Solusi suatu Linear Programming

2.1 Linear Programming

Linear programming LP adalah suatu model optimasi dimana fungsi tujuannya mempunyai bentuk linear dan kendalanya memiliki bentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Pada tulisan ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1 Bentuk Standar Suatu LP Suatu linear programming didefinisikan mempunyai bentuk standar: Minimumkan x c z T = Terhadap b Ax = ≥ x 1 dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran n m × , yang disebut juga sebagai matriks kendala. Nash Sofer, 1996

2.1.1 Solusi suatu Linear Programming

Untuk menyelesaikan suatu masalah Linear Programming LP, metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Sejak perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada linear programming 1, vektor x yang memenuhi kendala b Ax = disebut sebagai solusi LP 1. Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = B N, dengan B adalah matriks berukuran m m × yang merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP. Berikut definisi matriks basis: Definisi 2 Matriks Basis Matriks B disebut matriks basis untuk LP 1 jika B adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Garfinkel Nemhausher, 1972 Misalkan x dapat dinyatakan sebagai vektor ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = N B x x x , dengan x B adalah vektor variabel basis dan x N adalah vektor variabel nonbasis. Maka b Ax = dapat dinyatakan sebagai ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = N B x x N B Ax b Nx Bx N B = + = 2 karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari 2 x B dapat dinyatakan sebagai : x B = B -1 b - B -1 Nx N 3 Definisi 3 Solusi Basis Solusi dari suatu linear programming disebut solusi basis jika memenuhi : x B = B -1 b, x N = 0 4 Garfinkel Nemhausher, 1972 Definisi 4 Solusi Fisibel Basis x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan ≥ x Nash Sofer, 1996 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1 Misalkan diberikan linear programming berikut : Minimumkan 2 1 3 2 x x z − − = terhadap 4 2 3 2 1 = + + − x x x 11 2 4 2 1 = + + − x x x 5 5 1 = + x x 5 , , , , 5 4 3 2 1 ≥ x x x x x Dari linear programming tersebut didapatkan : A = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 2 1 1 1 2 , b = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 11 4 Misalkan dipilih T B x x x x 5 4 3 = dan T N x x x 2 1 = maka matriks basis ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 B Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh T B b B x 5 11 4 1 = = − , T N x = 6 Solusi 6 merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 5 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari 6 yaitu B adalah bebas linear kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain. Solusi 6 juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai- nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. ■ LP 1 dapat dinyatakan dalam x B dan x N sebagai berikut: Minimumkan N T N B T B x c x c z + = Terhadap b Nx Bx N B = + ≥ x dengan B c adalah koefisien variabel basis pada fungsi objektif, N c adalah koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif. Jika persamaan 3 disubstitusikan ke persamaan Z maka akan didapat : N T N n T B x c Nx B b B c z + − = − − 1 1 N T B T N T B x N B c c b B c z 1 1 − − − + = Jika didefinisikan B T T T B c B B c y − − = = 1 maka z dapat dinyatakan dalam y : N T T N T x N y c b y z − + = 7 Vektor y disebut vektor simplex multiplier. Untuk suatu solusi basis = N x dan b B b x B 1 ˆ − = = , maka b B c z T B 1 ˆ − = . Notasi zˆ adalah notasi untuk z optimal. Koefisien j cˆ disebut reduced cost dari x j dengan j cˆ adalah elemen dari vektor b B c c c T B T N T N 1 ˆ − − = . Reduced cost adalah penambahan nilai fungsi objektif jika suatu variabel nonbasis dijadikan variabel basis artinya menjadi solusi taknol pada suatu linear programming. Maka z dapat dinyatakan sebagai N T N x c z z ˆ ˆ + = .

2.1.2 Penyelesaian Linear Programming