2.10 Model Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity GARCH
Bollerslev 1986 mengembangkan metodologi ARCH dalam bentuk yang lebih umum yang dikenal sebagai Generalized ARCH GARCH. Dalam model ini,
varians kondisional tidak hanya dipengaruhi oleh residual yang lampau tetapi juga oleh lag varians kondisional itu sendiri.
Dengan demikian varians kondisional pada model GARCH terdiri atas dua komponen, yakni komponen lampau dari residual kuadrat dinotasikan dengan derajat
dan komponen lampau dari varians kondisional dinotasikan dengan derajat , dalam bentuk matematis
2.81
= + +
Ariefianto, 2012: 98. Jika = 0 maka diperoleh model ARCH Engle, sementara jika = = 0,
dimiliki proses white noise dengan varian . Disini terlihat bahwa meskipun proses bersifat tidak berkorelasi namun proses ini tidak bersifat independen.
Dalam model GARCH , , proses dapat didefinisikan dengan
menggunakan persamaan 2.82
= dimana adalah akar dari dan adalah proses i.i.d independent and
identically distributed, sering kali diasumsikan berdistribusi normal standar 0,1. Koefisien-koefisien dari model GARCH , bersifat sebagai berikut.
2.83 0 2.84 ≥ 0, = 1, 2, …,
2.85 ≥ 0, = 1, 2, …, 2.86 ∑ ∑ + 1
Kondisi 2.86 diperlukan agar model bersifat stasioner, sedangkan 2.83, 2.84, dan 2.85 diperlukan agar
0 Rosadi, 2012: 241.
2.10.1 Estimasi Maximum Likelihood
Misalkan { } berdistribusi normal dengan nilai rata-rata dan constant variance . Fungsi Log Likelihood dengan observasi adalah
2.87
log ℒ = − 2ln2 − 2ln − 1
2 −
dimana log ℒ adalah log dari fungsi Likelihood. Orde pertama dari fungsi maximum log ℒ adalah
2.88 log ℒ
= 1
−
dan 2.89
log ℒ = − 2 +
1 2
− .
Solusi dari nilai dan adalah hasil dari memaksimumkan nilai log ℒ dinotasikan ̂ dan , diperoleh
2.90 ̂ =
dan 2.91
= − ̂
. Dengan menggunakan prinsip yang sama dalam analisis regresi, { } didefinisikan
sebagai 2.92
= −
. Dalam model regresi klasik, rata-rata dari diasumsikan bernilai nol, varian
konstan, dan { } independent. Jika digunakan sampel dengan observasi, persamaan Log Likelihood adalah modifikasi sederhana dari model 2.87 di atas.
2.93
log ℒ = − 2ln2 − 2ln − 1
2 −
.
Pemaksimalan persamaan Likelihood untuk dan adalah 2.94
log ℒ = − 2 +
1 2
−
dan 2.95
log ℒ = −
1 +
− .
Solusi dari nilai dan adalah hasil dari memaksimumkan nilai log ℒ dinotasikan ̂ dan , diperoleh
2.96
= dan
2.97
= ∑
∑ .
Dalam estimasi model ARCH dimisalkan 2.98
∈ = +
.
. Varian kondisional dari ∈ adalah
2.99 ℎ =
+ .
Karena setiap realisasi dari ∈ mempunyai conditional variance ℎ ∈ tidak konstan, fungsi log Likelihoodnya adalah
2.100
log ℒ = − 2ln2 − 1
2 ln ℎ −
1 2
ℎ −
dimana ℎ = +
= +
− .
Jadi, hal ini memungkinkan untuk menggabungkan persamaan di atas kemudian memaksimalkan log ℒ dengan parameter , , dan . Komputer dapat
menentukan nilai parameter dengan memaksimalkan fungsi log likelihood.
2.11 Model Asymmetric Autoregressive Conditional Heterokedasticity
Kategori