SISTEM KONTROL proses kontrol LANJUTAN

TUGAS 1 DAN 2 SISTEM KONTROL LANJUTAN

DISUSUN OLEH

ANGGA SENJAYA : 10520018 HERU WAHYUDI

: 10520008 RONI HISAGE

FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS TAMA JAGAKARSA

JAKARTA 2013

MODUL

MODUL I

PENGANTAR SISTEM KENDALI LANJUT MODUL II MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK MODUL III PENGGAMBARAN SISTEM KENDALI MODUL IV ANALISIS SISTEM KENDALI : ANALISIS WAKTU ALIH (RESPON TRANSIEN) MODUL V ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK & KEPEKAAN MODUL VI ANALISIS KESTABILAN MODUL VII CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN MODUL VIII ROOT LOCUS MODUL IX DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS MODUL X TANGGAPAN FREKUENSI : DIAGRAM BODE MODUL XI DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI DIAGRAM BODE MODUL XII TANGGAPAN FREKUENSI : NYQUIST PLOT & NICHOLS PLOT MODUL XIII KRITERIA KESTABILAN NYQUIST MODUL XIV PENGENDALI OTOMATIS DI INDUSTRI

MODUL I PENGANTAR SISTEM KENDALI LANJUT

Rekayasa memberikan perhatian pada pemahaman dan pengendalian material dan kekuatan alam demi kemaslahatan ummat manusia. Sarjana Teknik Kendali dituntut dapat memahami dan mengendalikan bagian kecil lingkungan (sistem) agar menghasilkan produk yang secara ekonomi bermanfaat untuk masyarakat.

Pemahaman dan pengendalian adalah komplementer mengingat sistem harus dapat dipahami dan dimodelkan. Tantangan saat ini adalah pemodelan dan pengendalian sistem-sistem yang kompleks, modern, dan terkait satu sama lain: pengendalian lalu lintas, prosesproses kimia, sistem-sistem robot, sistem pesawat angkasa , sistem peluru kendali. Sebaliknya disiplin ilmu ini memiliki peluang untuk mengendalikan banyak sistem menarik di industri secara otomatis. Tiga hal pokok dalam kendali proses: mesin, industri dan ekonomi.

1. Apa yang dilakukan Sarjana Teknik Kendali ?

Sebagian besar keputusan dari insinyur tersebut akan dibahas pada lima topik berikut ini.

- Desain proses

Kunci dalam teknik adalah desain dari sebuah proses sehingga proses dapat dikontrol degan baik. Misalnya pada pemanas ruangan terdapat temperatur maksimal dan minimal karena furnace dan heat exchanger tidak dapat merespon

dengan cepat. Dengan begitu, sebuah plant yang lebih responsif akan dengan lebih mudah dikontrol. Responsif berarti variabel yang dikontrol dapat merespon dengan cepat untuk berapapun harga variabel yang dimanipulasi di-set. Dan juga, sebuah plant yang mudah beradaptasi dengan gangguan juga akan lebih mudah dikontrol.

- Pengukuran

Kunci keputusan yang akan diambil adalah pemilihan jenis sensor dan lokasinya, karena kita hanya dapat mengontrol nilai-nilai yang terukur. Seorang insinyur harus memilih sensor yang dapat mengukur variabel-variabel penting dengan cepat dan dengan akurat.

- Elemen akhir

Insinyur harus menyediakan alat, variabel yang dimanipulasi yang dapat bersikap sesuai perhitungan kontrol. Contoh: contol valve sebagai elemen akhir akan membuka atau menutup dengan persentasi bukaan/tutupan tertentu sesuai dengan signal yang dikirimkan ke valve dari kontroller.

- Struktur kontrol

Insinyur harus dapat memutuskan beberapa hal paling dasar dalam perancangan sistem kontrol. Misalnya, valve mana yang harus dimanipulasi untuk mengontrol suatu pengukuran.

- Perhitungan kontrol

Setelah struktur kontrol dan variabel sudah terpilih, persamaan-persamaan tertentu harus dipilih untuk pengukuran nilai-nilai yang diinginkan untuk menghitung variabel yang dimanipulasi. Seperti yang kita pelajari, hanya beberapa persamaan yang sesuai untuk kontrol bagi berbagai macam plant.

2. Beberapa Definisi

 Sistem : kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-sama dan membentuk suatu tujuan tertentu.  Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu perkembangan yang dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.

 Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang terdiri dari beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan pada suatu hasil atau akhir.

 Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.  Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-

sama untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan: reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)

 Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai output suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.  Kendali umpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan akan cenderung akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.

3. Jenis Sistem Kendali

Ada 2 jenis sistem kontrol:

1. Sistem kontrol lup terbuka (open-loop control system).

2. Sistem kontrol lup tertutup (closed-loop control system).

Sistem Kontrol Terbuka/Open-Loop

- output tidak diukur maupun diumpanbalikkan - bergantung pada kalibrasi - hubungan antara output dan input diketahui - tidak ada „internal disturbance‟ maupun „eksternal disturbance‟

Contoh : - kontrol traffic (lalu lintas) - mesin cuci

Faktor penting: WAKTU

Kelebihan:

- konstruksinya sederhana dan perawatannya mudah - lebih murah - tidak ada persoalan kestabilan - cocok untuk keluaran yang sukar diukur /tidak ekonomis (contoh: untuk

mengukur kualitas keluaran pemanggang roti)

Kelemahan:

- gangguan dan perubahan kalibrasi - untuk menjaga kualitas yang diinginkan perlu kalibrasi ulang dari waktu ke

waktu

Sistem Kontrol Tertutup / Close-Loop Terdapat „feedback‟ untuk mengurangi „error‟ Jenisnya :

· sistem kontrol berumpan balik (feedback control system) · sistem kontrol inferensial (inferential control system) · sistem kontrol berumpan-maju (feedforwardcontrol system)

A. Manual Feedback Control / Manual Close-Loop Control System

Blok Diagram : „Manual Feedback Control‟ dari sebuah sistem thermal

B. Automatic Feedback Control / Automatic Close-Loop Control System Blok Diagram :

Kelebihan : komponen-komponen relatif lebih murah dan cukup akurat Kekurangan : stabilitas menjadi persoalan utama

Sistem Multi-Input Multi-Output

4. Contoh-Contoh Sistem Kendali

5. Proses Perancangan Sistem Kendali

6. Arah Evolusi Sistem Kendali

MODUL II MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK

Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya. Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tsb secara memadai. Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem yang bersangkutan :

- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton. - Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, Ohm.

Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai. Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti.

Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis. Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-faktor penting saja dalam pemodelan. Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem. Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi. Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik).

Dua pendekatan analisis : - Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO) - State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)

2. 1 Klasifikasi Sistem

Sistem dapat dikagorikan sebagai berikut,

1. LINEAR VS NONLINEAR • Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise linearisation)

• Sistem linear : berlaku hukum superposisi: respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda merupakan kombinasi respons masing-masing input. • Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.

• Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja. Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu, sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.

2. TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING • Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu. Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.

• Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu. Respons nya tergantung pada waktu diberikan input. Contoh Sistem Kendali Time-varying: Sistem kendali pesawat ruang angkasa: bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

3. CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME • Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu. • Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /sinyal yang diskrit terhadap waktu.

4. DETERMINISTIC VS STOCHASTIC • Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten. • Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama.

5. LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS • Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik (lumped). Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.

• Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan, misalnya pada sistem transmisi. Dicirikan dengan persamaan differensial parsial. 6.TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE • Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

• Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi (ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal,robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu.

2.2 Model Matematis Sistem Tradisional

Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem yang bersangkutan. Dengan mengetahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.

Input Output

G(s)

R(s) C(s)

Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem. R(s) = transformasi Laplace dari input C(s) = transformasi Laplace dari output G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem.

C(s) = G(s).R(s)

 Transfer function :

model matematis sistem tradisional ekuivalen dengan transfer function.

2. 3 Contoh-Contoh Model Matematis Sistem Fisis

- Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (1)

Hukum Fisis : Kirchoff Persamaan dinamis sistem /Persamaan differensial :

Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

Fungsi Alih:

E 0 (s) 1 

E (s)

LCs  RCs  1

- Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)

Op Amp ideal :

Zin = ~ Sehingga i 0 =0 ex ~ 0 virtual ground, sehingga i1 = i2 Persamaan Rangkaian:

Diperoleh

- Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)

- Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi

pada t < 0 : sistem tak bergerak pada t = 0 gerobak di gerakan dengan kecepatan konstan konstan du/dt = konstan y = output relatif terhadap ground

Laplace :

- Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

J = momen inersia beban kg m2 α = percepatan sudut beban rad/s2

T = torsi yang diberikan pada sistem Nm w = kecepatan sudut rad/s q = simpangan sudut (rad)

- Model Matematis untuk Generator DC

Kecepatan konstan n Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if

KVL pada kiri/input :

KVL pada loop kanan/output

Diperoleh :

ata u

Subtitusi :

Sehingga :

2.4 Pemodelan State Space

Pemodelan state space digunakan untuk analisis sistem modern. Beberapa pengertian: • ¨State: State suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel

(disebut variabel-variabel state) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui variabel-variabel tsb pada t = t0, bersama sama dengan informasi input untuk t > t0, maka perilaku sistem pada t > t0 dapat ditentukan secara utuh. Pengertian state tidak hanya untuk sistem fisis, tapi juga sistem-sistem lain: biologi, ekonomi, sosial dsb.

• ¨Variabel-variabel State: Variabel-variabel state suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel yang menentukan state sistem dinamik tsb. Variabel state tidak harus merupakan besaran yang dapat diukur atau diamati secara fisik (merupakan keunggulan metoda ini). Secara praktis, pilih besaran yang dapat diukur sebagai variabel state ( agar dapat diumpanbalikkan) .

• ¨Vektor State : Bila dibutuhkan n var state untuk mendeskripsikan secara utuh perlaku suatu sistem, maka n variabel tsb dapat dipandang sebagai n komponen dari suatu vektor x. Suatu vektor state adalah suatu vektor yang menentukan secara unik state sistem x(t) untuk t f t0 bila state pada t = t0 diberikan dan input u(t) pada t f t0 juga diberikan.

• ¨State Space : Merupakan ruang berdimensi n dengan sumbu-sumbu x1, x2,… xn. Setiap state dapat terletak disuatu titik dalam ruang tsb. • ¨Persamaan State-Space Perlu 3 jenis variabel dalam analisis:

1. Variabel-variabel input,

2. Variabel-variabel output,

3. Variabel-variabel state. Representasi state space untuk suatu sistem tidak unik, tetapi jumlah variabel state nya adalah sama untuk sistem yang sama.

Representasi State Space untuk sistem MIMO:

Input : u1(t), u2(t), …,ur(t) Output : y1(t), y2(t), . . . , ym(t). Definisikan n output integrator sebagai variabel state: x1(t), x2(t), . . . , xn(t). Sistem dapat didiskripsikan:

Output sistem dapat dinyatakan:

Bila didefinisikan:

Maka persamaaan state dan persamaan output menjadi:

(Disebut sistem time varying bila fungsi f dan g mengandung variabel t). Bila persamaan state dan output diatas dilinearisasikan disekitar titik operasinya, maka persamaan state dan output linear dapat dituliskan:

Dengan: A(t) : Matrix state B(t) : Matrix input C(t) : Matrix output D(t) : Matrix transmisi langsung

Untuk sistem time-invariant:

Diagram Blok-nya:

Contoh: Persamaan sistem :

Definisikan variabel state:

Sehingga diperoleh:

Atau

Sehigga persamaan output:

Persamaan state dalam bentuk vektor:

Persamaan output dalam bentuk vektor:

Sehingga:

Diagram blok sistemnya :

2.5 Kaitan antara Fungsi Alih dan Persamaan-Persamaan State Space

Fungsi alih suatu sistem :

Representasi State Space sistem tsb:

Bentuk Laplace nya:

(Ambil kondisi mula =0), diperoleh: X(s) s – AX(s) = BU(s) atau: (s I – A)X(s) = BU(s) Diperoleh:

X(s) = (sI -1 – A) BU(s) Persamaan Output menjadi:

Dengan membandingkan Fungsi alih dan Persamaan Output, diperoleh:

G(s) = -1 C(sI – A) B+D

atau:

Terlihat bahwa : Eigenvalue A adalah pole-pole G(s).

Contoh Memperoleh Fungsi Alih dari State Space:

Persamaan State dan Output Semula:

Diperoleh:

Mengingat:

Maka Fungsi Alihnya:

Untuk sistem MIMO:

Maka diperoleh matriks transfer G(s) berdimensi (m, x, r) melalui persamaan:

2.6 Representasi State Space untuk Sistem Dinamis

Suatu sistem dinamik dengan elemen-elemennya bersifat lumped dinyatakan dalam Persamaan Differential biasa, dengan waktu merupakan variabel independen. Dengan menggunakan notasi matriks vektor, Persamaan Differential orde-n dapat dinyatakan sebagai Persamaaan Differential matriks vektor orde pertama. Bila n elemen dari vektor tsb adalah kumpulan variabel state, maka Persamaaan Differential matriks vektor merupakan Persamaan State.

Sistem orde-n dengan input tak mengandung suku-suku turunan:

Alternatif pemilihan n variabel state: y*(t), y**(t) , …, y(t) : tak praktis karena memperkuat derau .

Ambil :

Sehingga persamaan differential semula menjadi:

Atau y = C x dengan

C = [1 0 . . . 0]

Fungsi Alih sistem:

Diagram blok:

Contoh Rangkaian Elektrik:

MODUL III PENGGAMBARAN SISTEM KENDALI

Dalam melakukan analisis dan desain sistem kendali diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Penurunan model matematis sistem fisis (Persamaan Differensial)

2. Peroleh model linear dari komponen-komponen sistem.

3. Gunakan Transformasi Laplace untuk komponen-komponen sistem tsb.

4. Turunkan hubungan antara output dengan input masing-masing komponen (Fungsi Alih).

5. Diagram blok sistem diperoleh melalui interkoneksi komponen komponen tsb.

6. Gunakan reduksi diagram blok untuk memperoleh fungsi alih sistem.

7. Gunakan Signal Flow Graph untuk menggambarkan sistem yang kompleks dan untuk memperoleh fungsi alih sistem melalui Formula Mason.

8. Gunakan beberapa metoda analisis dan desain untuk mendapatkan rancangan yang diinginkan.

Pada bab ini akan diuraikan mengenai cara penggambaran diagram blok sistem kendali, bagaimana mereduksinya dan dibahas pula penggunaan signal flow graph untuk penggambaran sistem yang kompleks.

3. 1 Fungsi Alih

Fungsi alih digunakan untuk memudahkan melihat karakteristik suatu sistem. Karakterisitik suatu sistem tak dipengaruhi oleh jenis input. Analisis fungsi alih hanya berlaku untuk sistem linear, invariant waktu. Fungsi alih merupakan perbandingan fungsi Laplace output dengan fungsi Laplace input dengan semua kondisi mula dianggap nol.

Persamaan Differensial orde-n:

Bentuk Laplace nya (untuk semua kondisi mula =0):

Fungsi Alih (untuk input = X(s), output = Y(s)):

3.1.1 Fungsi Alih Komponen-komponen Terhubung Secara Serial

a. Tanpa Faktor Pembebanan

Contoh:

b. Ada Faktor Pembebanan

Banyak sistem kendali memiliki komponen yang membebani satu sama lain. Misal : Tingkat kedua rangkaian (R 2 C 2 ) membebani tingkat pertama (R 1 C 1 ).

3.2 Diagram Blok Sistem Kendali

Adalah tidak praktis menggambarkan karakteristik setiap komponen dalam suatu sistem kendali. Karakteristik sekelompok komponen yang membentuk suatu fungsi tertentu (sub-sistem) diwakili oleh satu blok fungsi alih. · Diagram blok: Interkoneksi antar beberapa blok fungsional sehingga membentuk suatu sistem kendali (loop terbuka/tertutup). Diagram blok dapat menggambarkan sifat-sifat dinamis suatu sistem dan aliran sinyal, tetapi tak menggambarkan konstruksi fisik sistem tsb. Suatu sistem fisis yang berbeda dapat saja memiliki diagram blok yang sama (misal: analogi sistem mekanis <=> elektrik ).

Komponen-komponen dasar: - Blok Fungsional

- Titik penjumlah (summing point) λ Percabangan

Contoh:

 Diagram Blok Fungsi Alih Sistem Loop Terbuka, Fungsi Alih Lintasan Maju

Dan Fungsi Alih Sistem Loop Tertutup

Fungsi Alih Loop terbuka:

Fungsi Alih Lintasan Maju:

Fungsi Alih Loop tertutup: C(s) = G(s)E(s) E(s) = R(s) – B(s)

= R(s) – H(s)C(s) Atau: C(s) = G(s)[R(s)- H(s)C(s)], Sehingga:

 Model Sistem Loop Tertutup Dengan Gangguan

Anggap sistem mula-mula tanpa errror, sehingga respons sistem terhadap gangguan saja:

Bila gangguan dianggap tak ada, maka respons sistem terhadap input referensi:

Respons total terhadap keduanya:

Bila:

maka:

sehingga pengaruh gangguan dapat ditekan (keuntungan sistem loop tertutup).

3.3 Menggambar Diagram Blok

Prosedur menggambar diagram blok sistem kendali adalah sebagai berikut:

1. Tulis persamaan dinamis setiap komponen sistem.

2. Nyatakan dalam bentuk Laplace nya dengan asumsi kondisi mula = 0.

3. Gambarkan masing-masing komponen dalam bentuk blok-blok fungsional.

4. Gabungkan blok-blok tsb sehingga membentuk diagram blok lengkap sistem (loop tertutup). Contoh:

Bentuk laplace nya:

Blok-blok pembentuk sistem:

Penggabungan:

3.4 Reduksi Diagram Blok

Blok-blok hanya dapat dihubungkan secara seri bila tak ada pengaruh pembebanan. Blok-blok yang terhubung seri tanpa faktor pembebanan dapat diganti dengan blok tunggal dengan fungsi alihnya adalah perkalian masing-masing fungsi alih blok-blok tsb.

Diagram blok kompleks dapat disederhanakan melalui reduksi bertahap dengan aturan-aturan tertentu. Perkalian fungsi alih beberapa blok dalam arah lintasan maju harus tetap. Perkalian fungsi alih beberapa blok dalam loop harus tetap.

Tabel Aturan Penyederhanaan Diagram Blok

Contoh:

Contoh:

3.5 Signal Flow Graph (Graf Aliran Sinyal) Diagram blok menggambarkan sistem kendali secara grafik. Namun, untuk sistem kompleks, SFG (Signal Flow Graph) lebih praktis digunakan. SFG menggambarkan hubungan variabel-variabel sistem secara sederhana. Secara matematis: SFG adalah suatu diagram yang menggambarkan sekumpulan persamaan aljabar linear sbb:

melalui percabangan dan simpul(node).

Contoh:

Persamaan aljabar linear: y2=ay1+by2+cy4 y3= dy2 y4= ey1+fy3 y5=gy3+hy4

3.5.1 Beberapa Definisi

- Source (input node): simpul yang hanya memiliki percabangan keluar saja (yi) - Sink (output node) : simpul yang hanya memiliki percabangan masuk saja (y5) - Path (lintasan) : sekelompok cabang yang berhubungan dan memiliki arah

yang sama: eh; adfh dan b. - Lintasan maju : lintasan yang dimulai dari source dan berakhir di sink, tetapi tak ada node yang dilalui lebih dari satu kali: eh, ecdg, adg dan adfh - Penguatan Lintasan: perkalian penguatan (koefisien) pada cabang-cabang sepanjang lintasan. - Loop Umpanbalik : lintasan yang berawal dan berakhir pada node yang sama, tetapi node tsb tak boleh dilalui lebih dari satu kali: b, dfc. - Penguatan Loop : perkalian penguatan (koefisien) pada cabang-cabang yang membentuk loop umpanbalik.

Definisi :

-x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4  node (simpul) -G 1 ,H 2 ,G 2 ,G 3 ,H 1  transmittance / gain

- x 1  input node (source) - x 4  output node (sink)

- x 2 ,x 3  mixed node -G 1 G 2 G 3 = gain lintasan maju / kedepan (forward path gain) - Gain lintasan tertutup :

G 1 ,G 2 ,H 2 /G 2 ,H 2 ,G 1

G 2 ,G 3 ,H 1

Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut tidak melintasi suatu transmittance yang sama.

Contoh :

Gain lintasan maju : 1) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5

2) G 1 G 2 G 6 G 5 Gain lintasan tertutup : 1) G 1 G 2 H 1 3) G 4 G 5 H 3

2) G 2 G 3 H 2 4) G 2 G 6 G 5 H 3 H 2

3.5.2 Hubungan Antara Signal Flow Graph Dengan Blok Diagram

Blok Diagram

Signal Flow Graph

G(s )

R(s) C(s)

R(s) G(s)

C(s)

3.5.3 Sifat-Sifat Signal Flow Graph

(a)

y=a.x

(b) x a y b

a.b z

(c)

x 1 x 1 (d)

a ac

b bc

(e)

3.5.4 Teori Mason SFG mengandung informasi yang sama dengan diagram blok. SFG memudahkan penentuan fungsi alih melalui formula penguatan Mason, tanpa perlu melakukan reduksi diagram blok secara bertahap. Formula pengutan Mason:

C(s)  1 P   P R(s)

P = fungsi alih / tranfer function total

L L L  ....

i, j

i, j, k

P I = gain / transmittance lintasan maju ke I L i L j = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan L i L j L k = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan

 I =  bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup yang menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan

Contoh :

P 1 =G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 P 2 =G 1 G 2 G 5 G 6 L 1 =G 1 G 2 H 1 L 3 =G 4 G 5 H 3 L 2 =G 2 G 3 H 2 L 4 =G 2 G 5 G 6 H 2 H 3

Dua buah lintasan tertutup yang tidak bersinggungan

L 1 L 3 =G 1 G 2 G 4 G 5 H 1 H 3 L 2 L 3 =G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 H 3

 =1–L 1 –L 2 –L 3 –L 4 +L 1 L 3 +L 2 L 3

 1 =1  2 =1

  P  R(s)

C(s)

C(s)  R(s)

MODUL IV ANALISIS SISTEM KENDALI : ANALISIS WAKTU ALIH (RESPON TRANSIEN)

Langkah pertama dalam analisis sistem kendali adalah penurunan model matematis sistem. Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem :

- Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural. - Analisis Galat Keadaan Tunak : Konstanta tunak statik - Analisis Kepekaan - Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot, Nyquist Plot.

Berikut ini merupakan kriteria unjuk kerja sistem kendali : - Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan. - Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya.

- Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem. - Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.

Pada bab ini akan membahas mengenai metoda analisis sistem kendali yang pertama, yaitu : analisis waktu alih (analisis respon transien). Analisis galat keadaan tunak, kepekaan dan kestabilan akan dibahas pada modul-modul berikutnya.

4.1 Analisis Tanggapan/Respon

Respon sistem adalah tanggapan sistem terhadap sinyal input. Respon sistem dapat diketahui dari output sistem, setelah mendapatkan sinyal input.

Tinjauan Respon sistem ada dua kawasan :

a. Kawasan waktu ( Time respon )

b. Kawasan frekuensi ( Frekuensi respon )

Gambar 1 Tinjuan respon sistem

Terdapat 2 buah tanggapan/respon waktu : - waktu alih/transien : keadaan awal hingga keadaan akhir. - keadaan tunak : tanggapan pada waktu t ~.

Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana. Sinyal-sinyal pengujian berupa:

- fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba - fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu - fungsi percepatan - fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba - fungsi sinusoidal : linearitas sistem

Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya.

4.1 Analisis Waktu Alih/Transien Sistem Orde 1

Fungsi Alih : C(s)  1

R(s) Ts  1

a. INPUT : UNIT-STEP R(s)  1

r(t) = 1 

C(s)  1 1 . Ts  1 s

C(s)  1  T

s Ts  1

c(t)  1  e ( t  0 ) ………..(*)

Gambar 2 Kurva respon sistem orde 1 dengan input Unit-step

- Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1 - Pada t = T, c(t) = 0,632

T = time constant sistem Time constant lebih kecil, respon sistem lebih cepat.

- Slope pada t = 0 adalah 1/T Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0  0 pada t =  - t=T:0 – 63,2% t = 2T : 0 – 86,5% t = 3T : 0 – 95% t = 4T : 0 – 98,2% t = 5T : 0 – 99,3%

- t=   steady state

b. INPUT : UNIT-RAMP

R(s)  1 2

r(t) = t

C(s)  1 . 1 Ts  1 s 2

C(s)  1 2 T   T s

s Ts  1  t T

c(t)  t  T  T.e

Gambar 3 Kurva respon sistem orde 1 dengan input Unit-Ramp

e(t)  r(t)  c(t)

e(t)  T(1  e )

e(  )  T

- Time constant lebih kecil ( T )  steady state error lebih kecil

c. INPUT : UNIT-IMPULSE r(t) = S(t)  R(s) = 1 C(s) = 1

Ts + 1 C(t) = 1 e –t/T (t  0)

Gambar 4 Kurva respon sistem orde 1 dengan input Unit- Impulse  Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan

mendefferensiasi-kan respons dari sinyal input semula.

4.2 Analisis Waktu Alih/Transien Sistem Orde 2

Sistem orde 2 :

R(s) E(s)

2 C(s)

 n + s(s+2 ζ n )

2 C(s) 

2 2 R(s) S +2ζ

n S+  n

 n = frekuensi sudut natural undamped ζ = faktor redaman

Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0 < ζ < 1, sistem dinamakan underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem disebut overdamp.

Untuk mengetahui respon sistem orde dua, berikut ini akan dibahas analisis respon sistem orde 2 untuk input yang berbentuk unit step. Lihat di buku teks untuk sistem dengan input impuls, maupun ramp juga untuk respon sistem orde tinggi.

Untuk Input Unit Step

R(s) = 1

- Untuk sistem yang UNDERDAMP

C(s) =

C(s) =

2 2 S S +2ζ 

S+  n

= frekuensi natural teredam (damped natural frequency)

1 S+2ζ  n

C(s) =

2 2 2 2 2 2 S S +2ζ  n S+ζ  n -ζ  n +  d

1 S+2ζ  n =

2 2 2 2 S (S + ζ 

1 S+2ζ  n =

2 2 2 2 2 2 S (S + ζ  n ) + (1 - ζ )  d – (1 – ζ )  n +  d

1 S+2ζ  n

C(t) = 1 - e –ζn t cos  d t - e –ζn t sin  d t ζ

C(t) = 1 - e –ζn t ( cos  d t + ζ sin  d t)

(t  0)

e(t) = r(t) - c(t) –ζn t =e ( cos  d t + ζ sin  d t ) (t  0)

Frekuensi osilasi transient adalah  d , dan berubah dengan faktor redaman (ζ). Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada

steady-state error (t = ~), error = 0. Bila ζ = 0  c(t) = 1 – cos  n t (t  0)

respons menjadi undamped dan osilasi terus menerus tidak terbatas.

- Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED

C(s) =

2 (S +  2 (S + 

n t ) (t  0)

Respons transient tidak berosilasi.

- Untuk Sistem yang OVERDAMPED

C(s) =

(S+ζ

2  2 n +  n 1 –ζ )(S+ζ  n -  n 1 –ζ )S

c(t) = 1+ . e – ( ζ + ζ2 – 1) n t

Untuk mendapatkan C(s) di atas :

C(s) 2 

2 R(s) S 2 +2ζ 

S+  n

C(s) 2 

= R(s) (S + ζ  n +ζ  d ) (S + ζ  n -ζ  d )

C(s) 2 

2 R(s) (S + ζ 2 

ζ – 1) (S + ζ n+  n

-S2t 

–S1t

c(t) = 1 +  0) (t

dimana : S 2

1 = (ζ + ζ – 1)  n

2 = (ζ - ζ – 1)  n

- Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat diabaikan.

- Bila –S 2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j  daripada –S 1 (|S 2 | << |S 1 |), maka solusi pendekatan -S 1 diabaikan. Pengaruh -S 1 pada respons lebh kecil, karena komponen yang mengandung S 1 lebih cepat menghilang. Bila salah satu komponen eksponensial hilang, respons sama dengan sistem orde pertama, dan

C(s) ζ 2 

-  n ζ –1 S 2

R(s) S + ζ 2 

-  n ζ –1 S+S 2

C(s) = ζ 2 

c(t) = 1  – (t  0)

Gambar 5 Kurva r espon ζ = 2 ,  n = 1 (Kasus Overdamped)

Gambar 6 Kurva respon Tangga satuan

O ζ = 0,5 – 0,8 lebih cepat mencapai steady state daripada sistem overdamped atau critically damped

O Sistem tanpa osilasi, sistem critically damped memiliki respons paling cepat

O Harga ζ sama, tetapi harga  n berbeda akan berkelakuan overshoot dan pola osilasi yang sama

4.3 Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih / Respon Transien

1. Delay time (t d )

2. Rise time (t r )

3. Peak time (t p )

4. Maximum overshoot (M p )

5. Settling time (t s )

Gambar 7 Kurva respon Tangga satuan

Delay time (t d ) : waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah dari nilai akhir pada waktu pertama kali

Rise time (t r ) : waktu yang diperlukan untuk naik dari 10 – 90%, 5 – 55%, atau 0 – 100% dari nilai akhirnya. Untuk sistem underdamped : 0 – 100% Untuk sistem overdamped : 10 – 90%

Peak time (t p ) : waktu yang diperlukan untuk mencapai peak pertama dari overshoot.

Maximum overshoot (M p ,%) : nilai puncak (peak) maksimum dari kurva respons yang

diukur dari satu.

Maximum per cent overshoot = c(tp) – c(~) x 100% c(~)

Settling time : waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tetap di dalam sebuah range nilai akhir yang ditetapkan oleh persentase absolut dari nilai akhir (biasanya 5% atau 2%).

 Diinginkan respon transien : - cukup cepat

- cukup memiliki redaman

(aplikasi : osilasi tidak dapat ditoleransi)

 Respon transien yang diinginkan dari sistem orde kedua : faktor redaman : antara 0,4 dan 0,8

Mendapatkan nilai dari t r ,t p ,M p , dan t s

a. Rise Time (t r ):

c(t) = 1 –e -ζn t ( cos  d t + ζ sin  d t)

t=t r  c(t r ) = 1, maka: r ) = 1 –e c(t -ζn tr ( cos  d t r + ζ sin  d t r )

karena e -ζn tr  0 maka :

Jω

Gambar 8 Definisi Sudut 

atau

tan  d t r = tan  d t r =

1  1  d  π  β tan 

Jadi,

Gambar 9 Pole-pole kompleks

ζ = cos 

Gambar 10 Garis-Garis Faktor Redaman Konstan

b. Peak Time (t p ):

dc = (sin  d t p )

 n e -ζn tp = 0

c. Maximum Overshoot (Mp) :

M p = c(t p ) –1

=-e -ζn(/d) (cos  + ζ sin )

2 1–ζ

-( = e  / d)

-( Maximum Overshoot (%) = e  / d) x 100%

d. Settling Time :

e -ζnt

c(t) = 1 - 2 sin ( 

Kurva-kurva 1 (e -ζnt

/ 1-ζ 2 ) :

Menutupi kurva respons transient untuk sebuah input unit-step.

 Time constant (T) dari kurva-kurva tersebut adalah 1  n ζ

Gambar 11 Kurva Respon Transien Input Unit Step

Gambar 12 Kurva Settling Time T s Vs Ζ

 untuk 0 < ζ < 0,9 : t s = 4T =  =  n

(band toleransi 2%)

s = 3T = t   n

(band toleransi 5%)

 untuk nilai ζ lebih besar, t s meningkat hampir linier; dan nilai ζmin = 0,76 ( untuk 2%) atau ζmin = 0,68 (untuk 5%) o Nilai ζ biasanya ditentukan dari syarat maksimum overshoot yang diijinkan. Sedangkan settling time (t s ) ditentukan terutama oleh undamped natural frequency (  n ).

o Hal ini berarti, durasi periode transient dapat tanpa mengubah overshoot maksi-mum, yaitu dengan mengatur  n. o Untuk mendapatkan respons yang cepat :  n harus besar. Untuk membatasi overshoot maksimum (M p ) dan membuat t s kecil : ζ

seharusnya tidak terlalu kecil.

o Faktor redaman di antara 0,4 dan 0,8, maka overshoot maksimum (%) untuk step respons adalah di antara 25% dan 2,5%.

Gambar 13 Kurva M p versus 

Contoh Soal :

R(s) E(s)

ω 2 C(s)

Sistem orde ke dua memiliki harga :  = o,6 dan  n = 5 rad/sec. Apabila sistem diberikan input unit step, carilah rise time (t r ), peak time (t p ), maksimum overshoot (M p ), dan settling time (t s )!

Penyelesaian:

=4  =. n = 0,6 . 5 = 3 x  β

Rise time (t r ) Rise time (t r )

-1 = tan (4 / 3) = 0,93 rad

Peak Time (t p )= d = 4 sec  (  /  ) π

Maximum Overshoot (M p )= e d  (3/4)x3,14

e = = 0,095

= 0,095 x 100% = 95 %

1,33

Setting time (T s )= σ 3 sec (u/ kriteria 2%)

 = 3 sec (untuk kriteria 5%)

MODUL V ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK & KEPEKAAN

Kita telah mempelajari analisis waktu alih (respon transien) pada modul sebelumnya. Pada modul ini ini akan diuraikan mengenai analisis sistem kendali selanjutnya yaitu analisis galat keadaan tunak (steady state) dan analisis kepekaan.

5. 1 Analisis Galat Keadaan Tunak

Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak untuk jenis input tertentu. Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step, mungkin memiliki galat untuk input ramp. Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka) sistem yang bersangkutan.

Sistem kendali dapat dikelompokkan terhadap kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola,dst. Input sebenarnya pada sistem seringkali merupakan kombinasi input-input tersebut. ฀Besarnya galat terhadap setiap jenis input tersebut merupakan indikator kebaikan (goodness) sistem tersebut.

Bentuk umum fungsi alih loop terbuka:

Ada N buah pole loop terbuka di titik asal pada bidang s. Sistem diatas disebut bertipe N ( N=0, 1, 2 ). Tipe sistem berbeda dengan orde sistem ! Bila tipe sistem bertambah, maka ketelitiannya meningkat pula. Kenaikan tipe sistem akan menimbulkan masalah kestabilan sehingga perlu kompromi antara kestabilan dan ketelitian keadaan tunak. Tipe maksimum sistem umumnya 2.

- Galat Keadaan Tunak

Fungsi alih loop tertutup :

dan :

Diperoleh :

Galat keadaan tunak:

Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat statik. Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya. Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan, percepatan, dst. Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu, dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap waktu.

- Konstanta Galat Statik

Konstanta galat posisi statik:

Sehingga galat keadaan tunak :

Untuk sistem tipe 0:

Untuk sistem tipe 1 atau lebih:

- Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Step:

untuk sistem tipe 0

untuk sistem tipe 1

- Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Ramp:

Konstanta galat kecepatan statik :

Sehingga galat keadaan tunak :

Untuk sistem tipe 0 :

Untuk sistem tipe 1 :

Untuk sistem tipe 2 atau lebih :

untuk sistem tipe 0

untuk sistem tipe 1

untuk sistem tipe 2 atau lebih

Pengertian galat kecepatan pada K v menunjukkan galat posisi untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan. Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada

keadaan tunak. Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak. Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp.

- Input unit parabola/akselerasi:

Galat keadaan tunaknya:

Konstanta galat percepatan statik:

Sehingga galat keadaan tunak :

- Konstanta Galat Percepatan Statik :

Untuk sistem tipe 0

Untuk sistem tipe 1

Untuk sistem tipe 2

Untuk sistem tipe 3 atau lebih tinggi

Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola: untuk sistem tipe 0 dan tipe 1

untuk sistem tipe 2

untuk sistem tipe 3 atau lebih

Pengertian galat percepatan pada K a menunjukkan galat posisi untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan. Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola pada keadaan tunak. Sistem tipe 2 mampu mengikuti input parabola, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak.

- Hubungan antara Integral Galat pada Input Step dan Galat Keadaan Tunak pada Tanggapan Ramp

Definisikan:

Maka:

Ingat:

Sehingga:

Untuk input unit step:

Dengan demikian :

Dengan : e(t) = galat untuk tanggapan unit step

e ssr = galat keadaan tunak untuk tanggapan unit ramp

Bila e ssr = 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali. Hal ini menunjukkan bahwa sistem dengan K v =  akan muncul minimal sekali overshoot bila diberi input step.

5.2 Analisis Kepekaan

Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen penyusunannya merupakan ukuran ketergantungan karakteristiknya terhadap komponen tersebut.

Dengan :

Definisi kepekaan lain :

Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s) yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s). Definisi di atas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil. Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi. Sistem ideal memiliki kepekaan nol terhadap setiap parameter. Pandang sistem kendali sbb:

Fungsi alih loop tertutup:

Dengan : K 1 : fungsi alih transducer input K 2 : fungsi alih tranducer balikan

G(s): gabungan fungsi alih amplifier, rangkaian stabilisator, motor dan roda gigi pada lintasan maju.

- Kepekaan Sistem terhadap K 1 :

dengan:

Sehingga:

Setiap perubahan karakteristik pada K 1 langsung berpengaruh pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. Elemen yang digunakan untuk K 1 harus memiliki karakteristik presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.

- Kepekaan Sistem terhadap K 2 :

Dengan

Sehingga

Untuk nilai frekuensi dengan K 2 G(s)>>1, maka:

Setiap perubahan karaktersitik pada K 2 langsung berpengaruh pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. Elemen yang digunakan untuk K 2 harus memiliki Setiap perubahan karaktersitik pada K 2 langsung berpengaruh pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. Elemen yang digunakan untuk K 2 harus memiliki

- Kepekaan Sistem terhadap G(s):

dengan:

Sehingga

Agar kepekaan sistem terhadap komponen G(s) kecil, perlu dirancang agar K 2 G(s) sebesar-besarnya, tetapi tak perlu presisi. Kepekaan sistem tergantung pada frekuensi, sehingga sistem peka atau tidak terhadap G(s) hanya pada cakupan frekuensi tertentu saja.

MODUL VI ANALISIS KESTABILAN

Pada modul ini ini akan diuraikan mengenai analisis kestabilan suatu sistem kendali. Kestabilan merupakan hal terpenting dalam sistem kendali linear. Kita akan mempelajari pada kondisi apa sistem menjadi tak stabil, dan bagaimana cara menstabilkannya.

6.1 Pole-Zero Untuk mempermudah analisa respons suatu sistem digunakan Pole – Zero.

- Pole :

 Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function tak hingga  Akar persamaan dari penyebut (denominator) transfer function sistem.

- Zero :  Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function nol  Akar persamaan dari pembilang (numerator) transfer function sistem.

Perhatikan gambar 1 di bawahi ini.

Gambar 1 Penggambaran Pole- Zero di bidang S

6.2 Definisi Kestabilan

Total respon output sistem :

c ( t )  c forced ( t )  c natural ( t )

Definisi kestabilan (berdasar natural response):  Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga.  Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga.  Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur. Definisi kestabilan (berdasar total response/BIBO):  Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang terbatas juga.  Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang tidak terbatas.

6.3 Bagaimana Mentukan Sistem Stabil atau Tidak Stabil

Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( ) menghasilkan :  at e  Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau  Respon sinusoidal yang teredam

Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga dengan demikian sistem stabil.

Dengan demikian penentuan kestabilan sistem adalah sebagai berikut:  Sistem yang stabil hanya mempunyai pole-pole sistem close loop di sebelah kiri bidang s.  Sistem yang tidak stabil mempunyai pole-pole sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 pole-pole di sumbu imajiner.  Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan pole- pole di sebelah kiri.

Gambar 2 a dan b memberikan contoh gambaran sistem stabil dan tidak stabil.

Gambar 2 Contoh analisis kestabilan dari letak pole sistem (a) sistem stabil (b) sistem tidak stabil

Contoh lain :

Sistem di atas stabil atau tidak ?

Penyelesaian :

C(s)

10/s(s  2)

R(s) 1  10/s(s  2)

 10

s ( s  2 )  10  10

2 s  2 s  10

b 2 4 ac  b 

karena pole-pole terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, maka sistem stabil.

6.4 Analisis Kestabilan Routh Hurwitz

Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk :

0 s  b 1 s  ...  b m  1 s  b m B ( s )

R ( s ) a 0 s  a 1 s  ...  a n  1 s  a n A ( s ) Hal pertama yang dilakukan untuk menganalisis suatu sistem adalah dengan cara

memfaktorkan A(s) dengan A(s) adalah sebuah persamaan karakteristik.

Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan kriteria kestabilan Routh. Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, dapat diketahui jumlah pole loop tertutup yang terletak didaerah tak stabil tanpa perlu mencari solusi persamaan karakteristik A(s). Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut.

6.4.1 Prosedur Kriteria Kestabilan Routh

Berikut ini adalah prosedur analisis kestabilan Routh Hurwitz

1. Tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial s:

0 s  a 1 s  ...  a n  1 s  a n  0

2. Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif. Jika tidak, sistem tidak stabil.

3. Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom dengan pola:

dengan

4. Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap. Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga. Kriteria kestabilan Routh : banyaknya akar tak stabil = banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh.

5. Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil (memenuhi kriteria kestabilan Routh) - Koefisien persamaan karakteristik semua positif (jika semua negatif

maka masing masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif).

- Semua suku kolom pertama pada tabel Routh mempunyai tanda positif.

Jika ada nilai nol lihat pada bagian “kondisi khusus”.

Contoh 1:

Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk :

Dengan semua koefisien positif. Susunan koefisien menjadi

Syarat agar semua akar mempunyai bagian real negatif diberikan :

Contoh 2:

Perhatikan polinomial berikut :

Ikuti prosedur untuk membuat susunan koefisien.

3 s 3 2 4 0 s 2 4 0 Baris ke dua dibagi dengan 2

Pada kolom 1, terjadi dua kali perubahan tanda. Ini berarti ada dua akar positif dan sistem tidak stabil.

6.4.2 Keadaan Khusus Kriteria Kestabilan Routh

Ada beberapa kasus khusus pada kriteria kestabilan Routh.

Kasus 1 :

Bila ada suku pada kolom pertama bernilai 0 dengan suku-suku lain tidak 0 atau tak ada lagi suku tersisa, maka suku 0 diganti dengan bilangan positif sangat kecil ε, dan baris berikutnya dihitung.

Contoh 3 :

3 2 s + 2s +s+2=0 Susunan koefisiennya :

Bila tanda koefisiennya sama, berarti terdapat pasangan akar imajiner pada sistem.

Pada persamaan di atas ada akar di  j

Bila tanda koefisien ( ε) berlawanan, berarti ada akar positif persamaan karakteristik.

Contoh 4:

3 2 s – 3 s + 2 = (s – 1) (s + 2) = 0

Susunan koefisiennya adalah

3 s 1 -3

2 berubah tanda s

1 berubah tanda s

Terdapat dua perubahan tanda koefisien di kolom pertama, berarti ada dua akar positif di pers. karakteristik. Sesuai dengan persamaan awalnya  sistem tidak stabil

Kasus 2:

Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukkan

akar – akar besaran yang sama tapi letaknya berlawanan (berbeda tanda/akar

real/akar imajiner sekawan). Penyelesaian : menggantinya dengan turunan suku banyak pembantu  P(s) P(s) berasal dari suku pada baris sebelumnya.

Contoh 5:

5 4 3 2 s + 2s + 24s + 48s – 25s – 50 = 0

Susunan koefisiennya adalah

5 s 1 24 -25

4 s 2 48 -50

 Suku banyak pembantu P(s)

4 P(s) = 2s 2 + 48s – 500 dP(s)/ds = 8s 3 + 96s

Sehingga susunan koefisiennya:

5 s 1 24 -25

4 s 2 48 -50

3 s 8 96  Koefisien dari dP(s)/ds

Ada satu perubahan tanda, berarti ada satu akar positif. Sistem tidak stabil.

6.4.3 Aplikasi Kriteria Kestabilan Routh untuk Analisis Sistem Kontrol

Kriteria Routh tak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil. Tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil.

Contoh 6:

Tinjau sistem berikut. Tentukan range K agar sistem diatas stabil !

Fungsi alih loop tertutup: Persamaan karakteristik:

R 2 ( s ) s ( s  s  1 )( s  2 )  K

Susunan koefisien

Untuk kestabilan, K harus positif dan semua koefisien pada kolom pertama harus positif. Oleh karena itu, 14/9 > K > 0.

MODUL VII CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Dari sistem kemudi mobil di bawah ini berilah penjelasan mengenai jenis dan parameter sistem tersebut dan gambarkan model diagram blok serta tentukan fungsi alihnya !

Penyelesaian:

a. Jenis Sistem Pengaturan Umpan Balik.

b. Parameter-parameter Sistem

1) Input adalah Arah yang Diinginkan.

2) Output adalah Arah Sebenarnya.

3) Lintasan Maju adalah Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Mobil.

4) Lintasan Balik adalah Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Sensor Kemudi Roda dan Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Mobil – Pengukuran Visual.

c. Blok Diagram Ekivalen ada 2 (dua) alternatif :

Alternatif I

Alternatif II

d. Fungsi Transfer-nya adalah (sesuai urutan gambar di atas)

atau

2. Buatlah penjelasan parameter sistem dan gambarkan model diagram blok sistem Boiler-Generator untuk pembangkit daya listrik berikut ini !

Penyelesaian: Parameter Sistem tersebut adal sebagai berikut:

a. Input adalah :

1) Desired temperature generation, R 1 (s).

2) Desired O2 generation, R 2 (s).

3) Desired pressure generation, R 3 (s).

b. Proses adalah Boiling pada Boiler, G(s) .

c. Output adalah Actual generation (electricity), C(s) .

d. Feedback adalah :

1) Measured temperature generation, H 1 (s) .

2) Measured O2 generation, H 2 (s) .

3) Measured pressure generation, H 3 (s).

e. Disturbances diabaikan.

Jika digambarkan ulang (disederhanakan) maka akan seperti :

Model Blok Diagram Sistem Boiler-Generator di atas adalah :

2. Tentukan fungsi alih dari rangkaian seri R dengan paralel RC di bawah ini !

Penyelesaian :

Fungsi alih (transfer) adalah perbandingan antara output dan input suatu sistem.

Analisa KCL

Dalam bentuk Laplace

Maka

Bila maka

3. Tentukan fungsi alih dari rangkaian Rangkaian Seri R, L dan C dengan V R !

Penyelesaian : Fungsi alih (transfer) adalah perbandingan antara output dan input suatu sistem.

Analisa KVL

Bila maka dan

sehingga hanya ada pole tunggal pada s= - 1.

4. Tinjau sistem yang didefinisikan dengan persamaan ruang keadaan (state-space) berikut

Tentukan fungsi alih G(s) untuk sistem di atas !

Penyelesaian :

Fungsi alih sistem dapat diperoleh dari perumusan sebagai berikut (perhatikan dalam hal ini D =0)

5. Sederhanakan diagram blok sistem kendali di bawah ini !

Langkah 1 – Pindahkan simpul Umpan Balik H 2 setelah Blok Sistem G 4

Langkah 2 – Gabungkan Blok Sistem G3 dengan G4

Langkah 3 – Sederhanakan Blok Sistem G 3 G 4 dengan Umpan Balik H 1 berdasarkan rumus Langkah 4 – Gabungkan Blok Sistem G2 dengan Blok Sistem hasil dari Langkah 3

H 2 Langkah 5 – Sederhanakan Blok Sistem hasil Langkah 4 dengan Umpan Balik G 4 H 2 Langkah 5 – Sederhanakan Blok Sistem hasil Langkah 4 dengan Umpan Balik G 4

Langkah 6 – Gabungkan Blok Sistem G1 dengan Blok Sistem hasil dari Langkah 5

Misalkan maka

dan akhirnya

Fungsi Transfer Sistem Kendali di atas adalah :