuk mempertahankan keragaman populasi dan membantu algoritma untuk mengeksplorasi ruang pencarian.

Gambar 11 Prinsip kerja NSGA-II (Santosa 2011)

Inisialisasi Populasi

Populasi diinisialisasi berdasarkan kisaran permasalahan dan kendala jika ada.

Non-Dominated Sort

Populasi yang telah diinisialisasi diurutkan berdasarkan peringkat

nondomination.

Crowding Distance

Setelah dilakukan sort berdasarkan nondominasi, maka terdapat kumpulan individu yang dominasi terhadap individu lainnya. Kemudian kumpulan individu-individu tersebut disebut sebagai front. Setelah didapatkan individu-individu yang terdapat didalam satu front langkah selanjutnya adalah melakukan proses

crowding. Crowding distance merupakan kerapatan dari suatu front yang ada disekitar tetangga terdekatnya, kemudian jarak dari masing-masing solusi tersebut berdasarkan tetangga terdekatnya. Crowding distance didapatkan dari solusi-solusi yang terbaik pada proses nondominated sort kemudian membandingkan

crowding distance dengan dua individu pada front yang berbeda dan mempunyai nilai kurang dominan, berikut gambar tentang proses crowding distance.

Gambar 12 Proses crowding distance (Deb 2002)

Selection

Setelah individu diurutkan berdasarkan non-dominasi dan dengan penugasan crowding distance, seleksi dilakukan dengan menggunakan crowded-comparison-operator ( ).

Genetic Operator

Operator genetik yang digunakan setelah proses evaluasi tahap pertama membentuk populasi baru dari generasi sekarang. Operator-operator tersebut adalah crossover, mutasi, dan Elitisme.

Recombination dan Seleksi

Populasi anak yang dikombinasikan dengan populasi generasi sekarang dan seleksi dilakukan untuk mengatur individu-individu dari generasi berikutnya. Karena semua individu terbaik sebelumnya dan saat ini ditambahkan dalam populasi, maka elitisme akan terjamin. Populasi sekarang diurutkan berdasarkan non-dominasi. Generasi baru ini diisi oleh front masing-masing kemudian sampai ukuran populasi melebihi ukuran populasi saat ini. Jika dengan menambahkan semua individu di front Fj populasi melebihi N maka individu di front Fj dipilih

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Kerangka Pikir Penelitian

Dalam penelitian ini, kerangka pikir dapat digambarkan pada suatu diagram alir seperti pada Gambar 13.

Gambar 13 Diagram alir penelitian Mulai

Identifikasi Masalah

Studi Literatur

Pengumpulan Data

Pengolahan Data

Pengembangan Model

Analisa dan Pembahasan

3.1.1 Identifikasi Masalah

Pertumbuhan ekonomi semakin cepat sehingga membuat para investor ingin melakukan diversifikasi investasi. Diversifikasi investasi mempunyai tujuan memaksimumkan return dan meminimumkan risiko. Hal ini merupakan suatu konflik yang tidak bisa dihindari karena fungsi tujuan yang saling bertentangan satu sama lain. Sehingga terdapat permasalahan bagaimana menyusun suatu portofolio optimal yang akan memaksimumkan return dan meminimumkan risiko pada reksadana saham.

3.1.2 Studi Literatur

Studi literatur dilakukan untuk mempelajari dan memperdalam teori dan mengimplementasikannya pada penelitian ini, seperti mempelajari teori tentang investasi, reksadana, portofolio dan algoritma genetika multi objektif.

3.1.3 Pengumpulan Data

Dalam penelitian ini, data yang digunakan merupakan data dari nilai aktiva bersih (NAB) dari beberapa reksadana saham yang bersumber dari Pusdok Majalah Bisnis Indonesia (PMBI) dan bersifat sekunder. Adapun reksadana saham yang akan menjadi objek dalam penelitian ini dapat dilihat pada Tabel 1:

Tabel 1 Daftar nama reksadana saham

Kode Reksadana Saham RDS01 GMT Dana Ekuitas RDS02 Makinta Growth Fund

RDS03 Lautandhana Equity Progresif RDS04 Makinta Mantap

RDS05 MNC Dana Ekuitas RDS06 BNI Dana Berkembang RDS07 Panin Dana Maksima RDS08 Danareksa Mawar RDS09 Rencana Cerdas RDS10 Trim Kapital Plus

Data diambil berdasarkan periode bulanan yang sama, yaitu Januari 2007 sampai dengan Desember 2010 dan dapat dilihat pada Lampiran 1.

3.1.4 Pengolahan Data

Tahap yang dilakukan untuk menentukan portofolio yang optimal pada reksadana saham, yaitu diawali dengan menghitung expected NAB, return dan

risiko reksadana saham, expected return dan risiko, menghitung bobot (alokasi) masing-masing reksadana saham, dan menghitung return harapan dan risiko dari portofolio yang dibentuk dengan menggunakan perusahaan reksadana seperti pada Tabel 1.

1. Menentukan expected NAB harapan per Unit

Untuk menghitung expected NAB digunakan eksponensial moving average (EMA) seperti pada persamaan 3.1.

…… (3.1)

Dimana :

: Expected NAB (NAB harapan)

: Nilai NAB saat itu

: Nilai Simple Moving Average (SMA) 2. Menentukan return

Untuk menghitung expected return dari reksadana saham dilakukan dengan cara mengurangkan expected NAB harapan bulan bersangkutan (NABperunitn) dengan expected NAB bulan sebelumnya (NABperunitn-1) kemudian dibagi dengan expected NAB bulan sebelumnya (NABperunitn-1

…………..……….. (3.2) Dimana :

E(R

).

n) = Return bulan bersangkutan

NABperunitn = NAB perunit bulan bersangkutan

NABperunitn-1

……… (3.3) dimana :

= NAB perunit bulan sebelumnya (Pratomo, 2004).

Sedangkan untuk menghitung risiko dalam hal ini standar deviasi menggunakan persamaan 3.3.

= Ragam (varian) reksadana saham

= Return dari reksadana saham j pada periode t

= Return harapan dari reksadana saham j = Banyaknya periode (Tandelin 2010).

3. Menentukan expectedreturn dan risiko portofolio

Expected return portofolio dapat dihitung dengan menjumlahkan

expected return dari masing-masing reksadana saham penyusun portofolio berdasarkan bobot masing-masing seperti pada persamaan (2.1) dan ragam portofolio yang mencerminkan risiko dari suatu portofolio dapat dilihat pada persamaan (2.3).

3.1.5 Pengembangan Model

Pengembangan model ini dilakukan dengan pendekatan algoritma genetika multi objektif, yaitu dengan menentukan inisialisasi populasi, non-dominated sort,

crowding distance, selection, crossover, mutation, elitism, dan recombination dan seleksi. Dapat dilihat pada Gambar 14.

Gambar 14 Pengembangan model algoritma genetika multi objektif Yes

Yes

No

No Start

Inisialisasi Populasi Gen = 0

Front = 1

Terklasifikasi

Crossover

Mutasi

Fitness

Individu dominan

Front = F+1 Gen=Gen+1

Gen<Max Gen

Stop

Inisialisasi Populasi

Tipe skema pengkodean yang digunakan untuk inisialisasi populasi adalah berbentuk real number encoding. Setiap kromosom mengandung informasi reksadana saham terpilih dan bobot alokasi pada reksadana saham tersebut. Adapun bentuk kromosom adalah sebagai berikut :

w1E(Ri) w2E(Ri) w3E(Ri) w4E(Ri) … wiE(Ri)

Dimana :

wi = Bobot (alokasi dana)

E(Ri) = Nilai expected return reksadana saham ke-i

Non-dominated Sort

Setelah dilakukan inisialisasi populasi, maka dilakukan nondominated sorting agar populasi terklasifikasi ke dalam front-front menggunakan konsep dominasi dengan algoritma.

t = 0;

Initialize (Pt); Evaluate (Pt Q ); t R = ; While t < T

t = Pt Qt ;

F = Non_dominated_sort(Rt P

) t+1 = , i =1;

while |Pt+1| + |Fi| > N

Crowding_distance_assignment(Fi P

) t+1 = Pt+1 Fi

sort_{(Fi, );}

; i=i+1; End while

Pt+1 = Pt+1 Fi[1 : (N - |Pt+1|)]; Qt+1 = make_new_population(Pt+1

for each i L L[i]

); t = t + 1; End while

(Deb 2003).

Crowding Distance

Setelah dilakukan nondominated sorting, maka untuk mempertahankan keragaman populasi dilakukanlah crowding distance dengan algoritma:

Crowding-distance-assignment (L). l=|L|

for each objective m L = sort(L,m);

L[1]distance = L[l]distance

(Arthur et al. 2009).

Selection

Untuk memilih individu-individu baru dalam populasi yang akan terbentuk, dilakukanlah metode seleksi turnamen dengan crowded-comparison-operator dengan algoritma sebagai berikut :

= ; for i=2 to (l-1);

(1) non-dominasi rank prank, yakni individu di front Fi akan mempunyai

tingkatan prank

(2) crowding distanceF =i

i(dj

* p q, jika - p

)

rank < qrank

- atau jika p dan q memiliki front Fi yang sama maka Fi(dp)>Fi(dq

3.1.6 Analisa dan Pembahasan

Pada tahap ini akan dianalisa hasil dari penyusunan portofolio yang optimal, berapa bobot yang dialokasikan pada tiap-tiap reksadana saham dan reksadana saham apa saja yang terpilih sebagai penyusun portofolio yang optimal serta risiko yang dapat ditanggung oleh seorang investor.

), yakni dipilih dari nilai crowding distance yang lebih besar.

Operator Algoritma Genetika

Pada penelitian ini digunakan operator algoritma genetika yaitu crossover dengan menggunakan persamaan (2.8) dan (2.9) dan mutasi menggunakan persamaan (2.10) dan (2.11).

Recombination dan Seleksi

Setelah dilakukan nondominated sort, crowding distance, selection, dan penerapan operator algoritma genetika, maka dilakukan recombination dan seleksi untuk membentuk individu-individu baru dalam populasi generasi berikutnya.

3.1.7 Alat Bantu Penelitian

Alat-alat bantu yang digunakan dalam penelitian ini adalah notebook

dengan spesifikasi Pentium 1.4 GHz, Memory 2 GB, Hard disk 240 GB. Perangkat lunak yang digunakan adalah Matlab 7.7.0 dan Microsoft Excel 2010. 3.1.8 Lokasi dan Waktu Penelitian

Lokasi penelitian dilaksanakan di Laboratorium Pascasarjana Departemen Ilmu Komputer FMIPA-IPB yang dilaksanakan selama 10 bulan.

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Proses penyusunan portofolio reksadana saham ini menghasilkan himpunan portofolio dengan nilai expectedreturn yang maksimum dan nilai risiko yang minimum. Proses untuk mendapatkan portofolio yang optimum dilakukan dengan menggunakan Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA) NSGA-II sehingga hasil yang didapatkan dapat digunakan untuk membantu investor (pemodal) dalam menyusun portofolio reksadana saham secara optimal.

Model yang digunakan dalam penyusunan portofolio reksadana saham ini menggunakan model yang dikembangkan oleh Markowitz. Model yang dikembangkan oleh Markowitz ini bertujuan untuk memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan risiko, atau memaksimumkan keuntungan dengan tingkat risiko tertentu, atau tingkat keuntungan tertentu dengan risiko yang minimum.

Data yang digunakan sebagai input bagi model MOGA adalah data nilai aktiva bersih (NAB) perunit tiap reksadana saham bulanan (harga penutupan tiap akhir bulan) yang diperoleh dari sumber Pusdok Majalah Bisnis Indonesia (PMBI) selama periode 4 tahun (2007-2010) atau sebanyak 48 bulan (Lampiran 1).

4.1 Praproses Data

Data reksadana saham yang digunakan diperoleh dari PMBI periode Januari 2007 sampai dengan Desember 2010 atau sejumlah 48 data untuk setiap reksadana saham yang digunakan. Data yang digunakan berupa data NAB perunit setiap bulan dengan jumlah reksadana saham yang digunakan sejumlah 10 reksadana saham dari 85 reksadana saham yang ada di Indonesia. Adapun reksadana saham yang digunakan seperti pada Tabel 1.

4.2 Expected Nilai Aktiva Bersih (NAB)

Berdasarkan data NAB perunit yang diperoleh dari PMBI dengan 10 perusahaan reksadana saham seperti pada Tabel 1, maka dilakukan pendugaan NAB dengan menggunakan exponensial moving average (EMA) periode 12, 24 dan 36 bulan dengan menggunakan aplikasi yang telah dibangun, dalam hal ini

menggunakan Matlab sehingga diperoleh expected NAB yang diperlukan untuk melakukan penyusunan portofolio.

4.2.1 Parameter EMA

Tabel 2 merupakan parameter yang digunakan untuk melakukan pendugaan (expected) terhadap NAB.

Tabel 2 Parameter Expected NAB

Parameter Jumlah

Reksadana 10

Periode (Bulan) 12, 24 dan 36

Untuk melakukan pendugaan NAB menggunakan sejumlah parameter, yaitu 10 reksadana saham yang digunakan untuk penyusunan portofolio dan periode berdasarkan pada Tabel 2. Hasil dari perhitungan menggunakan EMA ini akan memberikan nilai pendugaan NAB dengan menggunakan data bulan sebelumnya. Data yang dihasilkan dari pendugaan NAB ini digunakan untuk menghitung nilai harapan keuntungan (expected return) dan risiko.

4.2.2 Expected NAB

Pada grafik dibawah ini merupakan grafik dari nilai-nilai expected NAB yang dihasilkan dari perhitungan menggunakan EMA (Lampiran 2).

Gambar 15 Expected NAB periode 12 bulan

0,00 2000,00 4000,00 6000,00 8000,00 10000,00 12000,00

RDS01 RDS02 RDS03 RDS04 RDS05 RDS06 RDS07 RDS08 RDS09 RDS10

Feb-10 Mar-10 Apr-10 May-10 Jun-10 Jul-10 Aug-10 Sep-10 Oct-10 Nov-10 Dec-10 Jan-11

Pada Gambar 15 terlihat bahwa RDS01, RDS03, RDS04, RDS05, RDS07, RDS08 dan RDS09 mengalami kenaikan, sedangkan RDS02 dan RDS10 stabil dan RDS06 mengalami penurunan.

Gambar 16 Expected NAB periode 24 bulan

Pada Gambar 16 terlihat bahwa RDS01, RDS02, RDS03, RDS04, RDS05, RDS07, RDS08, RDS09 dan RDS10 mengalami kenaikan, sedangkan RDS06 mengalami penurunan.

Gambar 17 Expected NAB periode 36 bulan

Pada Gambar 17 terlihat bahwa RDS01, RDS04, RDS08 dan RDS09 mempunyai peningkatan pertumbuhan, sedangkan RDS02 dan RDS06 mempunyai pertumbuhan yang menurun dan RDS03, RDS04, RDS05, RDS07 serta RDS10 mempunyai pertumbuhan yang stabil.

0,00 1000,00 2000,00 3000,00 4000,00 5000,00 6000,00 7000,00 8000,00 9000,00 10000,00 RDS01RDS02RDS03RDS04RDS05RDS06RDS07RDS08RDS09RDS10 Feb-10 Mar-10 Apr-10 May-10 Jun-10 Jul-10 Aug-10 Sep-10 Oct-10 Nov-10 Dec-10 Jan-11 0,00 1000,00 2000,00 3000,00 4000,00 5000,00 6000,00 7000,00 8000,00 9000,00

RDS01 RDS02 RDS03 RDS04 RDS05 RDS06 RDS07 RDS08 RDS09 RDS10

Feb-10 Mar-10 Apr-10 May-10 Jun-10 Jul-10 Aug-10 Sep-10 Oct-10 Nov-10 Dec-10 Jan-11

4.3 Expected Return dan Risiko

Berdasarkan data expected NAB yang telah diperoleh pada periode 12, 24 dan 36 bulan, maka dilakukan perhitungan expected return dan risiko sehingga diperoleh nilai expected return dan risiko pada Tabel 4.

Tabel 3 Expected Return dan Risikopada periode 12, 24 dan 36 bulan

Periode 12 Bulan Periode 24 Bulan Periode 36 Bulan

Expected Return (%)

Risk (%)

Expected Return (%)

Risk (%)

Expected Return (%)

Risk (%)

RDS01 2.66 5.26 3.78 7.39 1.19 10.30

RDS02 2.06 3.85 3.10 10.34 0.00 12.42

RDS03 2.83 5.88 3.83 7.24 1.43 9.82

RDS04 3.18 5.80 3.94 7.21 1.19 9.72

RDS05 2.58 4.80 3.52 6.30 0.93 9.50

RDS06 0.00 19.73 0.16 15.99 0.00 15.25

RDS07 2.40 5.52 3.34 6.90 1.46 7.92

RDS08 5.96 31.92 5.80 24.93 2.95 22.44

RDS09 7.34 47.93 7.06 34.44 4.75 30.11

RDS10 0.70 11.18 2.92 10.07 0.28 10.83

Dari Tabel 3 tersebut di atas terlihat bahwa reksadana saham yang mempunyai expected return tertinggi pada periode 12 bulan, 24 bulan dan 36 bulan berturut-turut adalah Reksadana saham RDS09 sebesar 7.34%, RDS09 sebesar 7.06% dan RDS09 sebesar 4.75%, sedangkan reksadana saham yang memberikan nilai expected return terendah berturut-turut adalah Reksadana RDS06 sebesar 0%, RDS06 sebesar 0.16% dan RDS06 sebesar 0%. Dari data tersebut di atas tidak dapat dikatakan secara langsung bahwa Reksadana saham RDS09 lebih baik dari pada reksadana saham lainnya karena ada faktor lain yang belum diperhitungkan, yaitu faktor risiko. Berikut merupakan grafik hubungan antara expectedreturn dengan risiko pada periode 12 bulan, 24 bulan dan periode 36 bulan.

Gambar 18 Grafik hubungan expectedreturn dengan risiko 4.4 Portofolio Reksadana Saham Menggunakan MOGA

Penyusunan portofolio reksadana saham yang optimal berdasarkan metode

efisien frontier Markowitz dengan menggunakan metode Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II). Pada metode Markowitz, pembentukan portofolio yang optimal dilakukan dengan menentukan bobot dari masing-masing reksadana saham secara random dan mengalikan dengan expected return masing-masing reksadana saham. Data yang digunakan untuk penyusunan portofolio ini ada 10 Reksadana saham yang telah dihitung expected NAB bulanan perunit menggunakan metode EMA dan expectedreturn serta risiko.

4.4.1 Parameter Algoritma Genetika

Penyusunan portofolio ini menggunakan ukuran populasi sebanyak 20 individu, banyaknya generasi sejumlah 400 generasi, peluang untuk melakukan pindah silang (crossover) pada proses algoritma genetika adalah 0.6, 0.65, 0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9 dan 0.95 serta peluang untuk melakukan mutasi yaitu sejumlah 0.05. Dengan menerapkan metode NSGA-II pada pembentukan portofolio ini, maka diperoleh bobot (alokasi) masing-masing reksadana saham dengan expected return serta risiko dari portofolio tersebut, parameter yang digunakan dapat dilihat pada tabel 4 :

0 10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8

R

is

k

Expected Return

Periode 12 Bulan

Periode 24 Bulan

Tabel 4 Parameter Algoritma Genetika

Parameter Nilai

Jumlah populasi 20

Jumlah Generasi 400

Probabilitas Crossover (Pc) 0.6, 0.65,0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9 dan 0.95

Probabilitas Mutasi (Pm) 0.05

Periode (bulan) 12, 24 dan 36

Pada proses seleksi dimulai, populasi diurutkan dengan menggunakan konsep non-dominatedsorting. Dengan demikian, populasi terklasifikasi ke dalam sejumlah kelas atau front yang tidak saling mendominasi, setelah proses non-dominated sorting selesai, maka solusi terbaik dalam populasi berada pada front

pertama, terbaik kedua berada pada front kedua, dan seterusnya. Setelah terbentuk

front-front tersebut, maka dilakukan crowding distance sorting untuk mempertahankan keragaman populasi dan membantu algoritma untuk mengeksplorasi ruang pencarian. Selanjutnya dilakukan crossover dan mutasi sesuai dengan probabilitas yang telah ditetapkan sebelumnya.

Periode 12 Bulan

Gambar 19 Grafik Portofolio periode 12 bulan

Gambar 19 merupakan grafik dari portofolio dengan beberapa parameter yang telah ditentukan sebelumnya untuk melihat optimalitas dari portofolio yang dibentuk. Menggunakan 7 kombinasi parameter yang digunakan pada pembentukan portofolio reksadana saham.

0 10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8 10

R

is

k

Expected Return

Pc=0.9, Pm=0.05

Pc=0.85, Pm=0.05

Pc=0.8, Pm=0.05

Pc=0.75, Pm=0.05

Pc=0.7, Pm=0.05

Pc=0.65, Pm=0.05

Periode 24 Bulan

Gambar 20 Grafik portofolio periode 24 bulan

Pada Gambar 20 ini terlihat jelas bahwa dengan menggunakan probabilitas pindah silang (crossover) sebesar 0.65 dan tingkat mutasi sebesar 0.05 mempunyai ruang pencarian (search space) solusi yang lebih luas.

Periode 36 Bulan

Gambar 21 Grafik portofolio periode 36 bulan

Gambar 21 merupakan kombinasi portofolio dengan beberapa parameter yang telah ditetapkan, dapat terlihat bahwasanya portofolio dengan periode 36 bulan dengan tingkat pindah silang (crossover) sebesar 0.65 dan tingkat mutasi sebesar 0.05 memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan parameter lainnya. 0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 2 4 6 8 10

R is k Expected Return Pc=0.9, Pm=0.05 Pc=0.85, Pm=0.05 Pc=0.8, Pm=0.05 Pc=0.75, Pm=0.05 Pc=0.7, Pm=0.05 Pc=0.65, Pm=0.05 Pc=0.6, Pm=0.05 0 5 10 15 20 25 30 35

0 1 2 3 4 5 6

R is k Expected Return Pc=0.9, Pm=0.05 Pc=0.85, Pm=0.05 Pc=0.8, Pm=0.05 Pc=0.75, Pm=0.05 Pc=0.7, Pm=0.05 Pc=0.65, Pm=0.05 Pc=0.6, Pm=0.05

Dari beberapa periode dan parameter yang digunakan dapat dilihat bahwasanya parameter dengan tingkat probabilitas crossover sebesar 0.65 dan tingkat mutasi sebesar 0.05 memberikan ruang pencarian solusi dari pembentukan portofolio yang lebih baik.

Distribusi portofolio pada Generasi 1

Gambar 22 menggambarkan distribusi dari portofolio periode 12, 24 dan 36 bulan dan dapat dilihat bahwa sebaran distribusi pada periode 24 bulan lebih mendominasi serta expectedreturn lebih optimum dari periode yang lain.

Gambar 22 Plot generasi pertama

Dari gambar 22 dapat dilihat hubungan antara expectedreturn dan risiko, serta sebaran populasi kandidat portofolio sangat beragam. Pada generasi pertama (plot awal) periode 12 bulan, individu dalam populasi terbagi ke dalam 4 front, periode 24 bulan terbagi kedalam 5 front dan periode 36 bulan terbagi kedalam 5 front (Lampiran). Pada Tabel 5 merupakan distribusi individu yang terbentuk ke dalam front.

Tabel 5 Distribusi individu generasi pertama

Periode 12 Bulan Periode 24 Bulan Periode 36 Bulan

Front 1 10 9 8

Front 2 6 5 6

Front 3 2 3 3

Front 4 2 2 2

Front 5 0 1 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 1 2 3 4 5

R

is

k

Expected Return

Periode 12

Periode 24

4.4.2 Front Terdepan pada Pembentukan Portofolio

Untuk melihat perubahan atau pergerakan dari front terdepan dari generasi 1, 100, 200, 300 dan 400 pada periode 12 bulan, 24 bulan dan 36 bulan dapat dilihat pada Gambar 23.

Gambar 23 Front terdepan pada periode 12 bulan

Pada Gambar 23 dapat dilihat bahwa front semakin membaik dari generasi ke generasi sampai akhirnya mencapai generasi ke 400 dan merupakan generasi terakhir yang memiliki front terbaik dari generasi sebelumnya.

Gambar 24 Front terdepan pada periode 24 bulan 0 10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8 10

R is k Expected Return Generasi 1 Generasi 100 Generasi 200 Generasi 300 Generasi 400 0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 2 4 6 8 10

R is k Expected Return Generasi 1 Generasi 100 Generasi 200 Generasi 300 Generasi 400

Gambar 24 memperlihatkan grafik pergerakan dari front pertama generasi 1, 100, 200, 300 dan 400. Dari grafik terlihat perubahan front yang semakin membaik dari generasi ke generasi sampai akhirnya mencapai generasi terakhir.

Gambar 25 Front terdepan pada periode 36 bulan

Pada gambar 25 terlihat perubahan dari front pertama generasi 1 sangat signifikan dan generasi berikutnya saling berimpit.

4.4.3 Portofolio Optimal

Berikut merupakan grafik dari pareto frontier pada periode 12 bulan, 24 bulan dan 36 bulan dengan parameter Pc=0.65, Pm=0.05, Generasi 400 dan populasi 20.

Gambar 26 Grafik pareto frontier 0 5 10 15 20 25 30 35

0 1 2 3 4 5 6

R is k Expected Return Generasi 1 Generasi 100 Generasi 200 Generasi 300 Generasi 400 0 10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8 10

R is k Expected Return Periode 12 Periode 24 Periode 36

Gambar 26 merupakan grafik terakhir perubahan proses penyusunan portofolio reksadana saham menggunakan algoritma genetika pada iterasi yang ke-400 dan telah terjadi proses nondominated sorting, crowding distance,

crossover, mutasi, dan elitism. Dengan menggunakan konsep non-dominated, dari grafik tersebut terlihat jelas bahwasanya portofolio yang optimum terdapat pada portofolio dengan periode 24 bulan dengan Pc=0.65 dan Pm=0.05. Individu-individu yang berada pada periode 12 dan 36 bulan terdominasi oleh Individu-individu yang berada di periode 24 bulan, sehingga periode 24 bulan merupakan susunan portofolio yang terbaik. Kecepatan yang didapat saat melakukan proses algoritma genetika pada periode 24 bulan adalah sebesar 63.289 detik atau 1.05 menit.

Gambar 27 Grafik Expected return dan risk pada pareto frontier

Gambar 27 merupakan plot antara distribusi expected return dan risk (risiko) sebelum disusun atau dibentuk portofolio dengan expected return dan risk setelah dibentuknya portofolio (Pareto frontier). Dengan menggunakan kosep

non-dominasi, maka dapat dilihat bahwasanya individu-individu sebelum dibentuknya portofolio terdominasi oleh individu-individu setelah dibentuknya portofolio, sehingga portofolio yang dibentuk dengan menggunakan algoritma genetika multi objektif ini merupakan portofolio yang optimal. Portofolio yang terbentuk ini berjumlah 20 dan sesuai dengan inisiasi awal pada saat proses algoritma genetika berjalan. Susunan portofolio yang terbentuk ini dapat dilihat pada Tabel 6.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 2 4 6 8 10

R

is

k

Expected Return

Distribusi Expected Return dan Risk Pareto Frontier

Tabel 6 Portofolio reksadana saham Populasi Expected Return (%) Risk (%) RDS01 (%) RDS02 (%) RDS03 (%) RDS04 (%) RDS05 (%) RDS06 (%) RDS07 (%) RDS08 (%) RDS09 (%) RDS10 (%)

1 7.90 37.83 0 0 0 0 0 0 0 13 87 0

2 3.60 6.41 0 0 1 0 54 0 0 0 8 37

3 5.56 15.38 0 0 22 40 0 0 0 0 38 0

4 5.84 17.77 0 0 0 57 0 0 0 0 43 0

5 5.18 13.60 18 0 0 50 0 0 0 0 33 0

6 7.17 30.12 0 0 0 0 0 0 20 0 80 0

7 7.44 32.18 0 0 0 0 0 0 15 0 85 0

8 6.07 19.90 0 0 1 47 0 0 0 0 52 0

9 5.13 10.48 0 0 4 74 0 0 5 0 18 0

10 6.51 25.61 0 13 0 0 0 0 16 0 71 0

11 7.45 35.74 0 0 0 0 0 0 0 14 86 0

12 4.02 7.12 0 0 10 0 51 0 0 0 6 33

13 6.85 28.73 0 0 7 0 0 0 8 26 59 0

14 6.64 28.36 0 0 0 0 0 0 20 0 81 0

15 7.74 37.07 0 0 0 0 0 0 0 14 86 0

16 6.32 21.92 0 0 0 43 4 0 0 0 59 0

17 6.42 22.52 0 0 0 45 0 0 0 3 54 0

18 4.61 10.17 9 0 0 52 0 0 16 0 23 0

19 4.30 8.04 4 0 12 69 0 4 0 0 11 0

20 3.65 6.47 0 0 1 3 48 0 0 0 9 36

Tabel 6 merupakan tabel portofolio reksadana saham yang terbentuk pada periode 24 bulan dan memiliki 20 susunan portofolio yang telah dibentuk menggunakan program MOGA NSGA-II. Pada individu 1 dalam populasi terdapat susunan portofolio dengan expected return 7.90% dan risiko 37.83% dengan alokasi 13% di RDS08 (Danareksa Mawar) dan 87% di RDS09 (Rencana Cerdas).

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan beberapa hal berikut :

1. MOGA NSGA-II dapat digunakan untuk menentukan bobot (alokasi) yang optimal pada pembentukan portofolio reksadana saham.

2. Portofolio terbaik pada periode 24 bulan dengan Pc=0.65, Pm=0.05, Generasi 400 dan Populasi 20 individu dengan kecepatan komputasi 63.289 detik atau 1.05 menit.

3. Hasil yang didapatkan dalam penelitian ini berupa susunan portofolio berjumlah 20 portofolio dan terdapat pada tabel portofolio.

5.2 Saran

Beberapa saran setelah dilakukan penelitian pembentukan portofolio reksadana saham yang optimal menggunakan algoritme genetika multi objektif, yaitu:

1. Adanya pengembangan lebih lanjut tentang korelasi (hubungan) antar reksadana saham.

2. Penentuan expected NAB perlu menggunakan metode atau teknik lain seperti Jaringan syaraf tiruan.

3. Data yang digunakan dalam penelitian dapat diperbanyak lagi untuk melihat peningkatan akurasi dari prediksi.

4. Pembentukan portofolio ini dapat diimplementasikan menggunakan teknik berbasis website agar para investor dapat melakukan akses langsung.

Lampiran 8 Proses GA Periode 24 Bulan, Pc = 0.65 dan Pm = 0.05

Lampiran 10

Source Code

Inisialisasi Kromosom

for i = 1 : N for j = 1 : V

a(i,j) = rand(1); end

sumf = sum(a(i,:)); a(i,:) = a(i,:)/sumf;

x = evaluate_objective(a(i,:)); f(i,:) = [a(i,:) x];

end

Menghitung

Expected Return

dan

Risk

for j = 1: n

for i = 2: m if i>=2

return_aktual(i,j) = 100*((input_stage(i,j)-input_stage(i-1,j))/input_stage(i-1,j));

end

if i >=periode

ema_prev(i,j) = sum(input_stage(i-(periode-1):i,j))/(periode);

ema(i,j) = ((2/(periode+1))*(input_stage(i,j)-ema_prev(i,j)))+ema_prev(i,j);

end

if i >= periode+1

temp_expect = 100*((ema(i,j)-ema(i-1,j))/ema(i-1,j)); if (temp_expect < 0)

expectreturn(i,j)=0; else

expectreturn(i,j)=temp_expect; end

end end end

expect_return=expectreturn(m,:); for j = 1 : n

summ = 0;

a = m-(periode-1);

for i = m-(periode-1):m

summ = summ+(return_aktual(i,j)-expect_return(j))^2; end

while a <= n if i == a

covariance(a,j) = summ; a = a+1;

else

for i = m-(periode-1):m summ =

summ+(return_aktual(i,j)-expect_return(j))*(return_aktual(i,j)-expect_return(j)); end

a = a+1; end

end

end

for i = 1 : n

covariance(i,i) = var(i); end

a = 2; for j = 1:n sumcov = 0; b = a; while b <= n sumcov = 0;

for i = m-(periode-1) : m

sumcov = sumcov +

((return_aktual(i,j)-expect_return(j))*(return_aktual(i,b)-expect_return(b))); end

covariance(j,b) = sumcov/(periode-1); covariance(b,j) = sumcov/(periode-1); b = b+1;

end

a = a+1; end

stdv = sqrt(var); risk = stdv;

Nondominated Sorting

for i = 1 : N

individual(i).n = 0; individual(i).p = []; for j = 1 : N

dom_less = 0; dom_equal = 0; dom_more = 0; for k = 1 : M

if (x(i,V + k) < x(j,V + k)) dom_less = dom_less + 1; elseif (x(i,V + k) == x(j,V + k)) dom_equal = dom_equal + 1; else

dom_more = dom_more + 1; end

end

if dom_less == 0 && dom_equal ~= M

individual(i).n = individual(i).n + 1; elseif dom_more == 0 && dom_equal ~= M individual(i).p = [individual(i).p j]; end

end

if individual(i).n == 0 x(i,M + V + 1) = 1;

F(front).f = [F(front).f i]; end

end

while ~isempty(F(front).f) Q = [];

for i = 1 : length(F(front).f)

if ~isempty(individual(F(front).f(i)).p)

for j = 1 : length(individual(F(front).f(i)).p)

individual(individual(F(front).f(i)).p(j)).n - 1; if individual(individual(F(front).f(i)).p(j)).n == 0 x(individual(F(front).f(i)).p(j),M + V + 1) = ... front + 1;

Q = [Q individual(F(front).f(i)).p(j)]; end

end end end

front = front + 1; F(front).f = Q; end

[temp,index_of_fronts] = sort(x(:,M + V + 1)); for i = 1 : length(index_of_fronts)

sorted_based_on_front(i,:) = x(index_of_fronts(i),:); end

current_index = 0;

Seleksi Parent

for i = 1 : pool_size for j = 1 : tour_size

candidate(j) = round(pop*rand(1)); if candidate(j) == 0

candidate(j) = 1; end

if j > 1

while ~isempty(find(candidate(1 : j - 1) == candidate(j))) candidate(j) = round(pop*rand(1));

if candidate(j) == 0 candidate(j) = 1; end

end end end

Crowding Distance

for front = 1 : (length(F) - 1) distance = 0;

y = [];

previous_index = current_index + 1; for i = 1 : length(F(front).f)

y(i,:) = sorted_based_on_front(current_index + i,:); end

current_index = current_index + i; sorted_based_on_objective = []; for i = 1 : M

[sorted_based_on_objective, index_of_objectives] = ... sort(y(:,V + i));

sorted_based_on_objective = [];

for j = 1 : length(index_of_objectives) sorted_based_on_objective(j,:) = y(index_of_objectives(j),:);

end

f_max = ...

sorted_based_on_objective(length(index_of_objectives), V + i); f_min = sorted_based_on_objective(1, V + i);

y(index_of_objectives(length(index_of_objectives)),M+V+ 1 + i)... = Inf;

y(index_of_objectives(1),M + V + 1 + i) = Inf; for j = 2 : length(index_of_objectives) - 1

next_obj = sorted_based_on_objective(j + 1,V + i); previous_obj = sorted_based_on_objective(j - 1,V + i); if (f_max - f_min == 0)

y(index_of_objectives(j),M + V + 1 + i) = Inf; else

y(index_of_objectives(j),M + V + 1 + i) = ... (next_obj - previous_obj)/(f_max - f_min); end

end end

distance = [];

distance(:,1) = zeros(length(F(front).f),1); for i = 1 : M

distance(:,1) = distance(:,1) + y(:,M + V + 1 + i); end

y(:,M + V + 2) = distance; y = y(:,1 : M + V + 2);

z(previous_index:current_index,:) = y; end

f = z();

Crossover

for i = 1 : N

if rand(1) < pc child_1 = []; child_2 = [];

parent_1 = round(N*rand(1)); if parent_1 < 1

parent_1 = 1; end

parent_2 = round(N*rand(1)); if parent_2 < 1

parent_2 = 1; end

while

isequal(parent_chromosome(parent_1,:),parent_chromosome(parent_2,: ))

parent_2 = round(N*rand(1)); if parent_2 < 1

parent_2 = 1; end

end

parent_1 = parent_chromosome(parent_1,:); parent_2 = parent_chromosome(parent_2,:); for j = 1 : V

u(j) = rand(1); if u(j) <= 0.5

bq(j) = (2*u(j))^(1/(mu+1)); else

bq(j) = (1/(2*(1 - u(j))))^(1/(mu+1)); end

child_1(j) = ...

child_2(j) = ...

0.5*(((1 - bq(j))*parent_1(j)) + (1 + bq(j))*parent_2(j));

Mutasi

parent_3 = round(N*rand(1)); if parent_3 < 1 parent_3 = 1; end

child_3 = parent_chromosome(parent_3,:); for j = 1 : V

r(j) = rand(1); if r(j) < 0.5

delta(j) = (2*r(j))^(1/(mum+1)) - 1; else

delta(j) = 1 - (2*(1 - r(j)))^(1/(mum+1)); end