CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

Penyelesaian :

Langkah 1:

Langkah 2:

Langkah 3:

7. Sederhanakan diagram blok sistem kendali di bawah ini !

Penyelesaian : Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3

8. Cari Fungsi Transfer Blok Diagram melalui Signal Flow Graph ala Mason !

Fungsi Transfernya adalah :

Penyelesaian :

Tahap 1 – Konversikan Blok Diagram ke bentuk SFG sebagai berikut :

Tahap 2 – Eliminasi simpul pada lintasan bernilai 1 yang tidak mempengaruhi

perhitungan. Sebagai contoh adalah eliminasi simpul V 2 (s) dan V 3 (s) .

Tahap 3 – Cari lintasan maju P i sebagai berikut :

Tahap 4 – Cari Loop Gain ( L j ) sebagai berikut :

Tahap 5 – Cari kombinasi 2-Non Touching Loop ( NTL 2j ). Untuk SFG di atas tidak ada atau bernilai 0.

Tahap 6 – Cari Δ menggunakan rumus sebagai berikut :

Tahap 6 – Cari Δ i , yakni Δ dikurangi semua L j yang menyentuh lintasan maju P i .

Dalam kasus ini Δ 1 =Δ 2 =Δ 3 =1 −0=1

Tahap 7 – Cari Fungsi Transfer dengan memasukkan nilai-nilai diatas ke persamaan Mason.

9. Tentukan nilai K, supaya ada error sebesar 10 % pada steady state !

R(s) +

_____K(s+5)_____

C(s)

E(s)

s(s+6)(s+7)(s+8)

Penyelesaian :

Karena tipe sistem 1, input yang digunakan ialah ramp.

Sehingga

K V  10  lim sG ( s ) 

maka K  672

10. Terdapat sebuah fungsi alih tertutup dari sistem kontrol seperti di bawah ini: 10. Terdapat sebuah fungsi alih tertutup dari sistem kontrol seperti di bawah ini:

maka fungsi alih lup tertutupnya adalah:

dan persamaan karakteristiknya adalah:

sehingga array Routh-nya adalah:

2+2K

1 (18-2K)/4 s

2+2K s 0

dimana:

  ( 2  2 K  20 )  ( 18  2 K ) / 4

( 18  2 K ) ( 18  2 K ) / 4 0

Agar sistem stabil, maka semua elemen pada kolom pertama harus lebih dari 0, maka syarat pertamanya adalah harga elemen pada baris s 1 harus positif, yaitu:

18  2 K  0 ,

18  2 K  0

2 K  18 K  9 2 K  18 K  9

2 + 2K > 0, 2K > -2 K > -1 Sehingga, dari syarat pertama dan kedua, agar sistem tetap stabil harga K adalah:

-1 < K < 9

MODUL VIII ROOT LOCUS

Pada modul ini akan dibahas mengenai dasar root locus, plot root locus, aturan- aturan penggambaran root locus dan penggambaran root locus melalui MATLAB. Dibahas pula beberapa kasus khusus serta analisis sistem kendali melalui root locus.

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya). Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Kita perlu memahami pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.

Gambar 1 Sistem Loop Tertutup

Desain sistem kendali melalui gain adjusment adalah dengan memilih sehingga pole- pole terletak ditempat yang diinginkan. Sedangkan desain sistem kendali melalui kompensasi adalah dengan memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation.

Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB ?!). W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi yaitu metoda Root Locus. Root Locus adalah tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K =

0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole- pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.

8.1 Dasar Root Locus

Perhatikan contoh sistem kendali pada gambar 2 berikut ini.

Gambar 2 Sistem kendali radar pesawat

Persamaan karakteristik sistem di atas : s2 + 2s + K =0

Akar-akar persamaan karakteristiknya :

Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata. Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K~) termasuk zero-zero pada titik takhingga. Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi. Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat. Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole. Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat. Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locus.

8.2 Plot Root Locus

Sistem kendali tertutup dengan umpan balik negatif seperti pada gambar 3 di bawah ini memiliki persamaan karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 atau: G(s)H(s) = -1.

Gambar 3 Sistem Kendali Loop Tertutup Umpan Balik Negatif

Dengan demikian :

G(s)H(s) = + 180 o (2k+1); (syarat sudut)

k = 0, 1, 2, …. | G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)

Gambar 4 Diagram yang menunjukkan pengukuran sudut dari pole loop-terbuka dan zero loop-terbuka untuk pemeriksaan titik s

8.3 Prosedur Penggambaran Root Locus

Berikut ini adalah prosedur penggambaran Root Locus :

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata - Syarat Sudut:

G(s)H(s) = + 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, … - Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero di kanan titik ini ganjil, maka

titik tsb terletak di Root Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus: - Banyaknya asimtot = n –m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka

- Sudut-sudut asimtot = - Sudut-sudut asimtot =

4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: – Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0, – Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.

– Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 180 0 – (jumlah sudut vektor- vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor

dari zerozero ke pole kompleks tsb). – Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 180 0 – (jumlah sudut vektor-vektor

dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari polepole ke zero kompleks tsb).

Gambar 5 Kontruksi Root Locus : Sudut pergi (berangkat)=180 o – (θ

6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K): – Melalui Kriteria Routh Hurwitz. – Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis:

Secara grafis:

CONTOH :

Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan

Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop tertutup dominannya bernilai 0,5 !

Solusi :

1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

Gambar 7 Root Locus pada sumbu nyata

• Untuk titik uji 1 :

0 0 0 Syarat sudut : - 0 s - (s +1) - (s + 2) = 0 +0 +0 =0 (tak terpenuhi). • Untuk titik uji 2 :

0 0 0 Syarat sudut : - 0  - (s +1) - (s + 2) = -180 -0 -0 = -180 (terpenuhi).

2. Penentuan asimtot Root Locus Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3

Sudut asimtot =

(k = 0,1, 2) = 60 o ; 180 dan -60 Titik potong asimtot pada sumbu nyata :

3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan :

• Persamaan karakteristik sistem adalah :

• Diperoleh s 1 = - 0,4226 (memenuhi) dan s 2 = - 1,5774 (tak memenuhi)

4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.

• Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s = ± j 2 . • Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = jw (pada sumbu khayal).

5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.

Gambar 8 Penentuan titik uji

6. Gambar Root Locus nya:

Gambar 9 Root Locus

7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s = - 2 ζwn ± jwn √(1- ζ ) . Dengan

memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa ζ = cosβ . Untuk ζ = 0,5, maka 0 β = 60 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-pole

dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:

Gambar 10 Letak Pole Kompleks

Beberapa Catatan

 Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus. Perhatikan gambar 11.

Gambar 11 Perubahan bentuk Root Locus karena pergeseran pole dan zero

• Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di „hilang‟kan (cancelled)

oleh zero-zero H(s).

Gambar 12 Pengurangan orde sistem karena pole-pole G(s)

dihilangkan oleh zero H(s)

Fungsi Alih :

R ( s ) s ( s  1 )( s  2 )  K ( s  1 )

Persamaan karakteristik: [s(s+2)+K](s+1) = 0 Mengingat suku (s+1) muncul di G(s) dan di H(s) diperoleh

1 + G(s)H(s) = 1 + s ( s  1 )( s  2 ) s ( s  2 )  K

Sehingga s(s+2)+K =0

Tabel 1 menunjukkan konfigurasi umum pole-zero loop terbuka & hubungan tempat kedudukan akar (root locus).

Tabel 1 Konfigurasi Umum Pole-Zero Loop Terbuka & Hubungan Tempat Kedudukan Akar

8.4 Root Locus Melalui MATLAB

Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:

Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep Fungsi Alih):

rlocus(num, den)

Untuk konsep ruang waktu (State Space):

rlocus (A, B, C, D)

Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K secara otomatis ditentukan. Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan :

rlocus(num,den,K), atau rlocus(A,B,C,D,K)

K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup ingin dihitung.

Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan menggunakan arguman berikut ini :

[r,K] = rlocus(num,den) [r,K] = rlocus(num,den,K) [r,K] = rlocus(A,B,C,D) [r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K. Perintah :

r=rlocus(num,den) plot(r,'o') atau, plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda „o‟ atau `x‟,

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis, maka plot Root Locus berikut ini : Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis, maka plot Root Locus berikut ini :

num = [ 0 0 1 1 ] den = [ 1 5 6 0 ]

Contoh : Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan satuan:

Solusi :

Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk polinomial. Definisikan :

Selanjutnya gunakan perintah :

d = conv(a,b);

e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0] Program MATLAB nya:

Penggambarannya ditunjukkan pada gambar 13.

Gambar 13 Root Locus melalui MATLAB

8.5 Kasus Khusus

Kita akan membahas 2 buah kasus khusus yaitu apabila : - Parameter K bukan penguatan loop terbuka - Terdapat umpan balik positif

8.5.1 Parameter K Bukan Penguatan Loop Terbuka

Sistem kendali pada gambar 14 berikut ini memiliki parameter K bukan penguatan loop terbuka melainkan tertutup. Diinginkan koefisien pole-pole loop tertutup dominannya adalah 0,4. Tentukan nilai K !

Gambar 14 Sistem kendali dengan parameter K bukan penguatan loop terbuka

20 Fungsi transfer loop terbuka = s ( s  1 )( s  4 )  20 ks

3 Persamaan karakteristik : s 2 + 5s + 4s + 20 + 20Ks= 0 Definisikan 20k = K

3 Sehingga: s 2 + 5s + 4s + Ks +20= 0

Ks

Atau : 1+ s  5 s  4 s  20

Diperoleh persamaan standard: Ks

1+ ( s  j 2 )( s  j 2 )( s  5 )

( s  j 2 )( s  j 2 )( s  5 )

s   1 . 0490  j 2 . 4065

0 . 4490 k= 30 pada titik P

Gambar 15 Penggambaran Root Locus untuk contoh gambar 14

8.5 Umpan Balik Positif

Sistem kendali pada gambar 16 berikut ini memiliki umpan balik positif.

Gambar 16 Sistem Kendali dengan Umpan Balik Positif

Fungsi alih loop dalam :

Persamaan karakteristik : 1 –G(s)H(s) = 0 Atau : G(s)H(s) = 1

Sehingga  G ( s ) H ( s )  0   k 360  (k=0,1,2,…)

Perhatikan syarat sudut berubah ! Modifikasi Aturan :

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root Locus.

 360 k 

3. Sudut-sudut asimtot = n  m

; k=0, 1, 2, …

0 5. Sudut datang dan sudut pergi : 180 0 diganti dengan 0 .

Contoh : Gambarkan Root Locus untuk sistem umpan-balik positif G(s)H(s)!

Gambar 17 Contoh Sistem Kendali dengan Umpan Balik Positif

Solusi:

1. Plot pole-pole lup terbuka (s = -1 + j1, s = -1 - j1, s = -3) dan zero (s = -2) pada bidang kompleks. Dengan naiknya nilai K dari 0 hingga , pole-pole lup tertutup akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada zero-zero lup terbuka (baik zero berhingga maupun tak berhingga), sebagaimana terjadi pada sistem umpan-balik negatif.

2. Tentukan root locus pada sumbu nyata . Root locus akan berada pada penggal garis antara -2 dan +  dan antara -3 dan - .

3. Tentukan asimtot-asimtot root locus. Sudut-sudut asimtot = ± k. 3600 /(3-1) = ±180 0 . (Kedua asimtot terletak pada sumbu nyata.)

4. Tentukan titik-titik pencar dan masuk. K = [(s + 3)(s2 + 2s + 2)]/(s + 2). dK/ds = 0, diperoleh: 2s3 + 11 s2 + 20 s + 10 = 0, atau 2(s + 0,8)(s + 2,35 + j0,77)( s + 2,35 - j0,77), sehingga titik masuk s = -0,8

5. Tentukan sudut berangkat root locus dari pole-pole kompleks. Untuk pole pada s= -1 + j1, sudut berangkatnya adalah: θ= 0 - 270 - 900 + 450 = -720

6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal untuk menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti.

Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.

Gambar 18 Penggambaran Root Locus Contoh Soal Gambar 17 Tabel 2 Plot Root Locus untuk Sistem umpan balik Negatif dan Positif

Garis dan kurva tegas : Sistem umpan balik negatif, Garis dan kurva terputus-putus : Sistem umpan balik positif

8.6 Analisis Sistem Kendali

Analisis sistem kendali melalui Root Locus : • Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan • Sistem stabil kondisional • Sistem fasa non-minimum

8.6.1 Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal lokus 0 G(s)H(s)= ±180 (2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang G(s)H(s).

Gambar 19 Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan

8.6.2 Sistem Stabil Kondisional

Perhatikan sistem pada gambar 20 berikut. Sistem ini stabil untuk 0 < K < 14 dan 64<K <195. Pada prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah menjadi tak stabil. Stabil kondisional dapat terjadi pada sistem dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop). Stabil kondisional dapat dihindari melalui kompensasi yang sesuai (penambahan zero).

Gambar 20 Contoh sistem stabil kondisional

8.6.3 Sistem Fasa Non-Minimum (Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang-s. Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s. Sistem pada gambar 21 adalah contoh sistem fasa non-minimum.

Gambar 21 Sistem Fasa Non-minimum

Syarat Sudut :

s ( Ts  1 )

Sehingga

MODUL IX DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS

Sistem Kontrol dirancang untuk tugas-tugas tertentu. Untuk Itu diperlukan spesifikasi unjuk kerja sistem, yakni : akurasi , kestabilan, dan kecepatan respons. Pada kenyataannya dalam proses perancangan, spesifikasi mungkin perlu diubah apabila tujuan tidak dapat dicapai, atau sistem tidak ekonomis. Oleh karena itu perlu urutan prioritas spesifikasi.

Beberapa pendekatan konvensional untuk perancangan diantaranya menentukan spesifikasi unjuk kerja. Dalam domain waktu yaitu menentukan: tp, %Mp, ts. Dalam

domain frekuensi menentukan : phase margin, gain margin, bandwith. Alat bantu perancangan seperti Root Locus untuk domain waktu dan Bode Plot , Nyquist, dst untuk domain frekuensi dapat digunakan, tetapi hanya terbatas pada SISO, linear, invarian waktu. Spesifikasi dicoba untuk dipenuhi melalui gain adjustment dengan metoda coba-coba (trial and error). Namun demikian tidak selalu berhasil mengingat

plant tak dapat diubah untuk itu perlu rancangan ulang yaitu kompensasi.

Kompensasi merupakan modifikasi sebuah dinamika sistem untuk memenuhi spesifikasi yang diberikan

9.1 Kompensasi Seri dan Paralel

Gambar 1 di bawah ini merupakan jenis kompensasi seri (a) dan paralel (b).

Gambar 1 Kompensasi Seri dan Paralel

Kompensasi Seri:  Lebih sederhana.  Perlu tambahan amplifier untuk memperkuat gain dan/atau membuat isolasi.  Diletakkan pada titik dengan daya terendah pada lintasan maju (mengurangi

disipasi daya). Kompensasi Paralel:  Jumlah komponen lebih sedikit, karena terjadi pada tranfer energi dari level lebih tinggi ke level lebih rendah.

9.2 Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead

Lead berarti fasa output mendahului input. Kompensator lead digunakan untuk perbaikan respons transient tanpa banyak mempengaruhi respons steady state sistem. Dengan kompensasi ini dapat memperbesar bandwith, mempercepat respons, dan memperkecil %Mp pada respons step.

Lag berarti fasa output terbelakang dari input. Kompensator lag digunakan untuk perbaikan respons steady state tanpa banyak mengubah karakteristik respons transient. Kompensasi ini dapat memperbesar gain pada frekuensi rendah (akurasi steady state membaik) dan memperlambat respons (bandwith mengecil).

Lag-lead adalah phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah, phase lead terjadi pada daerah frekuensi tinggi. Kompensator lag-lead digunakan untuk perbaikan respons transient dan steady state sekaligus.

9.3 Realisasi Kompensator

Kompensator dapat direalisasikan berupa :  Divais aktif Elektronik (Op amp)  Divais pasif : Elektrik (RC network + Amplifier)  Mekanik  Pneumatik  Hydraulik  Kombinasi

Kompensator memperbaiki sistem dengan cara melakukan penambahan pole atau zero pada sistem. Pengaruh penambahan pole pada sebuah sistem diantaranya:

 Menarik root locus ke kanan,  Cenderung menurunkan kestabilan relatif

 Memperlambat settling time (ts) Perhatikan gambar 2 berikut.

Gambar 2 Efek penambahan pole

Sedangkan pengaruh penambahan zero pada sistem akan mengakibatkan, sbb:  Menarik root locus ke kiri  Cenderung membuat sistem lebih stabil  Mempercepat settling time (ts)

Perhatikan gambar 3 berikut.

Gambar 3 Efek penambahan zero

Gambar 4 merupakan contoh realisasi kompensator elektrik. Rangkaian ini bisa difungsikan sebagai rangkaian kompensator lead atau lag dengan mengubah beberapa nilai R dan C nya.

Gambar 4 Kompensator Elektrik Lag/Lead

Jika diturunkan maka rangkaian tersebut akan menghasilkan fungsi alih sebagai berikut.

E o (s) R 2 R 4 R 1 C 1 s  1 R 4 C 1 R 1 C 1

E i (s) R 1 R 3 R 2 C 2 s  1 R 3 C 2 1 s 

Kompensator Lead : bila α <1 (R 1 C 1 >R 2 C 2 ) Kompensator Lag : bila α >1 (R 1 C 1 <R 2 C 2 )

9.3.1 Kompensator Lead

Jika terdapat sebuah sistem dengan G(s) 

, H(s)  1

s(s  2)

C(s)

 R(s) 2 s  2 s  4 maka s = - 1 ± j√3

Berdasarkan pole loop tertutup , z = 0.5, ωn = 2 rad/s dan error kecepatan statis (Kv) = 2s -1

Contoh soal: Diinginkan dengan memodifikasi pole loop tertutup, ω n = 4 rad/s tanpa mengubah koefisien redaman (damping ratio) ζ.

Penyelesaian:

Untuk ω n = 4 rad/s tanpa mengubah koefisien redaman ζ, pole-pole loop tertutup yang diinginkan adalah : Untuk ω n = 4 rad/s tanpa mengubah koefisien redaman ζ, pole-pole loop tertutup yang diinginkan adalah :

Gambar 5 Root Locus sistem semula

Pole yang diinginkan : s = - 2 ± j2√3. Terlihat bahwa pole-pole tersebut tak terletak pada Root Locus sistem semula, sehingga sistem perlu dikompensasi. Jika G(s) adalah fungsi transfer open-loop, maka sistem terkompensasinya adalah:

Gc ( s ). G ( s )  K

c G(s)

αT

Pada gambar 6, P merupakan letak pole loop tertutup yang diinginkan. PB adalah bisector antara PA dan PO dan  sudut yang diinginkan.

Gambar 6 Pole yang diinginkan

4 Sudut dari o

s ( s  2 ) pada s = -2+j √3 adalah -210

Dengan demikian o = 30 (Syarat sudut -180°).

Titik D merupakan zero kompensator  s    T

Titik C merupakan pole kompensator

Secara analitis titik C dan D adalah mendekati -5.4 dan -2.9.

αT 

2.9 5.4 Dengan demikian diperoleh : T = 0,345 dan α= 0,537 Kemudian kita tentukan nilai K, dari

s  2.9 4 K(s  2.9)

G c (s) G(s)  K c  s  5.4 s(s  2) s(s  2)(s  5.4)

dimana K = 4Kc Dengan menggunakan syarat magnitude,

K(s  2.9)  s(s 1  2)(s  5.4)

Maka didapatkan K = 18.7916 Selanjutnya kita tentukan nilai Kc, yaitu :

18.7916(s  2.9)

G c (s) G(s) 

; K c   4.6979

s(s  2)(s  5.4)

dengan Gc(s) adalah (s  G 2.9)

c (s)  4.6979 (s  5.4)

Plot Root locus sistem yang terkompensasinya menjadi seperti pada gambar 7.

Gambar 7 Plot Root locus sistem terkompensasi

Kemudian kita dapat menentukan nilai untuk semua R dan C pada rangkaian. Rangkaian kompensatornya dapat dilihat pada gambar 8 dibawah ini dengan mengingat bahwa :

Gambar 8 Rangkaian kompensator lead

Untuk pengecekan ulang Kv , didapatkan : Kv sistem semula :

lim s 0 sG ( s )  lim s 0 s

 2 det ik

Kv sistem terkompensasi:

 lim 1 sG ( s ) G ( s )  5 , 02 det ik s  0

Terlihat bahwa tanggapan keadaan tunak sistem terkompensasi lebih baik pula.

9.3.2 Kompensator Lag

1.06 Jika

G(s) 

; H(s)  1

s(s  1)(s  2)

C(s)

1.06 R(s)  s(s  1)(s  2)  1.06

s = -0.3307 ± j0.5864 Berdasarkan pole loop tertutup , ζ = 0.491, ωn = 0.673 rad/s dan error kecepatan statis (Kv) = 0.53s -1

Contoh soal: Diinginkan meningkatkan Kv menjadi 5 s-1 tanpa banyak mempengaruhi karakteristik respons transientnya.

Penyelesaian :

Root locus semula ditunjukkan pada gambar 9.

Gambar 9 Root locus semula

Nilai Kv yang baru adalah sekitar 10x dai Kv lama, dengan demikian β(α dalam Kompensator Lead) di set menjadi 10. Nilai zero kompensator juga 10x pole. Maka didapatkan

s  0 . 05 1 . 06 K ( s  0 . 05 )

G c ( s ) G ( s )  K c s   0 . 005 s ( s  1 )( s  2 ) s ( s  0 . 005 )( s  1 )( s  2 )

K = 1.06Kc Plot root Locus dari sistem terkompensasi mendekati plot sistem yang belum terkompensasi. Kita dapat menggunakan Matlab sebagai bantuan. Pole loop tertutup dominan yang baru dengan z yang sama adalah -0.31±j0.55 (dari Matlab). Gain K-nya adalah 1.0235.

Mencari Pole pada Bidang Kompleks

Untuk menentukan pole kompleks dominan pada plot Root Locus, salah satunya dapat digunakan fungsi rlocfind(num,den). Output fungsi ini adalah pole yang dipilih dan gain pole tersebut. Ketika fungsi ini dipanggil terdapat pointer yang berfungsi untuk memilih pole pada bidang kompleks. Biasanya, Root Locus digambarkan terlebih dahulu.

MODUL X TANGGAPAN FREKUENSI : DIAGRAM BODE

Tanggapan/respon frekuensi adalah tanggapan keadaan mantap suatu sistem terhadap input sinusoida. Analisis metoda konvensional dilakukan dengan mengubah frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan mengamati tanggapannya. Fungsi alih sinusoida G(jω) merupakan bilangan kompleks dan dapat direpresentasikan dengan magnitudo dan sudut phasa dengan frekuensi sebagai parameter. Pada gambar 1, Jika x(t) = X sin ωt maka y(t) = Y sin (ωt +).

X(s) X(s)

G(s) G(s)

Y(s) Y(s)

Gambar 1 Sistem Open Loop

10.1 Tanggapan Frekuensi Vs Tanggapan Waktu

Berikut ini merupakan perbandingan antara analisis tanggapan frekuensi dengan tanggapan waktu, diantaranya: - Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu mencari akar-akar

persamaan karakteristik. - Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus dan peralatan pengukuran yang diteliti. - Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimen melalui pengujian tanggapan frekuensi. - Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi rasional, seperti fungsi dengan transport lags. - Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi. - Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak diinginkan dapat dihilangkan. - Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan pada sistem kendali non linear tertentu. - Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui, tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensi dengan tanggapan waktu alih.

10.2 Teknik Analisis Tanggapan Frekuensi

Tanggapan frekuensi direpresentasikan melalui :

1. Diagram Bode atau plot logaritmik (akan dibahas pada modul ini) - Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui diagram Bode. - Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat dilakukan lebih mudah.

2. Plot Nyquist atau plot polar - Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem loop tertutup dari

karakteristik tanggapan frekuensi loop terbukanya. - Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

3. Log-magnitude vs plot phasa - Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(j ω) hanya menggeser kurva

keatas / kebawah, tanpa mengubah bentuknya. - Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan Matlab dapat digunakan untuk membuat plot diagram Bode dan plot Nyquist.

10.3 Diagram Bode

Diagram Bode menggunakan fungsi alih loop terbuka Plotnya adalah sepasang nilai magnituido dan plot phasa. Representasi magnitudo dalam logaritmik adalah 20 log |G(jω)| dalam dB.

10.3.1 Faktor Dasar G(jω)

Beberapa faktor dari fungsi alih sinusoida G( jω) yaitu:

1. Gain K

2. Faktor-faktor turunan dan integral ±1 (jω)

3. Faktor-faktor orde 1 ±1 (1+jωT)

4. Faktor-faktor kuadratis ±1 [1+2ζ(jω/ω

n )+(jω/ω n )2]

Satu hal yang harus diperhatikan juga adalah frekuensi sudut dan bentuk persamaannya harus sesuai dengan faktor-faktor di atas.

Gain K

 Hanya memiliki bagian real saja  tidak ada sudut phasa  log-magnitude-nya adalah sebuah garis lurus pada 20 log (K)

o Jika K > 1, maka magnitude-nya positif o Jika K < 1, maka magnitude-nya negatif

 Perubahan K hanya mempengaruhi plot log-magnitude, sudut phasanya sama  Slope bernilai 0 pada frekuensi sudut 0 rad/s

Faktor Turunan (jω)

• Hanya memiliki bagian imaginer saja • Log- magnitude: 20 log (ω)

20 log j   20 log   20 log(  )

• Sudut phasa: 90 o (constant) • Slope bernilai 20 dB/decade pada frekuensi sudut ω =1 rad/s

Faktor Integral (jω) -1 • Hanya memiliki bagian imaginer saja

• Log-magnitude = - 20 log(ω)

20 log

 20 log   20 log(  )

• Sudut phasa = 90 o (constant) • Slope bernilai -20 dB/decade pada frekuensi sudut ω =1 rad/s

Faktor Orde 1 ±1 (1+jωT) Terdapat 2 jenis yaitu :

• Turunan: – Frekuensi sudut terjadi pada ω=1/T – Slope = 20 dB/decade – Sudut phasa = 45 o pada frekuensi sudut

• Integral: – Frekuensi sudut terjadi pada ω=1/T – Slope = -20 dB/decade – Sudut phasa = -45 o pada frekuensi sudut

Contoh Diagram bode untuk sistem dengan faktor orde 1 ini dapat dilihat pada gambar 2. Pada contoh ini

Bode Diagram

Slope: -20dB/dec

M a -20 -25

0 -45 pada =0,5 rad/s

Frequency (rad/sec)

Gambar 2 Diagram Bode sistem dengan faktor orde 1

Faktor Kuadratis

• Integral: – Frekuensi sudut terjadi pada ω=ω n – Slopenya – 40 dB/decade – Sudut phasanya -90 o pada frekuensi sudut

• Turunan/derivative: – Frekuensi sudut terjadi pada ω=ω n – Slopenya 40 dB/decade – Sudut phasanya 90 o pada frekuensi sudut

• Frekuensi resonansi:

Bode Diagram Bode Diagram Bode Diagram

Slope = -40dB/dec Slope = -40dB/dec

-80 -80 -80 0 0 0

-90 -90 pada frek.sudut pada frek.sudut

-135 -135 -135

-180 -180 -180 -1 -1 -1

Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec)

Gambar 3 Diagram Bode sistem dengan faktor kuadratis

Contoh 1:

Gambarkan diagram Bode untuk fungsi alih berikut ini:

10 ( s  3 )

s 2 ( s  2 )( s  s  2 )

Jawab: Subtitusikan s dengan jω! Maka didapatkan

10 ( j   3 )

( 2 j  )( j   2 )(( j  )  j   2 )

Buat dalam bentuk standar faktor dasar

Dari persamaan di atas kita dapatkan komponen-komponen faktornya, sebagai berikut:

  j  j  

dengan ζ = 0.35

1. 7.5 adalah penguatan/gain K – Log-magnitude = 20 log (7.5) – Phasa = 0 o

2. Faktor integral (jω) -1 – Slope = -20 dB/decade

– Phasa = -90 o (constant)  j  

3. Faktor orde 1  3 

– Slope = 20 dB/decade – Phasa = 45 o pada ω = 3 rad/s

4. Faktor orde 1  2 

– Slope = -20 dB/decade

– Phasa = - 45 o pada ω= 2 rad/s

2   1 

   1

2 2 

5. Faktor kuadratis 

– Slope = - 40 dB/decade – Phasa = -90 o pada ω = √2 rad/s

Tahap selanjutnya adalah mengkombinasikan semua hubungan magnituda dan phasa dari masing-masing faktor, kemudian menjumlahkan secara aljabar sehingga didapatkan kurva gabungan G(j ω). Gambar diagram bode untuk sistem ini ditunjukkan pada gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4 Diagram Bode untuk Sistem Contoh 1 di atas

10.3.2 Tipe Sistem & Log-magnitude

Tipe sistem menentukan slope kurva log-magnitude pada frekuensi rendah. Informasi tentang keberadaan dan besarnya/magnitude error steady-state/galat keadaan tunak dari sistem kontrol terhadap masukan yang diberikan dapat ditentukan dari observasi daerah frekuensi rendah pada kurva log-magnitude.

Tipe sistem N didefinisikan dari G(s) :

s  1 )( T b s  1 )...( T m s  1 )

s ( T 1 s  1 )( T 2 s  1 )...( T p s  1 )

• Tipe 0 memiliki konstanta galat posisi statik (Kp) • Tipe 1 memiliki konstanta galat kecepatan statik (Kv) • Tipe 2 memiliki konstanta galat percepatan statik (Ka)

Gambar 5 berikut ini menunjukkan diagram Bode untuk masing-masing tipe sistem di

atas. (a) (b)

(c)

Gambar 5 Diagram Bode (a) Sistem tipe 0 (b) Sistem tipe 1 (c) Sistem Tipe 2

10.3.3 Diagram Bode dalam MATLAB

Fungsi [mag,phase,w] = bode(num,den) digunakan untuk membuat plot diagram Bode dalam Matlab. num dan den adalah masing-masing numerator dan denominator dari G(s).

Dapat juga digunakan fungsi [mag,phase,w] = bode(A,B,C,D) untuk pendekatan dengan analisis ruang keadaan (state-space).

Fungsi tersebut langsung mem-plot kedua nilai log-magnitude dan phasa. Log- magnitude terletak di bagian atas diagram.

MODUL XI DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI DIAGRAM BODE

Kita telah mempelajari bagaimana cara membuat diagram bode pada modul sebelumnya. Diagram Bode dapat digunakan untuk merancang sebuah sistem kendali. Pada modul ini akan dibahas mengenai perbedaan desain sistem kendali melalui diagram Bode dengan Root Locus, informasi yang dapat diambil dari respon frekuensi loop terbuka dan bagaimana merancang kompensator Lead dan Lag untuk memenuhi spesifikasi sistem yang diinginkan.

11. 1 Perbedaan Desain melalui Metode Root Locus dengan Diagram Bode

Adapun perbedaannya adalah : • Metode Root Locus memberikan informasi langsung pada respon transien dari sistem loop tertutup • Bode memberikan informasi secara tidak langsung

Dalam desain sistem kendali (secara konvensional), unjuk kerja respon transien umumnya merupakan hal yang terpenting. Untuk Bode, respon ini direpresentasikan secara langsung sebagai:

- phase margin (faktor redaman) - gain margin (batas kestabilan) - lebar bidang frekuensi (kecepatan transient) - simpangan puncak resonansi (faktor redaman) - frekuensi resonansi - frekuensi gain crossover - konstanta-konstanta error statik (ketelitian steady state)

Kompensasi di domain frekuensi adalah dengan merancang suatu filter untuk mengkompensasi karakteristik plant yang tak diinginkan/tak dapat diubah. Pendekatan respon frekuensi dapat digunakan untuk penurunan karakteristik dinamis komponen-komponen tertentu (pnematik & hidraulik).

11.2 Respon Frekuensi Loop Terbuka

Pada diagram Bode, terdapat 3 daerah frekuensi yang masing-masing memberikan informasi sebagai berikut:

• Low-frequency region mengindikasikan prilaku keadaan tunak (steady-state) dari sistem loop tertutup • Medium-frequency. region mengindikasikan kestabilan relatif • High-frequency region mengindikasikan kompleksitas sistem

Respon frekuensi (loop terbuka) ideal harus memiliki persyaratan sebagai berikut : • Gain pada daerah frekuensi rendah harus cukup tinggi. • Slope kurva log magnitude (Bode Plot) dekat fgco : -20db/decade dan

memanjang yang memadai agar diperoleh phase margin yang memadai. • Gain harus cukup cepat diredam pada daerah frekuensi tinggi untuk mengurangi efek derau.

11.4 Desain Sistem Kendali dengan Pendekatan Diagram Bode

Berikut tahapan perancangan sistem kendali melalui pendekatan Bode :

1. Atur penguatan lup terbuka (untuk memenuhi spesifikasi akurasi steady state).

2. Gambar diagram Bode sistem semula.

3. Tentukan apakah gain & phase margins memenuhi spesifikasi.

4. Bila tidak, tentukan kompensator yang sesuai agar diperoleh respon frekuensi yang sesuai.

Kompensator Lead : - Akan menghasilkan perbaikan dalam respon transien dan perubahan sedikit dalam akurasi steady-state - Dapat melemahkan efek dari noise frekuensi tinggi Kompensator Lag : - Akan menghasilkan perbaikan dalam akurasi steady-state - Dapat menekan efek dari noise frekuensi tinggi

11.5 Kompensator Lead

Tujuan dari kompensasi Lead adalah mengubah kurva respon frekuensi agar diperoleh sudut phase lead yang cukup untuk mengkompensasi phase lag yang disebabkan oleh komponen-komponen sistem.

Asumsi:

- Spesifikasi unjuk kerja diberikan dalam phase & gain margin, konstanta error statik dst. - Respon transien tak memuaskan. - Kompensasi dapat dicapai dengan penambahan kompensator seri.

Karakteristik Kompensator Lead:

Ts  G 1 c ( s )  K c   K

 c Ts  1 1

Dengan (0 < α< 1) Nilai minimum dari α dibatasi oleh kontruksi kompensator lead. Biasanya sebesar

Prosedur Perancangan Kompensator Lead:

1. Buat K c α = K maka

Ts  1

G c ( s )  K  Ts  1

sehingga Ts  1 Ts  1 Ts  G 1

G 1 ( s )  Ts  1  Ts  1  Ts  1 Tentukan gain K untuk memenuhi syarat konstanta galat statik yang diberikan

KG ( s ) 

2. Dengan gain K, gambar diagram Bode dan evaluasi phase margin-nya

3. Tentukan sudut phase-lead yang akan ditambahkan ke dalam sistem (  m ), tambahkan sudut offset 5-12 o

4. Gunakan untuk menentukan faktor atenuasi sin  m  α. Cari

ω c dalam G1(s) dimana |G1(s)| = - 20 log(1/√α dan ω c = 1/(√αT)

5. Tentukan zero (1/T) dan pole (1/αT)

6. Hitung K c = K/α

7. Cek apakah gain margin telah memenuhi persyaratan.

Contoh 1:

Sistem semula : G ( s ) 

Diinginkan nilai Kv menjadi 20/s, phase margin 50 o , gain margin paling sedikit 10 dB Rancanglah kompensator yang diperlukan!

Jawab:

Pertama kita tentukan nilai K dari Kv yang diinginkan.

Ts  1 Ts  1 Ts  1

KG ( s ) 

 Ts  1  Ts  1  Ts  1

Ts  1 Ts  1

lim s 0 sG c ( s ) G ( s )  lim s 0 s

G 1 ( s )  lim s

 Ts  1 s  0  Ts  1

KG ( s )

Ts  1 4 K lim

 2 K  20

s  0  Ts  1 s ( s  2 )

K = 10 Dengan bantuan MATLAB diperoleh diagram Bode untuk sistem semula adalah seperti pada gambar 1 berikut.

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec) 50

( d e a g n itu

-50 -90

) d e g e ( s -135

Frequency (rad/sec)

Gambar 1 Diagram Bode untuk sistem semula pada contoh 1

Dari diagram Bode dievaluasi bahwa:

- Gain margin-nya tak terhingga, sistem membutuhkan gain margin minimal 10 dB .

- o Phase margin = 18 , yang diperlukan = 50 , sehingga membutuhkan penambahan 32 o untuk phase margin.

- o Kita perlu menambahkan 32 dengan sudut offset 5 -12 seperti yang telah

dijelaskan sebelumnya, dengan demikian dipilih 5 o sehingga menjadi 37

Gunakan sudut tersebut di atas untuk menentukan ω c yang baru. Sin 37 o = 0.602, maka α = 0.25

|G 1 (s)| = - 20 log (1/√α)

  20 log

  6 . 02 dB  0 . 5

ω c = 8.83 rad/s  frekuensi crossover yang baru Kemudian kita tentukan pole dan zero :

ω c = 1/(√αT), maka 1/T = ω c √α = 4.415  zero = 4.415 Pole = 1/(αT) = ω c /√α = 17.66 K c = K/α = 10/0.25 = 40 Dengan demikian sistem yang terkompensasinya menjadi:

Bila digambarkan diagram Bodenya maka akan didapatkan seperti pada gambar 2 berikut.

Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 49.6 deg (at 8.83 rad/sec)

s e ( -135 P h a

-180 10 -1

Frequency (rad/sec)

Gambar 2 Diagram Bode untuk sistem terkompensasi pada contoh 1 Kita pun dapat menggunakan MATLAB untuk menyelesaikan contoh soal di atas. Berikut uraian program perangkat lunaknya.

Clear variable

 clear;

Gain from Kv

 K = 10;

Original system

 num = 4; den = [1 2 0];

Plot margin

 margin(K*num,den)

Get Gm & Pm

 [Gm,Pm] = margin(K*num,den)

New Pm in deg

 new_Pm = 50 - Pm + 5;

New Pm in rad

 new_Pm_rad = new_Pm*pi/180;

Alpha

 alpha = (1 - sin(new_Pm_rad))/(1 + sin(new_Pm_rad))

From calculation

 Wc = 8.83;

Get zero & pole

 zero = Wc*sqrt(alpha); pole = Wc/sqrt(alpha); Compensator gain  Kc = K/alpha;

Plot final result

 figure; margin(conv(4*Kc,[1 zero]),conv([1 2 0],[1 pole]))

11.6 Kompensator Lag

Tujuan digunakan kompensator ini adalah untuk meredam daerah frekuensi tinggi agar diperoleh cukup phase margin.

Karakteristik Kompensator Lag:

Ts  G 1 c ( s )  K c   K

 c Ts  1 1

Dimana (β > 1) Dengan β > 1, pole-nya lebih dekat dengan asalnya dibandingkan dengan zero.

Prosedur Perancangan Kompensator Lag:

1. Asumsi

Ts  G 1 ( s )  K

 Ts  1 s 1   T

c β=K K

Ts  1 Ts  1 Ts  1

KG ( s ) 

Ts  1  Ts  1  Ts  1

Hitung gain K untuk konstanta error statik yang diinginkan atau kita dapat menggambar dalam diagram Bode.

2. Jika phase margin dari KG(s) tidak memenuhi syarat spesifikasi, hitung  m ! Dimana  m = 180° – phase_margin_yang diinginkan (jangan lupa untuk

menambahkan 5°-12° pada phase margin yang diinginkan). Tentukan ω c untuk  m yang baru!

3. Pilih ω = 1/T (zero dari kompensator) 1 oktaf hingga 1 decade di bawah ω c .

4. Pada ω c , tentukan atenuasi untuk membuat kurva turun ke 0 dB. Atenuasi = - 20 log (β). Dari titik ini, kita dapat menghitung pole, 1/(βT)

5. Hitung gain K c = K/β

Contoh 2:

Sistem semula :

s ( s  1 )( 0 . 5 s  1 )

Diinginkan untuk mengkompensasi sistem sehingga konstanta galat kecepatan statik

Kv= 5 detik o , phase margin 40 dan gain margin paling sedikit 10 dB.

Jawab:

Pertama kita tentukan nilai K.

Ts  1 1 Ts  1 1

 Ts  1 s ( s  1 )( 0 . 5 s  1 )

 Ts  1 s ( s  1 )( 0 . 5 s  1 )

K=K c β

Ts  1 1

K v  lim sG c ( s ) G ( s )  sK

s  0  Ts  1 s ( s  1 )( 0 . 5 s  1 )

Dengan Kv = 5, K = 5

Dengan bantuan MATLAB diperoleh diagram Bode untuk sistem semula adalah seperti pada gambar 2.

Dari diagram Bode, terlihat sistem belum memenuhi persyaratan. Phase margin yang diinginkan adalah 40 o , dengan demikian perlu dikompensasi,

 o m = -180 + 40 + 10 = -130 Sudut G1(s) adalah -130 o , maka ω

oo

c yang baru = 0.49 rad/s

Zero kompensatornya adalah  ω = 1/T = 0.2 ω c = 0.098 rad/s Pada ω c , atenuasi untuk membuat kurva magnitude turun menjadi 0 dB adalah -18.9878 dB (sekitar -19 dB) Dari - 20log(β) = -19, didapat β = 8.9125

Bode Diagram Gm = -4.44 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -13 deg (at 1.8 rad/sec)

d itu n

g a -50 M -100

-150 -90

) -135 d e g a s e ( h -180

P -225

Frequency (rad/sec)

Gambar 2 Diagram Bode untuk sistem semula pada contoh 2

Pole kompensator adalah 1/(βT), dengan 1/T = 0.098, pole = 0.011 Kc = K/β, dan Kc = 0.561

Kita pun dapat menyelesaikan contoh soal 2 di atas dengan menggunakan MATLAB. Berikut list programnya.

Gain 

K = 5; num = 1;

den = conv([1 1 0],[0.5 1]);

Plot margin 

margin(K*num,den)

Get gain and phase margin 

[Gm,Pm] = margin(K*num,den);

Find new phase margin 

new_Pm = (-180 + 40 + 10)*pi/180; %rad wc = 0.49;

att = -(20*log10(5/abs(i*wc*(i*wc+1)*(i*0.5*wc+1)))) beta = 10^(att/-20)

zero = 0.2*wc pole = zero/beta Kc = K/beta

MODUL XII TANGGAPAN FREKUENSI : NYQUIST PLOT & NICHOLS PLOT

Pada modul ini akan dibahas mengenai metoda analisis tanggapan frekuensi yang lain yaitu dengan diagram Polar/Nyquist plot dan sedikit tentang diagram Log Magnitude vs Phase Plot/Nichols Plot. Akan dijelaskan pula bagaimana cara membuat Nyquist plot melalui MATLAB.

12.1 Definisi Diagram Polar/Nyquist

Diagram Bode menggunakan dua buah plot untuk menunjukkan respon frekuensi plant sedangkan Nyquist menggabungkan kedua plot tersebut ke dalam satu plot dalam koordinat polar sebagai ω yang nilainya bervariasi dari 0 hingga ∞.

Untuk itu kita harus mengingat kembali penggunaan bilangan kompleks baik dalam notasi umum dan dalam bentuk fasor.

Terdapat 2 parameter koordinat polar : • Radius, diukur dari titik asal • Sudut (dari sumbu real positif)

– Sudut positif berlawanan dengan arah jarum jam – Sudut negatif searah dengan arah jarum jam

Sebagai referensi, pelajari kembali konsep umum dari aljabar dan geometri

Jika dibandingkan dengan diagram Bode, diagram polar/ Nyquist plot memiliki keuntungan dan kerugian sebagai berikut :

1. Keuntungan: – Menunjukkan karakteristik respon frekuensi dari sebuah sistem mencakup seluruh range frekuensi dalam satu plot.

2. Kerugian: – Tidak terlalu jelas menunjukkan kontribusi dari masing-masing faktor individu dari fungsi transfer loop terbuka.

12.2 Penggambaran Diagram Polar/Nyquist Plot

Penggambaran diagram polar/Nyquist plot dipresentasikan dalam : • Faktor Integral/turunan • Faktor Orde 1 • Faktor Kuadratis

a. Faktor I ±1 ntegral/Turunan (jω) • Nyquist plot dari -1 (jω) adalah sumbu imaginer negatif • Nyquist plot dari (jω) adalah sumbu imaginer positif

b. Faktor Orde 1

• -1 Untuk (1+jωT)

1 – 1  G 1 ( j  )   , sudut   tan  T

– Untuk o ω = 0  1 sudut 0 – Untuk o ω = 1/T  1/√2 sudut -45 – Untuk o ω = ∞  0 sudut -90

Maka Nyquist plot nya adalah seperti pada gambar 1.

Nyquist Diagram

1 0.8 0.6 0.4

is x 0.2 ry A a 0 a g in

Im -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Real Axis

Gambar 1 Nyquist plot untuk (1+jω) -1

• Untuk (1+jωT)

2 2  – 1 G ( j  )  1  j  T  1   T , angle  tan  T – Untuk o ω = 0  1 sudut 0

– Untuk o ω = 1/T  √2 sudut 45 – Untuk o ω = ∞  ∞ sudut 90

Nyquist Diagram

Real Axis

Gambar 2 Nyquist plot untuk (1+jωT)

c. Faktror Kuadratis

2 • -1 Untuk [1+2ζ(jω/ω

n )+(jω/ω n ) ]

 j

    j   n    n 

– Untuk o ω0, G(jω) = 1 sudut 0 – Untuk o ω ∞, G(jω) = 0 sudut -180

Nyquist Diagram

Im -0.5

Real Axis

2 Gambar 3 Nyquist plot faktor kuadratis [1+2ζ(jω/ω -1

n )+(jω/ω n ) ]

• 2 Untuk [1+2ζ(jω/ω

n )+(jω/ω n ) ]

G ( j  )  1  2   j    j 

– Untuk o ω0, G(jω) = 1 sudut 0 – Untuk o ω ∞, G(jω) = ∞ sudut 180

Nyquist Diagram

Real Axis

Gambar 4 Nyquist plot fa 2 ktor kuadratis [1+2ζ(jω/ω

n )+(jω/ω n ) ]

12.3 Bentuk Umum Polar/Nyquist Plot

Jika persamaan fungsi alih sebuah sistem adalah :

Untuk sistem tipe 0: titik awal (ω=0) terhingga dan terletak pada sumbu real positif. Garis yang menyinggung plot polar pada ω = 0 tegak lurus terhadap sumbu nyata. Titik akhirnya ( ω = ∞) adalah pada titik asal dan kurva tersebut bersinggungan dengan salah satu sumbu.

Untuk Sistem tipe 1: pada ω=0, magnitude-nya tak terhingga dan sudut fase adalah -90o. Pada ω = ∞, besarnya adalah nol dan kurva konvergen ke titik asal dan menyinggung dengan salah satu sumbu.

Untuk Sistem tipe 2 : pada ω=0, magnitude-nya tak terhingga dan sudut fase adalah -180 o . Pada w = ∞ magnitudenya menjadi nol dan kurva bersinggungan

dengan salah satu sumbu.

Type 2 Type 2

=0 =0

Type 0 Type 0

  Type 1 Type 1

Gambar 5 Polar plot dari tipe 0, 1 dan 2 n-m = 1 n-m = 1

n-m = 1 n-m = 1

n-m = 1 n-m = 1

Gambar 6 Polar Plot Range Frekuensi Tinggi

Gambar 7 Polar Plot dari Fungsi Alih Sederhana

12.4 Penggambaran Nyquist dengan Matlab

• Gunakan fungsi [re,im,w]=nyquist(sys) • „sys‟ bisa diisi dengan (num,den) atau fungsi transfer atau (A,B,C,D) dalam

state space. • Dalam Nyquist, arah kurva penting untuk dilihat.

12.5 Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot

Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase margin untuk cakupan frekuensi kerja.

Gambar 7 Penggambaran Bode, Nyquist dan Nichols plot

Kenaikan konstanta penguatan G(jω) hanya menggeser kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya. Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.

1 Kurva G(jω) simetris terhadap titik asal dengan G ( j  ) mengingat

20 Log G ( j  ) =- 20 Log G(jω)

1  G ( j  ) =-  G(jω)

Gambar 8 Penggambaran Log Magnitude vs Phase Plot /Nichols Plot dari Fungsi Alih Sederhana

MODUL XIII KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

Pada sistem loop tertutup gambar 1, sistem dikatakan stabil bila akar-akar persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0 terletak disebelah kiri bidang-s. Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun pole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak di sebelah kanan bid-s.

Gambar 1 Sistem Loop Tertutup

Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop terbuka G( jω)H(jω) terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup 1+ G(s)H(s) yang terletak di daerah tak stabil pada bidang s. Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa perlu menentukan letak pole-pole loop tertutup. Untuk itu perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidang F(s) = 1+ G(s) + H(s).

13.1 Pemetaan Kontur

Sebuah unit kontur persegi dalam bidang s dapat dipetakan ke bidang lain melalui fungsi tertentu. Sebagai contoh, pemetaan unit kontur persegi dalam bidang s ke

bidang F(s) oleh fungsi F 1 (s)=2s + 1. Gambar 2 menunjukkan unit kontur persegi.

-1 -1

-j -j

Gambar 2 Unit kontur persegi

Bila s = s + jω dan F(s) = u + jv, F 1 (s) = 2(s+jω) + 1

Maka u = 2s + 1 dan v = 2ω Pemetaan ke bidang F(s) dari bidang s menjadi seperti pada gambar 3 di bawah ini.

Bidang Bidang Bidang Bidang - - - - s s s s Bidang Bidang Bidang Bidang - - - - F(s) F(s) F(s) F(s)

Gambar 3 Pemetaan dari bidang-s ke bidang F(s) oleh fungsi F 1 (s)=2s + 1

Zero dari F 1 (s) = 2s+1 adalah -0.5. F 1 (s) tidak memiliki pole. Unit kontur persegi dalam bidang-s mengelilingi zero -0,5 sekali searah jarum jam. Sebuah pemetaan kontur dalam bidang F(s) mengelilingi titik asal searah jarum jam.

Contoh lain F 2 (s) = s/(s+2). Zero dari F2(s) = s/(s+2) adalah 0 dan pole-nya adalah

-2. Unit kontur persegi dalam bidang-s mengelilingi zero 0 sekali searah jarum jam dan tidak mengelilingi pole. Sebuah pemetaan kontur dalam bidang F(s) mengelilingi titk asal sekali searah jarum jam.

A A -1 -1

-j -j C C B B C C

Bidang Bidang Bidang Bidang - - - - s s s s

Bidang Bidang Bidang Bidang - - - - F(s F(s F(s F(s ) ) ) )

Gambar 4 Pemetaan dari bidang-s ke bidang F(s) oleh fungsi F 2 (s)=s/(s + 2)

Gambar 5 Pemetaan dari bidang-s ke bidang F(s)

Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan

1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s, maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah jarum jam pada di bidang F(s).

2. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal.

3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup di bidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah zero tersebut.

4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal pula.

5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakan pemetaan 1-1, sebaliknya tidak.

13.2 Teori Pemetaan

Teorema Chaucy : Jika sebuah kontur Γs pada bidang-s mengelilingi zero Z dan pole P dari F(s) dan tidak melewati pole dan zero manapun dari F(s) dan bergeraknya sesuai arah jarum jam sepanjang kontur, maka kontur ΓF dalam bidang F(s) mengelilingi titik asal dari bidang F(s) sebanyak N = Z – P kali searah jarum jam.

Gambar 6 Teorema Chaucy

Sudut  p1 ,  p2 dan  z2 saat s berpindah sepanjang Γ S adalah zero, namun  z1 adalah 2π. Jika ada zero sebanyak Z tertutup oleh Γ S dengan arah searah jarum jam, maka sudut untuk zero adalah 2πZ. Jika ada pole sebanyak P tertutup oleh Γ S dengan arah

searah jarum jam, maka sudut untuk pole adalah 2πP. Sudut resultan dari F(s),  F , adalah 2 πZ-2πP.

 F =2 πZ – 2πP, atau 2πN = 2πZ – 2πP, atau N = Z – P

Jika N > 0, GF searah dengan jarum jam, kebalikannya, berlawanan arah dengan jarum jam.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa: p ( s )

F ( s )  Jika

q ( s ) Bila :

P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa lintasan tertutup dibidang-s. Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak melalui pole-pole/zero-zero tersebut). Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).

Maka : Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P.

Sebagai contoh konsekwensi dari Teorema Chaucy ditunjukkan pada gambar 7 berikut.

Z = 3, P = 1 Z = 3, P = 1 Z = 3, P = 1 Z = 3, P = 1

N=Z N=Z N=Z N=Z N=Z N=Z – – – – – – P=2 P=2 P=2 P=2 P=2 P=2

Gambar 7 Contoh Konsekwensi dari Teorema Chaucy

13.3 Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan

Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah kanan (lintasan Nyquist). Perhatikan gambar 8.

· Gambar 8 Kontur tertutup di bidang s

Semua pole dan zero 1 + G(s)H(s) yang memiliki bagian real positip tercakup pada lintasan Nyquist. Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s)= 0 di dalam lintasan Nyquist.

13.4 Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka

Dimulai dari persamaan karakteristik

k  1 Bagaimana memetakan F(s) = 1 + L(s)?

Biasanya, L(s) dalam bentuk faktor tetapi 1+L(s) tidak. Selain dengan pemetaan dalam bidang F(s) kita dapat memetakan dalam bidang L(s). Dalam bidang F(s), N adalah berapa kali pengelilingan titik asal yang searah dengan jarum jam. Dalam bidang L(s), N adalah berapa kali pengelilingan titik -1 dari F(s) searah jarum jam, karena F '(s) = F (s) -1. Sebagai contoh adalah pada gambar 9 berikut. Pengelilingan t itik asal oleh kurva 1 + G(jω)H(jω) berubah menjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(jω)H(jω).

Gambar 9 Pemetaan Loop Tertutup Ke Loop Terbuka

13.5 Kriteria Kestabilan Nyquist

[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/ze ro pada sumbu imaginer jω]. Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di sebelah kanan bidang-s dan

Lim s   G(s)H(s) = konstan, maka sistem stabil bila kurva G(jω)H(jω) mengelilingi titik -1+ j0 sebanyak k kali berlawanan arah jarum jam (gambar 10).

Gambar 10 Kurva fungsi alih terbuka G(s)H(s)

Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s). Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) di titik asal (pada bid-s), maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya).

Gambar 11 Lintasan Nyquist sistem stabil

Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi titik asal searah jarum jam Z = N + P. Z=N+P Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam. P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s.

* Sistem stabil bila Z = 0 :

1) P = 0 dan N = 0

2) Bila P  0, maka N = -P

* Analisis Kestabilan

-N=0 • Sistem stabil jika tidak ada pole dari L (s) di sebelah kanan setengah bidang • Jika tidak, sistem tidak stabil -N<0 • Sistem stabil jika jumlah pengelilingan berlawanan dengan arah jarum jam sama dengan jumlah pole dari L (s) di sebelah kanan setengah bidang

• Jika tidak, sistem tidak stabil -N>0 • Dalam kasus ini sistem tidak stabil

* Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hatihati. Lebih mudah menggunakan kriteria Routh. * Bila kurva G(jω)H(jω) melalui titik -1+j0, berarti ada pole-pole loop tertutup pada sumbu jω : sistem berosilasi.

13.6 Contoh Analisis Kestabilan Nyquist

Berikut ini beberapa contoh analisis kestabilan melalui Nyquist.

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5:

MODUL XIV PENGENDALI OTOMATIS DI INDUSTRI

Pada modul ini akan diuraikan berbagai macam jenis pengendali otomatis yang biasa digunakan di industri. Pada gambar 1 ditunjukkan diagram blok sistem kendali dengan pengendali otomatik.

Gambar 1 Diagram Blok Sistem Kendali dengan Pengendali Otomatik

Fungsi Pengendali otomatik:

1. Membandingkan output plant (nilai aktual) dengan input referensi (nilai diinginkan),

2. Menentukan simpangan sinyal,

3. Mengeluarkan sinyal kontrol untuk menghilangkan/mengurangi simpangan tsb.

Mode Pengendali:

 Diskontinyu / Digital: - On / Off (2 posisi) - 3 posisi - Programmable (PLC) - Microcomputer

 Kontinyu / Analog : - Proporsional - Integral - Proporsional + Integral - Proporsional + Derivatif - Proporsional + Integral + Derivatif

Pemilihan mode pengendali ditentukan oleh karakteristik plant / proses. ฀Implementasinya dalam bentuk : mekanik, hidraulik, pneumatik dan elektronik

(analog /digital)

14.1 Pengendali On-Off

Gambar 2 Pengendali On-Off

u(t) = U1 untuk e(t) > 0 = U2 untuk e(t) < 0 Umumnya : U2 = 0 atau -U1. Karakteristik pengendali : - Implementasi fisik sederhana dan murah - Terdapat efek histerisis dalam implementasi praktisnya. - Dapat menimbulkan efek cycling (osilasi disekitar nilai set point). - Differential gap: adakalanya digunakan untuk menghindari terlalu seringnya

terjadi mekanisme on-off. - Aplikasi : Sistem skala besar dengan laju proses lambat (sistem pendingin/pemanas ruangan). - Contoh implementasi: Katup yang digerakkan oleh solenoid.

14.2 Pengendali Proporsional

Gambar 3 Pengendali Proporsional

u(t) = Kp.e(t), atau: U(s) = Kp.E(s) dengan Kp : gain proporsional Karakteristik pengendali : - Timbul error offset bila ada perubahan beban. - Aplikasi :

- Sistem dengan manual reset dapat dilakukan, - Sistem yang tak mengalami perubahan beban besar.

- Contoh Implementasi: Amplifier dengan penguatan yang dapat diatur.

14.3 Pengendali Integral

Gambar 4 Pengendali Integral du ( t )

dt

u ( t )  K i  e ( t ) dt

atau dengan Ki : konstanta yang dapat diatur.

U ( s ) K i  Fungsi alih Pengendali: E ( s ) s

Karakteristik pengendali:

- Bila nilai e(t) naik 2 kali, maka laju perubahan u(t) terhadap waktu menjadi 2

kali lebih cepat. - Bila e(t) tetap (zero actuating error) , maka nilai u(t) akan tetap seperti semula (reset control). - Aksi reset (error  0) setelah ada perubahan beban.

14.4 Pengendali Proporsional + Integral

Gambar 5 Pengendali Proporsional + Integral

Fungsi alih Pengendali: U ( s )

E ( s ) 

i  Kp : konstanta proporsional (adjustable)

Ti: waktu integral (adjustable) 1/T i : laju reset : berapa kali bagian proporsional dari aksi pengontrolan diulangi dalam waktu 1 menit. Aplikasi : Sistem dengan perubahan beban besar yang tak terlalu cepat (perlu waktu integrasi).

14.5 Pengendali PI Dan Kompensator Lag

Pengendali PI :

Kompensator Lag: Ts  1

Ts  1

Karakteristik pengendali : - Pengendali PI adalah kompensator Lag, dengan zero s=-1/Ti dan pole pada s=0 (penguatan  ฀pada frekuensi 0). - Pengendali PI memperbaiki karakteristik respons steady state. Pengendali PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1, sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil.

- Pemilihan nilai Kp dan Ti harus cermat agar diperoleh respons transient memadai: overshoot kecil atau nol, tetapi respons lebih lambat.

14.6 Pengendali Proposional + Derivatif

Gambar 6 Pengendali Proposional + Derivatif

Fungsi alih Pengendali: U ( s ) 

Kp : konstanta proporsional (adjustable) Td: waktu derivatif (adjustable) Karakteristik pengendali :

- Magnitude output Pengendali sebanding dengan laju perubahan sinyal error

(rate control). - Aksi pengaturan derivatif : ฀฀memiliki karakter anticipatory, memperkuat

derau, dapat menyebabkan efek saturasi pada Pengendali, tak dapat berdiri sendiri (efektif hanya selama masa transient).

- Mode derivatif dapat mengatasi perubahan beban seketika - Offset error tak dapat dihilangkan.

14.7 Pengendali PD Dan Kompensator Lead

Pengendali PD:

Kompensator Lead: Ts  1

G c ( s )  K c ; ( 0    1 )  Ts  1

Karakteristik pengendali : - Pengendali PD = versi sederhana dari kompensator lead. - ฀฀Kp ditentukan dari spesifikasi steady state - Frekuensi sudut 1/Td dipilih agar phase lead terjadi sekitar ω gco . - Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude Pengendali naik terus untuk

frekuensi tinggi ω > 1/Td, sehingga memperkuat derau pada frekuensi tinggi. - Kompensator Lead dapat menaikkan phase lead, tetapi kenaikan magnitude pada frekuensi tinggi sangat kecil dibandingkan dengan Pengendali PD. - ฀Pengendali PD tak dapat direalisasikan dengan elemen pasif RLC, harus

dengan Op Am, R dan C. - Realisasi dengan rangkaian elektronik dapat menyebabkan masalah derau, meskipun tidak ada masalah bila direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan pneumatik.

- Pengendali PD memperbaiki karakteristik respons transient (tr mengecil,

%Mp mengecil).

14.8 Pengendali Proporsional + Integral + Derivatif

Gambar 7 Pengendali PID

Fungsi alih Pengendali:

Kp : konstanta proporsional (adjustable) Td: waktu derivatif (adjustable) Ti: waktu integral (adjustable) Karakteristik pengendali :

- Dapat digunakan untuk semua kondisi proses. - ฀Menghilangkan error offset pada mode proporsional. - Menekan kecenderungan osilasi.

14. 9 Pengendali PID Dan Kompensator Lag-Lead

Pengendali PID:

 s    s  T

 s    s 

Kompensator Lag-Lead:

Pengendali PID adalah Kompensator Lag-Lead. ฀฀Bila Kp dibuat tinggi, maka sistem dapat menjadi stabil kondisional.

14.10 Penalaan Untuk Pengendali PID

Gambar 8 menunjukkan kontrol PID suatu sistem. Bila pemodelan matematis plant sulit dilakukan, penalaan PID (penentuan Kp, TI dan Td) dilakukan secara eksperimental. Aturan Ziegler & Nichols berdasarkan pada langkah tanggapan eksperimental atau berdasarkan pada nilai Kp yang dihasilkan dalam kestabilan marginal bila hanya aksi kendali proporsional yang digunakan.

Gambar 8 Kontrol PID suatu sistem

Ziegler - Nichols mengusulkan aturan untuk menentukan nilai Kp, Ti dan Td berdasarkan pada karakteristik tanggapan peralihan dari plant yang diberikan. Ada dua metoda penalaan Ziegler - Nichols yang bertujuan mencapai overshoot ฀฀25%.

A. Metoda Pertama Ziegler - Nichols

Jika plant mengandung integrator atau pole-pole kompleks sekawan dominan, maka kurva tanggapan undak satuan terlihat seperti kurva berbentuk S.

Gambar 9 Kurva respon berbentuk S

Jika tanggapan tidak berbentuk kurva S, metoda ini tidak dapat diterapkan. ฀฀Fungsi alih dapat didekati dengan sistem orde pertama:

Ziegler - Nichols menentukan nilai Kp, Ti, dan Td :

Pengendali PID yang ditala dengan metoda pertama ini memberikan

B. Metoda Kedua Ziegler - Nichols

Anggap :Ti =  ฀dan Td = 0. ฀฀Dengan hanya menggunakan aksi kendali proporsional, kenaikan Kp dari 0 ke suatu nilai kritis K cr akan menghasilkan tanggapan yang berosilasi.

Gambar 10 Sistem loop tertutup dengan alat kontrol proporsional

Gambar 11 Osilasi berkesinambungan dari periode P cr

Ziegler - Nichols menala Kp, Ti, dan Td sbb:

Pengendali yang diperoleh:

Secara umum, untuk plant dinamis tanpa integrator, dapat diterapkan aturan penalaan Ziegler - Nichols. ฀฀Bila plant mengandung integrator, dalam beberapa kasus, aturan ini tidak dapat diterapkan.

Contoh 1:

Suatu sistem kendali umpanbalik satuan:

Plant mengandung integrator, maka metoda pertama tidak dapat diterapkan. Jika metoda kedua diterapkan, maka sistem lup tertutup dengan suatu pengendali proporsional tidak akan berosilasi terus-menerus berapapun nilai Kp yang diambil. Persamaan karakteristik:

Sistem stabil untuk semua nilai Kp positif. Jadi sistem tidak berosilasi : nilai penguatan kritis Kcr tidak ada. Dengan demikian metoda kedua tidak dapat diterapkan.

Contoh 2:

Suatu sistem dengan pengendali PID sbb:

Gunakan aturan penalaan Ziegler - Nichols untuk menentukan nilai parameter Kp, Ti, dan Td agar diperoleh tanggapan step dengan overshoot sekitar 25%.

Solusi:

Karena plant mengandung integrator, gunakan metoda kedua (Ti =  dan Td = 0):

Menentukan nilai Kcr :

3 Persamaan karakteristik sistem: s 2 +6s +5s+K

p =0

Deret R-H nya:

Osilasi akan terjadi jika Kp = 30. Jadi penguatan kritis Kcr = 30 Persamaan karakteristik nya:

3 s 2 +6s +5s+30 = 0 Frekuensi osilasinya:

3 (jω) 2 +6(jω) +5(jω)+30 = 0

2 6(5 - 2 ω ) + jω(5 - ω )= 0 Frekuensi keadaan berosilasi menjadi ω 2 =5 ω = 5 rad/s.

P cr 

 2 , 8099

Perioda osilasi adalah:

5 detik

Gunakan Tabel pada Metoda II, diperoleh: K p =0,6K cr = 0,6x30 =18 T i = 0,5 P cr =0,5x2,8099 =1,405

T d = 0,125P cr =0,125x2,8099 =0,35124

Fungsi alih PID adalah :

Fungsi alih sistem :

Diperoleh Mp = 62%. Untuk memperkecil Mp , lakukan fine adjustment parameter- parameter pengendali. Ambil Kp =18, geser zero ganda ke s = -0,65 :

Bila Kp = 39,42:

maka kecepatan tanggapan naik, overshoot naik menjadi sekitar 28%.