I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Manajemen operasi suatu industri penerbangan merupakan suatu permasalahan
Operations Research yang kompleks. Secara umum, perusahaan dihadapkan pada berbagai
persoalan dalam memenuhi permintaan calon penumpang dan upaya untuk
memaksimumkan keuntungan. Misalnya, perusahaan harus memecahkan masalah
menentukan rute armada dan jadwal penerbangan.
Rute armada dan jadwal penerbangan adalah aktifitas penting dalam operasi
perusahaan penerbangan. Keduanya sangat mempengaruhi efisiensi penggunaan pesawat,
pembuatan jadwal, perawatan pesawat dan penjadwalan awak. Hal tersebut sangat
penting bagi keuntungan perusahaan, tingkat pelayanan dan kemampuan bersaing di pasar.
Untuk peningkatan efisiensi penggunaan pesawat, maka dikembangkan kerangka kerja
untuk penjadwalan penerbangan dan rute penerbangan yang jumlahnya besar.
Kerangka kerja ini tersusun dari beberapa model strategis yang memberi nilai pada
rancangan jadwal, jumlah pesawat yang siap, biaya pesawat dan data lain yang digunakan
sebagai masukan sehingga tercapai pemecahan untuk keuntungan maksimum.
Proses penjadwalan penerbangan terdiri dari dua tahap yang saling bergantung, yaitu
tahap pembuatan jadwal dan tahap evaluasi jadwal. Pada tahap pembuatan jadwal
dikembangkan konsep jadwal berdasarkan perkiraan permintaan dan penguasaan pasar.
Konsep jadwal tersebut diuji selama tahap evaluasi untuk kelayakan operasi,
pertimbangan biaya dan performa. Pemeriksaan kelayakan pada tahap evaluasi
terutama mencakup hal yang berkaitan dengan rute armada, ukuran armada, jadwal
awak dan pengaturan perawatan. Proses penjadwalan penerbangan dilaksanakan
dengan dua tahap tersebut sampai diperoleh jadwal yang diharapkan.
Ada beberapa jenis model penjadwalan penerbangan yang dikembangkan, seperti
model integer linear programming untuk penerbangan dengan waktu keberangkatan
tetap Abara, 1989, model multikriteria untuk menentukan frekuensi penerbangan di
bawah kondisi kompetitif Teodorovic dan Krcmar-Nozic, 1989, model mixed integer
programming untuk rute penerbangan jauh Balakrishnan et al, 1990, model aliran
jaringan multikomoditas untuk memecahkan daily aircraft routing and scheduling problem
DARSP tanpa diketahui waktu keberangkatan Hane et al, 1995, model set
partitioning type dan model aliran jaringan multikomoditas dengan kendala waktu untuk
memecahkan masalah DARSP berdasarkan pada serangkaian penerbangan yang
diketahui waktu keberangkatannya Desaulniers et al, 1997.
Lingkup penelitian ini terbatas pada subjek dari rute penerbangan murni operasi
jadwal penerbangan dengan Origin- Destination OD yang diketahui, berbagai
jenis pesawat, ukuran armada dan yang berhubungan dengan biaya data. Walaupun
proses penjadwalan dalam prakteknya berhubungan erat dengan pemeliharaan
pesawat terbang dan proses penjadwalan awak kapal, proses ini umumnya dipisahkan
untuk memudahkan pemecahan masalah.
Model rute armada dan jadwal penerbangan diformulasikan sebagai integer
network flow problem with side constraints NFPWS yang dikarakteristikan sebagai
masalah NP-Complete Garey dan Johnson, 1979. Penelitian ini menggunakan teknik
jaringan ruang-waktu dalam memformulasikan model untuk masalah rute
armada dan jadwal penerbangan.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari model jaringan terintegrasi
untuk membantu perusahaan penerbangan dalam penjadwalan dan rute penerbangan.
II LANDASAN TEORI
Untuk membuat model masalah rute armada dan jadwal penerbangan serta
mencari solusinya diperlukan beberapa pemahaman teori seperti linear
programming, integer linear programming, graf dan metode branch and bound untuk
menyelesaikan masalah integer programming. Berikut ini akan dibahas satu
persatu.
2.1 Linear Programming
Linear programming LP adalah suatu model optimasi dimana fungsi tujuannya
mempunyai bentuk linear dan kendalanya memiliki bentuk persamaan atau
pertidaksamaan linear.
Pada tulisan ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan
sebagai berikut : Definisi 1 Bentuk Standar Suatu LP
Suatu linear programming didefinisikan mempunyai bentuk standar:
Minimumkan x
c z
T
= Terhadap
b Ax
= ≥
x 1
dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa
matriks berukuran n
m × , yang disebut juga
sebagai matriks kendala. Nash Sofer, 1996
2.1.1 Solusi suatu Linear Programming
Untuk menyelesaikan suatu masalah Linear Programming LP, metode simpleks
merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini
mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Sejak perkembangannya, metode ini
adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa
metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar.
Pada linear programming 1, vektor x yang memenuhi kendala
b Ax
= disebut sebagai solusi LP 1. Misalkan matriks A
dapat dinyatakan sebagai A = B N, dengan B adalah matriks berukuran
m m
× yang merupakan matriks yang elemennya berupa
koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien
variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP.
Berikut definisi matriks basis: Definisi 2 Matriks Basis
Matriks B disebut matriks basis untuk LP 1 jika B adalah matriks tak singular, yaitu
matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.
Garfinkel Nemhausher, 1972 Misalkan x dapat dinyatakan sebagai
vektor ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
N B
x x
x , dengan x
B
adalah vektor variabel basis dan x
N
adalah vektor variabel nonbasis. Maka
b Ax
= dapat dinyatakan sebagai
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
N B
x x
N B
Ax b
Nx Bx
N B
= +
= 2
karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari 2 x
B
dapat dinyatakan sebagai :
x
B
= B
-1
b - B
-1
Nx
N
3
Definisi 3 Solusi Basis
Solusi dari suatu linear programming disebut solusi basis jika memenuhi :
x
B
= B
-1
b, x
N
= 0 4
Garfinkel Nemhausher, 1972
Definisi 4 Solusi Fisibel Basis
x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan
≥ x
Nash Sofer, 1996 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1
Misalkan diberikan linear programming berikut :
Minimumkan
2 1
3 2
x x
z −
− =
terhadap 4
2
3 2
1
= +
+ −
x x
x 11
2
4 2
1
= +
+ −
x x
x 5
5 1
= + x
x 5
, ,
, ,
5 4
3 2
1
≥ x
x x
x x
Dari linear programming tersebut didapatkan :
A = ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− 1
1 1
2 1
1 1
2 , b =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
5 11
4
Misalkan dipilih
T B
x x
x x
5 4
3
= dan
T N
x x
x
2 1
= maka matriks basis
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
= 1
1 1
B Dengan menggunakan matriks basis tersebut,
diperoleh
T B
b B
x 5
11 4
1
= =
−
,
T N
x =
6 Solusi 6 merupakan solusi basis, karena
solusi tersebut memenuhi kendala pada LP 5 dan kolom-kolom pada matriks kendala
yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari 6 yaitu B adalah bebas linear
kolom yang satu bukan merupakan kelipatan
dari kolom yang lain. Solusi 6 juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-
nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
■ LP 1 dapat dinyatakan dalam x
B
dan x
N
sebagai berikut: Minimumkan
N T
N B
T B
x c
x c
z +
= Terhadap
b Nx
Bx
N B
= +
≥ x
dengan
B
c
adalah koefisien variabel basis pada fungsi objektif,
N
c
adalah koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif.
Jika persamaan 3 disubstitusikan ke persamaan Z maka akan didapat :
N T
N n
T B
x c
Nx B
b B
c z
+ −
=
− −
1 1
N T
B T
N T
B
x N
B c
c b
B c
z
1 1
− −
− +
= Jika didefinisikan
B T
T T
B
c B
B c
y
− −
= =
1
maka z dapat dinyatakan dalam y :
N T
T N
T
x N
y c
b y
z −
+ =
7 Vektor y disebut vektor simplex multiplier.
Untuk suatu solusi basis =
N
x dan
b B
b x
B 1
ˆ
−
= =
, maka b
B c
z
T B
1
ˆ
−
= .
Notasi zˆ adalah notasi untuk z optimal. Koefisien
j
cˆ disebut reduced cost dari x
j
dengan
j
cˆ adalah elemen dari vektor
b B
c c
c
T B
T N
T N
1
ˆ
−
− =
. Reduced cost
adalah penambahan nilai fungsi objektif jika suatu variabel nonbasis dijadikan variabel
basis artinya menjadi solusi taknol pada suatu linear programming. Maka z dapat
dinyatakan sebagai
N T
N
x c
z z
ˆ ˆ
+ =
.
2.1.2 Penyelesaian Linear Programming
dengan algoritma simpleks
Solusi suatu linear programming dapat diketahui optimal atau tidak untuk LP
tersebut melalui algoritma sebagai berikut: • Tes Keoptimalan
Vektor
1 −
= B
c y
T B
dihitung, kemudian dapat dihitung pula nilai reduced cost
b y
c c
T T
N T
N
− =
ˆ .
Jika ˆ
≥
T N
c maka solusi yang
diperoleh adalah solusi optimal. Jika
ˆ
T N
c , pilih variabel x
t
yang memenuhi
ˆ
t
c sebagai entering variable
yaitu variabel x
t
yang akan masuk ke dalam basis.
• Langkah tertentu t Hitung
t t
A B
A
1
ˆ
−
= , yaitu koefisien
kendala yang berhubungan dengan entering variable ke t. Tentukan indeks s pada kolom
kendala yang berhubungan dengan entering variable yang memenuhi
⎭ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ≤
≤ =
ˆ :
ˆ ˆ
1 min
ˆ ˆ
, ,
, t
i t
i t
s s
a a
i b
m i
a b
. 8 Memilih indeks dengan cara tersebut
disebut dengan minimum ratio test. Variabel yang menjadi leaving variable
variabel yang akan keluar dari basis, tergantikan oleh entering variable dan pivot
entry adalah variabel yang berhubungan dengan
t s
a
,
ˆ .
Jika ˆ
,
≤
t i
a ,
1 m
i ≤
≤ , untuk semua i,
maka masalah LP disebut unbounded. • Pivot
Update matriks basis B dan vektor basis x
B
. Kembali ke tes keoptimalan.
Berikut contoh penggunaan algoritma simpleks :
Contoh 2
Misalkan diberikan linear programming 5 seperti pada Contoh 1, maka dengan
menggunakan algoritma simpleks akan diperoleh solusi :
, 6
, 8
, 5
5 4
3 2
1
= =
= =
= x
x x
x x
dengan 34
− =
z lihat Lampiran 1.
2.2 Integer Linear Programming
Model Integer Linear Programming ILP atau disebut juga Integer Programming
IP, adalah suatu model linear programming dengan variabel yang digunakan berupa
bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut
disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus integer, maka
disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0
atau 1 disebut 0-1 IP.
Definisi 5 Linear Programming Relaksasi
LP-relaksasi dari suatu IP merupakan linear programming yang diperoleh dari IP
tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada variabelnya.
Winston, 1995
2.3 Graf Definisi 6 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut V,E, dengan V himpunan takkosong dan hingga
dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V dan
dinotasikan dengan E
V G
, =
. Elemen
V dinamakan simpul vertexnode, dan elemen E dinamakan sisi
edge, dinotasikan sebagai
{ }
j i,
, yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan
simpul j, dengan V
j i
∈ ,
. Foulds, 1992
Ilustrasi graf dapat dilihat pada Contoh 3 berikut:
Contoh 3 G :
Gambar 1. Graf G = V, E. Pada Gambar 1,
{ }
5 4
3 2
1
, ,
, ,
v v
v v
v V
= dan
{ } {
} { } {
} { }
{
4 3
5 2
3 2
5 1
2 1
, ,
, ,
, ,
, ,
, v
v v
v v
v v
v v
v E
=
{ } {
}}
5 4
5 3
, ,
, v
v v
v .
Definisi 7 Digraf
Digraf directed grafgraf berarah adalah pasangan terurut V, A dengan V
adalah himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari
elemen-elemen di V.
Elemen dari A disebut sisi berarah arc dan dituliskan sebagai
j i,
dengan V
j i
∈ ,
. Foulds, 1992
Ilustrasi digraf dapat dapat dilihat pada Contoh 4 berikut :
Contoh 4 G’ :
Gambar 2. Digraf ,
A V
G =
. Pada Gambar 2, digraf G’ memiliki
{ }
5 4
3 2
1
, ,
, ,
v v
v v
v V
= dan
{
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
4 3
5 2
3 2
5 1
2 1
v v
v v
v v
v v
v v
A =
}
5 4
5 3
, ,
, v
v v
v .
Definisi 8
Walk
Suatu walk pada graf E
V G
, =
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan
bentuk
{ } {
} { }
n n
n
v v
v v
v v
v v
v ,
, ,...,
, ,
, ,
,
1 3
2 2
2 1
1 −
, atau ditulis dengan ringkas :
n
v v
v ,...,
,
2 1
atau
n
v v
v ,...,
,
2 1
. Walk tersebut menghubungkan simpul
1
v dengan
n
v . Foulds, 1992
Definisi 9 Path
Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda.
Foulds, 1992 Berikut diberikan ilustrasi dari walk dan
path. Pada graf G yang terdapat pada Gambar 1 salah satu contoh walk adalah
3 4
5 2
1
, ,
, ,
v v
v v
v .
Sedangkan
4 5
2 1
, ,
, v
v v
v adalah salah satu
contoh path.
Definisi 10 Cycle
Suatu cycle pada graf E
V G
, =
atau digraf
, A
V G
= adalah suatu path yang
dimulai dan diakhiri oleh simpul yang sama dan terdiri atas sedikitnya tiga simpul yang
berbeda pada graf E
V G
, =
atau dua simpul yang berbeda pada digraf
, A
V G
= . Cycle
disebut juga path tertutup. Foulds, 1992
v
1
v
5
v
4
v
1
v
5
v
4
v
2
v
3
v
2
v
3
Definisi 11 Sisi Berarah Menjauhi atau Mendekati, Suksesor dan Predesesor
Misalkan diberikan digraf A
V D
, =
. Jika
A v
v a
j i
∈ =
, maka sisi berarah ini
dikatakan menjauhi
i
v dan mendekati
j
v .
Simpul
i
v disebut predesesor bagi simpul
j
v , simpul
j
v disebut suksesor bagi simpul
i
v . Foulds, 1992
Definisi tersebut dapat digambarkan dalam digraf seperti berikut :
Gambar 3. Sisi berarah menjauhi atau mendekati, suksesor, dan predesesor.
Definisi 12 Graf Berbobot Suatu graf
E V
G ,
= atau digraf
A V
D ,
= dikatakan berbobot jika terdapat
fungsi ℜ
→ E
w : atau
ℜ →
A :
ϑ dengan
ℜ
himpunan bilangan real yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau
A. Foulds, 1992
Ilustrasi graf berbobot dapat dilihat pada Contoh 5 berikut:
Contoh 5 Misalkan diberikan
ℜ →
A w :
untuk graf berbobot
L A
V G
∪ = ,
pada Gambar 4, maka wv
4
,v
5
atau secara ringkas ditulis .
3 ,
, 2
, 1
3 5
3 2
2 1
4 3
5 1
4 5
= =
= =
= −
=
v v
v v
v v
v v
v v
v v
w w
w w
w w
G :
Gambar 4. Graf berbobot L
A V
G ∪
= , .
Terdapat kasus khusus dari graf berbobot yaitu network. Beberapa konsep dalam
network :
Definisi 13 Source
Source adalah suatu simpul dengan tidak ada sisi berarah yang mendekati simpul
tersebut. Foulds, 1992
Definisi 14 Sink
Sink adalah suatu simpul sehingga tidak ada sisi berarah yang menjauhi simpul
tersebut. Foulds, 1992
Definisi 15 Network
Network adalah suatu digraf yang mempunyai tepat satu source dan satu sink.
Foulds, 1992
2.4 Metode Branch and Bound umtuk
Kategori