Definisi 11 Sisi Berarah Menjauhi atau Mendekati, Suksesor dan Predesesor
Misalkan diberikan digraf A
V D
, =
. Jika
A v
v a
j i
∈ =
, maka sisi berarah ini
dikatakan menjauhi
i
v dan mendekati
j
v .
Simpul
i
v disebut predesesor bagi simpul
j
v , simpul
j
v disebut suksesor bagi simpul
i
v . Foulds, 1992
Definisi tersebut dapat digambarkan dalam digraf seperti berikut :
Gambar 3. Sisi berarah menjauhi atau mendekati, suksesor, dan predesesor.
Definisi 12 Graf Berbobot Suatu graf
E V
G ,
= atau digraf
A V
D ,
= dikatakan berbobot jika terdapat
fungsi ℜ
→ E
w : atau
ℜ →
A :
ϑ dengan
ℜ
himpunan bilangan real yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau
A. Foulds, 1992
Ilustrasi graf berbobot dapat dilihat pada Contoh 5 berikut:
Contoh 5 Misalkan diberikan
ℜ →
A w :
untuk graf berbobot
L A
V G
∪ = ,
pada Gambar 4, maka wv
4
,v
5
atau secara ringkas ditulis .
3 ,
, 2
, 1
3 5
3 2
2 1
4 3
5 1
4 5
= =
= =
= −
=
v v
v v
v v
v v
v v
v v
w w
w w
w w
G :
Gambar 4. Graf berbobot L
A V
G ∪
= , .
Terdapat kasus khusus dari graf berbobot yaitu network. Beberapa konsep dalam
network :
Definisi 13 Source
Source adalah suatu simpul dengan tidak ada sisi berarah yang mendekati simpul
tersebut. Foulds, 1992
Definisi 14 Sink
Sink adalah suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang menjauhi simpul
tersebut. Foulds, 1992
Definisi 15 Network
Network adalah suatu digraf yang mempunyai tepat satu source dan satu sink.
Foulds, 1992
2.4 Metode Branch and Bound umtuk
menyelesaikan masalah Integer
Programming
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah IP
digunakan software Lingo 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk membangun
dan menentukan solusi model linear, nonlinear dan optimisasi integer menjadi
lebih cepat, mudah dan lebih efisien dengan prinsip pemecahannya berdasarkan metode
branch and bound. Prinsip dasar metode branch and bound
adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan membuat subproblem-
subproblem. Daerah fisibel linear programming adalah daerah yang memenuhi
semua kendala linear programming.
• Branch Membuat partisi daerah solusi kedalam
subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini
dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara
tidak langsung titik integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil
pengumpulan dari subproblem-subproblem yang lengkap menunjukkan setiap titik
integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka dinamakan
Branching.
● Bound Asumsikan masalahnya merupakan tipe
maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan
membatasi percabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan
sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan
menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan Bounding.
Taha, 1975 v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
2 -1
3 2
v
i
v
j
Metode branch and bound pencabangan dan pembatasan dimulai dengan
menyelesaikan LP-relaksasi dari integer programmingnya. Jika sudah diperoleh
semua variabel keputusan solusi optimal integer, maka solusi tersebut juga merupakan
solusi optimal IP. Jika tidak, maka akan dilakukan pencabangan dan penambahan
batasan pada LP-relaksasinya, kemudian diselesaikan.
Contoh 6
Misalkan diberikan integer programming berikut :
Maksimumkan
2 1
5 8
x x
z +
= terhadap
6
2 1
≤ + x
x 45
5 9
2 1
≤ + x
x ,
2 1
≥ x
x integer
x x
2 1
, 9
Gambar 5. Daerah fisibel untuk LP-relaksasi dari IP9.
Ket : ● = solusi fisibel untuk IP
■ = solusi optimal untuk LP-relaksasi Solusi optimal LP-relaksasinya adalah
75 ,
3
1
= x
, 25 ,
2
2
= x
dengan 25
, 41
= z
. Karena nilai optimal untuk IP
≤ nilai optimal untuk LP-relaksasi masalah maksimisasi,
maka nilai optimal LP-relaksasi merupakan batas atas untuk nilai optimal IP.
Gambar 6. Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3 dari IP9.
Langkah berikutnya adalah mempartisi daerah fisibel LP-relaksasi lihat Gambar 6
menjadi dua bagian berdasarkan pada variabel yang masih dalam bentuk pecahan.
Karena dua variabel diatas bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar
pencabangan. Misalkan disini dipilih
1
x . Jika
masalah LP-relaksasi diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut
menghasilkan dua subproblem, yaitu :
• Subproblem 2 : Subproblem 1 ditambah
kendala 4
1
≥ x
. • Subproblem 3 : Subproblem 1 ditambah
kendala 3
1
≤ x
.
Dari gambar 6 terlihat bahwa setiap titik solusi fisibel dari IP 9 termuat dalam
daerah fisibel subproblem 2 atau subproblem 3. Juga setiap subproblem ini saling lepas.
Subproblem 2 dan subproblem 3 ini dikatakan dicabangkan atas
1
x . Sekarang dipilih subproblem yang belum
diselesaikan. Misalkan dipilih subproblem 2, kemudian diselesaikan dengan menggunakan
metode simpleks, sehingga diperoleh solusi optimal untuk subproblem 2 ini adalah
4
1
= x
, 8
, 1
2
= x
dengan 41
= z
. Karena solusi optimal subproblem 2 bukan
solusi integer, maka pilih pencabangan pada subproblem 2 atas
2
x , sehingga diperoleh dua subproblem lagi.
• Subproblem 4 : Subproblem 2 ditambah
kendala 2
2
≥ x
. 9
8 7
6 5
4 3
2 1
1 2
3 4
5 6
1
x
2
x
9 8
7 6
5 4
3 2
1 1
2 3 4 5 6
1
x
2
x
• Subproblem 5 : subproblem 2 ditambah
kendala 1
2
≤ x
. Sekarang, subproblem yang belum
diselesaikan adalah subproblem 3, 4 dan 5. Pilih salah satu subproblem, misalnya dengan
aturan LIFO Last In First Out. Dengan aturan ini berarti pilih subproblem 4 atau
subproblem 5. Karena subproblem 4 takfisibel, maka subproblem 4 tidak dapat
menghasilkan solusi optimal. Tinggal subproblem 3 dan 5. Aturan LIFO membuat
kita memilih subproblem 5 kemudian diperoleh solusi optimalnya
44 ,
4
1
= x
, 1
2
= x
dengan 556
, 40
= z
. Demikian seterusnya, sehingga dilakukan
pencabangan lagi atas
1
x , sehingga
diperoleh:
• Subproblem 6 : Subproblem 5 ditambah
kendala 5
1
≥ x
.
• Subproblem 7 : Subproblem 5 ditambah
kendala 4
1
≤ x
. Misalkan dipilih subproblem 7 dan kemudian
diselesaikan sehingga diperoleh solusi optimal
4
1
= x
, 1
2
= x
dengan 37
= z
. Karena solusi ini sudah berupa integer, maka
solusi ini merupakan calon solusi candidate solution untuk solusi optimal IP 9. Dengan
demikian nilai optimal subproblem 7 yaitu 37 merupakan batas bawah dari nilai optimal
IP 9 dan diberi notasi LB = 37. Subproblem yang belum diselesaikan tinggal
subproblem 6 dan 3, sehingga dengan aturan LIFO dipilih subproblem 6 dengan solusi
optimalnya 5
1
= x
,
2
= x
dengan 40
= z
. Ini juga merupakan candidate solution untuk
IP 9 dan nilai batas bawah LB berubah menjadi LB = 40. Tinggal subproblem 3 yang
harus diselesaikan dan diperoleh solusi optimalnya adalah
3
2 1
= = x
x dengan
39 =
z . Karena subproblem 3 tidak dapat
menghasilkan nilai optimal yang lebih baik dari LB = 40, maka subproblem 3 tidak
dicabangkan lagi fathomed dan disini diberi tanda × perhatikan Gambar 7.
Demikian dilakukan dengan cara serupa sehingga diperoleh pencabangan keseluruhan
yang diperlihatkan pada gambar 8. Dengan cara ini diperoleh solusi optimal untuk IP 9
adalah
5
1
= x
,
2
= x
dengan 40
= z
. Perlu diperhatikan bahwa situasi dimana
subproblem dihentikan pencabangannya fathomed antara lain adalah :
subproblemnya takfisibel seperti subproblem 4 pada IP 9, subproblem tersebut
menghasilkan solusi optimal dengan semua variabelnya integer, atau nilai optimal
subproblem tersebut tidak lebih bagus dari batas bawah untuk masalah maksimisasi
atau batas atasnya untuk masalah minimisasi.
________________________________________________________
Gambar 7. Metode branch and bound dengan subproblem yang tidak dicabangkan lagi.
SUBPROBLEM 1
75 ,
3
1
= x
, 25
, 2
2
= x
, 25
, 41
= z
SUBPROBLEM 3 SUBPROBLEM 2
4
1
= x
, 8
, 1
2
= x
, 41
= z
SUBPROBLEM 5 SUBPROBLEM 4
TAK FISIBEL t = 1
4
1
≥ x
3
1
≤ x
t = 2 2
2
≥ x
1
2
≤ x
t = 3 ×
Gambar 8. Pencabangan keseluruhan pada metode branch and bound. _____________________________________________________________________
III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH RUTE DAN JADWAL PESAWAT UNTUK MEMENUHI PERMINTAAN PENUMPANG
Teknik jaringan ruang-waktu time-space network digunakan untuk membuat model
penjadwalan dan rute penerbangan dengan tujuan memaksimumkan keuntungan
perusahaan penerbangan. Model ini membangun manajemen optimal dari pesawat
dan pergerakan penumpang dalam jaringan dari penerbangan langsung dan berbagai
penerbangan. Teknik jaringan ini dibagi menjadi dua, yaitu jaringan aliran ruang-
waktu armada dan jaringan aliran ruang- waktu penumpang. Berikut ini adalah
penjelasannya. 3.1
Jaringan Aliran Ruang-Waktu Armada
The fleet-flowtime-space network Jaringan aliran ruang-waktu armada
digunakan untuk memformulasikan masalah berbagai rute penerbangan dan jadwal
penerbangan. Tiap jaringan network menunjukkan satu tipe khusus pergerakan
potensial dengan periode waktu dan lokasi airport tertentu, ditunjukkan pada Gambar 9.
Sumbu horizontal menunjukkan lokasi airport; sumbu vertikal menunjukkan durasi
waktu. Node dan arc adalah dua komponen penting pada jaringan. Suatu node
menunjukkan suatu airport pada waktu tertentu, sedangkan arc menunjukkan
aktivitas, seperti penerbangan, landasan, atau tinggal semalaman overnight stay. Aliran
arc menunjukkan aliran pesawat pada jaringan. Tiga jenis arc dijelaskan sebagai
berikut. 3.1.1 Flight leg arc
Flight leg arc menunjukkan suatu penerbangan antara dua airport yang
berbeda. Sebagai contoh yaitu pada Gambar 9, flight leg arc ditunjukkan oleh nomor 1.
Salah satu contohnya adalah ada penerbangan dari airport 1 pada pukul 01:00 sampai ke
airport 2 pada pukul 02:00. Biaya penerbangan adalah biaya arc pada jaringan.
Upperbound dari aliran arc adalah satu, artinya bahwa penerbangan dapat dilayani
paling banyak sekali. Lowerbound dari aliran arc adalah nol, menunjukkan bahwa tidak ada
pesawat yang melayani penerbangan.
SUBPROBLEM 1
75 ,
3
1
= x
, 25 ,
2
2
= x
, 25
, 41
= z
SUBPROBLEM 3
3
2 1
= = x
x ,
39 =
z , LB = 40
SUBPROBLEM 2
4
1
= x
, 8 ,
1
2
= x
, 41
= z
SUBPROBLEM 5
44 ,
4
1
= x
, 1
2
= x
, 556
, 40
= z
SUBPROBLEM 4 TAK FISIBEL
t = 1 4
1
≥ x
3
1
≤ x
t = 2 2
2
≥ x
1
2
≤ x
t = 3 ×
SUBPROBLEM 7
4
1
= x
, 1
2
= x
, 37
= z
candidate solution
SUBPROBLEM 6
5
1
= x
,
2
= x
, 40
= z
candidate solution t = 5
t = 6 ×
5
1
≥ x
4
1
≤ x
t = 7 ×
3.1.2 Ground arc Suatu ground arc menggambarkan
lamanya pesawat tinggal di airport dalam time window. Time window adalah jangka
waktu yang telah ditentukan atau disebut juga dengan kendala waktu. Sebagai contoh yaitu
pada Gambar 9, ground arc ditunjukkan oleh nomor 2. Salah satu contohnya adalah ada
pesawat yang tinggal di airport 2 dari pukul 02:00 sampai pukul 03:00. Pukul 02:00
sampai pukul 03:00 disebut dengan time window. Biaya arc merupakan biaya yang
terjadi untuk menempatkan satu pesawat di airport dalam time window. Upperbound dari
aliran arc adalah kapasitas yang sesuai atau tanpa batas, jika kapasitas besar,
menunjukkan jumlah maksimum pesawat yang dapat ditampung di airport selama time
window. Lowerbound dari aliran arc adalah nol, menunjukkan bahwa tidak ada pesawat
yang ditampung di airport pada time window. 3.1.3 Cycle arc
Sebuah cycle arc berfungsi untuk menunjukkan kontinuitas antara dua periode
jangka waktu perencanaan berurut. Menghubungkan akhir periode pertama
dengan awal periode kedua untuk masing- masing airport. Sebagai contoh yaitu pada
Gambar 9, cycle arc ditunjukkan oleh nomor 3. Salah satu contohnya adalah ada pesawat
yang tinggal di airport 1 dari pukul 24:00 pada hari pertama sampai pukul 00:00 pada
hari berikutnya. Pukul 24:00 pada hari pertama disebut akhir periode pertama.
Sedangkan pukul 00:00 pada hari berikutnya disebut awal periode kedua. Aliran arc
upperbound dan lowerbound dari aliran arc seperti halnya biaya arc adalah sama pada
ground arc.
_____________________________________________________________________
Gambar 9. Jaringan aliran ruang-waktu armada.
3.2 Jaringan Aliran Ruang-Waktu Penumpang
