Lecture 4 Transformasi Laplace
Differential Equation
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 4: Transformasi Laplace
Penyelesaian Masalah Syarat Awal dengan Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
syarat awal dengan memperhatikan sifat transformasi Laplace untuk
derivatif, yaitu
(a)
L {f ' ( t ) }
(b)
¿ sL { f ( t ) } −f (0)
¿ sF ( s )−f (0)
L {f ( t ) } =sn F ( s )−s n−1 f ( 0 )−sn−2 f ' ( 0 )−s n−3 f ' ' ( 0 )−…
−s f (n−2 ) ( 0 ) −f ( n−1) (0)
( n)
Perhatikan masalah syarat awal (initialvalue problem) berikut:
dn y
d n−1 y
dy
(
)
+a
t
+…+ a1 ( t ) +a 0 ( t ) y =f (t) (1)
n−1
n
n−1
dt
dt
dt
'
y ( 0 )= y 0 , y ( 0 )= y 1 , … , y (n−1 ) ( 0 ) = y n−1
an ( t )
Penyelesaian masalah syarat awal (1) dilakukan dengan langkahlang
kah berikut:
1.
Ambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (1). De
ngan mengambil L { y }=Y (s) sebagai transformasi Laplace dari
y .
2.
3.
Gunakan sifat linear transformasi Laplace dan syarat awal yang
diberikan untuk memperoleh persamaan L{ y } dalam perubah
s .
Ambil kebalikan transformasi Laplace untuk mendapatkan penye
lesaian y .
Contoh 1. Selesaikan masalah syarat awal
y ' + 3 y =1 , y ( 0 )=2 .
Penyelesaian:
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas, diperoleh
L { y ' +3 y } =L{1 }
↔ L { y ' } +3 L { y }=L{1}
↔ sL { y }− y ( 0 ) +3 L { y }=
↔ ( s+3 ) L { y }=2+
1
s
1
s
Differential Equation
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
2
1
+
s +3 s (s +3)
2
A B
+ +
↔ L { y }=
s +3 s s +3
2 1/3 −1/3
+
+
↔ L { y }=Y ( s)=
s+3 s
s+3
↔ L { y }=
Penyelesaian masalah syarat awal adalah y yang dapat ditentukan
dengan mengambil kebalikan transformasi Laplace, diperoleh
{ s +32 + 1/3s +−1/3
s+ 3 }
{ s+31 }+ 13 L {1s }− 13 L { s+31 }
y=L−1 { Y ( s ) }=L−1
¿ 2 L
−1
−1
−1
1 1
+ − e−3 t
3 3
5 −3t 1
¿ e +
3
3
−3 t
¿ 2 e
Contoh 2. Selesaikan masalah syarat awal
'
y ' ' −3 y ' +2 y=4 e 2t , y ( 0 )=−3 , y ( 0 )=5 .
Penyelesaian:
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas, diperoleh
L { y ' ' −3 y ' +2 y }=L { 4 e2 t }
↔ L { y ' ' }−3 L { y' } +2 L { y }=4 L { e 2 t }
2
'
↔ [ s L { y }−sy ( 0 )− y ( 0 ) ]−3 [ sL { y }− y ( 0 ) ] +2 L { y }=
4
s−2
4
2
↔ s L { y }+3 s−5−3 sL { y }−9+2 L { y }=
s−2
4
↔ ( s 2−3 s +2 ) L { y } =
+14−3 s
s−2
4
14−3 s
↔ L { y }= 2
+ 2
( s −3 s+2 ) (s−2) s −3 s+2
4
14−3 s
↔ L { y }=
+
2
( s−1 )( s−2 ) ( s−1 ) ( s−2)
2
↔ [ s L { y }+ 3 s−5 ]−3 [ sL { y }+ 3 ] +2 L { y }=
2
↔ L { y }=
−3 s +20 s−24
( s−1 ) ( s−2 )2
4
s−2
Differential Equation
↔ L { y }=
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
A
B
C
+
+
s−1 s−2 ( s−2 )2
↔ L { y }=Y (s)=
−7
4
4
+
+
s−1 s−2 ( s−2 )2
Penyelesaian masalah syarat awal adalah y yang dapat ditentukan
dengan mengambil kebalikan transformasi Laplace, diperoleh
y=L−1 { Y ( s ) }=L−1
¿−7 L
−1
{
−7
4
4
+
+
s−1 s−2 ( s−2 )2
}
{ s−11 }+4 L { s−21 }+4 L {( s−21 ) }
−1
−1
2
¿−7 et +4 e2 t + 4 t e2 t
Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
dx
=2 x−3 y
dt
dy
= y−2 x
dt
dengan x ( 0 )=8 , y ( 0 )=3 .
Penyelesaian:
Ambil transformasi Laplace untuk masingmasing persamaan diperoleh
{ dxdt =2 x−3 y }
dy
L { = y−2 x }
dt
L
menghasilkan sL { x }−8=2 L { x }−3 L { y }
menghasilkan sL { y } −3=L { y }−2 L{ x }
Diperoleh sistem persamaan dalam L{ x } dan L{ y } ,
( s−2 ) L { x }+3 L { y }=8
2 L { x } + ( s−1 ) L { y }=3
yang mempunyai penyelesaian
|
|
|
A=
|
s−2
3 =s 2−3 s−4=( s +1 ) ( s−4 )
2
s−1
|
|
3 =8 s−17
A 1= 8
3 s−1
s−2 8 =3 s−22
2
3
A1
8 s−17
5
3
L { x }= X (s)= =
=
+
A ( s+1 )(s−4) s+1 s−4
A 2=
Differential Equation
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
L { y }=Y (s)=
A2
3 s−22
5
2
=
=
−
A ( s+1 )(s−4) s+1 s−4
Jadi penyelesaiannya
−1
x=L
{ X (s ) }=L−1
{ s +15 + s−43 }=5 L { s+11 }+3 L { s−41 }=5 e
−1
−1
−t
+3 e
4t
−1
−1
y=L { Y (s ) }=L
{ s +15 − s−42 }=5 L {s +11 }+3 L { s−41 }=5 e −2 e
−1
−1
−t
4t
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
d 2 x dy
+ + 3 x =15 e−t
2
d t dt
2
d y
dx
−4 +3 y=15 sin 2t
2
dt
dt
dengan x ( 0 )=35 , x ' ( 0 ) =−48 , y ( 0 )=27 , y ' ( 0 )=−55 .
Penyelesaian:
Ambil transformasi Laplace untuk masingmasing persamaan diperoleh
L
L
{
{
2
}
d x dy
+ +3 x =L { 15 e−t }
2
d t dt
}
d2 y
dx
−4 +3 y =L { 15 sin 2t }
2
dt
dt
menghasilkan
s 2 L { x }−35 s− (−48 ) +sL { y }−27+3 L { x }=
15
s+1
30
.
s +4
Diperoleh sistem persamaan dalam L{ x } dan L{ y } .
( s2 +3 ) L { x } + sL { y }=35 s−21+ 15
s +1
30
−4 sL { x } + ( s2 +3 ) L { y }=27 s−195+ 2
,
s +4
2
s L { y }−27 s−(−55 )−4 [ sL { x }−35 ] +3 L { y }=
yang mempunyai penyelesaian
s
(¿¿ 2+ 1)( s2 +9)
|
|
s 2+ 3
s
A=
=¿
2
−4 s +3
2
Differential Equation
|
|
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
15
s+ 1
A 1=
30
27 s−195+ 2
s +4
35 s−21+
s 2+3
A 2=
−4
s
15
s+1
30
27 s−195+ 2
s +4
35 s−21+
L { x }= X ( s ) =
|
|
s 2+ 3
A1
A
s
s
s
2
(s + 4)(¿ ¿ 2+ 1)( s2 +9)
(s +1)(¿¿ 2+1)( s 2+9)− 30 s
¿
2
15(s
+
3)
(¿¿ 2+1)(s 2 +9)+
¿
35 s 3−48 s 2+300 s−63
¿
¿
30
45
3
25
+
+ 2
¿ 2 − 2
s+1
s +1 s +9
s +4
A
L { y }=Y (s)= 2
A
s
s
s
( s2 +4 )(¿¿ 2+1)(s 2+ 9)
30(s2 +3)
(s +1)(¿¿ 2+1)( s 2+ 9)+
¿
60 s
2
(¿¿ 2+1)(s + 9)+
¿
3
2
27 s −55 s −3 s−585
¿
¿
30 s
60
3
2
+ 2
¿ 2 − 2 −
s + 9 s +1 s +1 s +4
Jadi penyelesaiannya
−1
x=L
{ X ( s ) }=L−1
{
30
45
3
25
− 2 +
+ 2
2
s + 1 s +9 s +1 s +4
}
¿ 30 cos t−15 sin 3t +3 e−t +2 cos 2 t
Differential Equation
y=L
−1
{ Y ( s ) }=L−1
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
{
30 s
60
3
2
− 2 −
+ 2
2
s + 9 s + 1 s+1 s + 4
}
¿ 30 cos 3 t−60 sin t−3 e−t + sin 2t
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 4: Transformasi Laplace
Penyelesaian Masalah Syarat Awal dengan Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
syarat awal dengan memperhatikan sifat transformasi Laplace untuk
derivatif, yaitu
(a)
L {f ' ( t ) }
(b)
¿ sL { f ( t ) } −f (0)
¿ sF ( s )−f (0)
L {f ( t ) } =sn F ( s )−s n−1 f ( 0 )−sn−2 f ' ( 0 )−s n−3 f ' ' ( 0 )−…
−s f (n−2 ) ( 0 ) −f ( n−1) (0)
( n)
Perhatikan masalah syarat awal (initialvalue problem) berikut:
dn y
d n−1 y
dy
(
)
+a
t
+…+ a1 ( t ) +a 0 ( t ) y =f (t) (1)
n−1
n
n−1
dt
dt
dt
'
y ( 0 )= y 0 , y ( 0 )= y 1 , … , y (n−1 ) ( 0 ) = y n−1
an ( t )
Penyelesaian masalah syarat awal (1) dilakukan dengan langkahlang
kah berikut:
1.
Ambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (1). De
ngan mengambil L { y }=Y (s) sebagai transformasi Laplace dari
y .
2.
3.
Gunakan sifat linear transformasi Laplace dan syarat awal yang
diberikan untuk memperoleh persamaan L{ y } dalam perubah
s .
Ambil kebalikan transformasi Laplace untuk mendapatkan penye
lesaian y .
Contoh 1. Selesaikan masalah syarat awal
y ' + 3 y =1 , y ( 0 )=2 .
Penyelesaian:
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas, diperoleh
L { y ' +3 y } =L{1 }
↔ L { y ' } +3 L { y }=L{1}
↔ sL { y }− y ( 0 ) +3 L { y }=
↔ ( s+3 ) L { y }=2+
1
s
1
s
Differential Equation
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
2
1
+
s +3 s (s +3)
2
A B
+ +
↔ L { y }=
s +3 s s +3
2 1/3 −1/3
+
+
↔ L { y }=Y ( s)=
s+3 s
s+3
↔ L { y }=
Penyelesaian masalah syarat awal adalah y yang dapat ditentukan
dengan mengambil kebalikan transformasi Laplace, diperoleh
{ s +32 + 1/3s +−1/3
s+ 3 }
{ s+31 }+ 13 L {1s }− 13 L { s+31 }
y=L−1 { Y ( s ) }=L−1
¿ 2 L
−1
−1
−1
1 1
+ − e−3 t
3 3
5 −3t 1
¿ e +
3
3
−3 t
¿ 2 e
Contoh 2. Selesaikan masalah syarat awal
'
y ' ' −3 y ' +2 y=4 e 2t , y ( 0 )=−3 , y ( 0 )=5 .
Penyelesaian:
Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas, diperoleh
L { y ' ' −3 y ' +2 y }=L { 4 e2 t }
↔ L { y ' ' }−3 L { y' } +2 L { y }=4 L { e 2 t }
2
'
↔ [ s L { y }−sy ( 0 )− y ( 0 ) ]−3 [ sL { y }− y ( 0 ) ] +2 L { y }=
4
s−2
4
2
↔ s L { y }+3 s−5−3 sL { y }−9+2 L { y }=
s−2
4
↔ ( s 2−3 s +2 ) L { y } =
+14−3 s
s−2
4
14−3 s
↔ L { y }= 2
+ 2
( s −3 s+2 ) (s−2) s −3 s+2
4
14−3 s
↔ L { y }=
+
2
( s−1 )( s−2 ) ( s−1 ) ( s−2)
2
↔ [ s L { y }+ 3 s−5 ]−3 [ sL { y }+ 3 ] +2 L { y }=
2
↔ L { y }=
−3 s +20 s−24
( s−1 ) ( s−2 )2
4
s−2
Differential Equation
↔ L { y }=
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
A
B
C
+
+
s−1 s−2 ( s−2 )2
↔ L { y }=Y (s)=
−7
4
4
+
+
s−1 s−2 ( s−2 )2
Penyelesaian masalah syarat awal adalah y yang dapat ditentukan
dengan mengambil kebalikan transformasi Laplace, diperoleh
y=L−1 { Y ( s ) }=L−1
¿−7 L
−1
{
−7
4
4
+
+
s−1 s−2 ( s−2 )2
}
{ s−11 }+4 L { s−21 }+4 L {( s−21 ) }
−1
−1
2
¿−7 et +4 e2 t + 4 t e2 t
Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
dx
=2 x−3 y
dt
dy
= y−2 x
dt
dengan x ( 0 )=8 , y ( 0 )=3 .
Penyelesaian:
Ambil transformasi Laplace untuk masingmasing persamaan diperoleh
{ dxdt =2 x−3 y }
dy
L { = y−2 x }
dt
L
menghasilkan sL { x }−8=2 L { x }−3 L { y }
menghasilkan sL { y } −3=L { y }−2 L{ x }
Diperoleh sistem persamaan dalam L{ x } dan L{ y } ,
( s−2 ) L { x }+3 L { y }=8
2 L { x } + ( s−1 ) L { y }=3
yang mempunyai penyelesaian
|
|
|
A=
|
s−2
3 =s 2−3 s−4=( s +1 ) ( s−4 )
2
s−1
|
|
3 =8 s−17
A 1= 8
3 s−1
s−2 8 =3 s−22
2
3
A1
8 s−17
5
3
L { x }= X (s)= =
=
+
A ( s+1 )(s−4) s+1 s−4
A 2=
Differential Equation
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
L { y }=Y (s)=
A2
3 s−22
5
2
=
=
−
A ( s+1 )(s−4) s+1 s−4
Jadi penyelesaiannya
−1
x=L
{ X (s ) }=L−1
{ s +15 + s−43 }=5 L { s+11 }+3 L { s−41 }=5 e
−1
−1
−t
+3 e
4t
−1
−1
y=L { Y (s ) }=L
{ s +15 − s−42 }=5 L {s +11 }+3 L { s−41 }=5 e −2 e
−1
−1
−t
4t
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
d 2 x dy
+ + 3 x =15 e−t
2
d t dt
2
d y
dx
−4 +3 y=15 sin 2t
2
dt
dt
dengan x ( 0 )=35 , x ' ( 0 ) =−48 , y ( 0 )=27 , y ' ( 0 )=−55 .
Penyelesaian:
Ambil transformasi Laplace untuk masingmasing persamaan diperoleh
L
L
{
{
2
}
d x dy
+ +3 x =L { 15 e−t }
2
d t dt
}
d2 y
dx
−4 +3 y =L { 15 sin 2t }
2
dt
dt
menghasilkan
s 2 L { x }−35 s− (−48 ) +sL { y }−27+3 L { x }=
15
s+1
30
.
s +4
Diperoleh sistem persamaan dalam L{ x } dan L{ y } .
( s2 +3 ) L { x } + sL { y }=35 s−21+ 15
s +1
30
−4 sL { x } + ( s2 +3 ) L { y }=27 s−195+ 2
,
s +4
2
s L { y }−27 s−(−55 )−4 [ sL { x }−35 ] +3 L { y }=
yang mempunyai penyelesaian
s
(¿¿ 2+ 1)( s2 +9)
|
|
s 2+ 3
s
A=
=¿
2
−4 s +3
2
Differential Equation
|
|
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
15
s+ 1
A 1=
30
27 s−195+ 2
s +4
35 s−21+
s 2+3
A 2=
−4
s
15
s+1
30
27 s−195+ 2
s +4
35 s−21+
L { x }= X ( s ) =
|
|
s 2+ 3
A1
A
s
s
s
2
(s + 4)(¿ ¿ 2+ 1)( s2 +9)
(s +1)(¿¿ 2+1)( s 2+9)− 30 s
¿
2
15(s
+
3)
(¿¿ 2+1)(s 2 +9)+
¿
35 s 3−48 s 2+300 s−63
¿
¿
30
45
3
25
+
+ 2
¿ 2 − 2
s+1
s +1 s +9
s +4
A
L { y }=Y (s)= 2
A
s
s
s
( s2 +4 )(¿¿ 2+1)(s 2+ 9)
30(s2 +3)
(s +1)(¿¿ 2+1)( s 2+ 9)+
¿
60 s
2
(¿¿ 2+1)(s + 9)+
¿
3
2
27 s −55 s −3 s−585
¿
¿
30 s
60
3
2
+ 2
¿ 2 − 2 −
s + 9 s +1 s +1 s +4
Jadi penyelesaiannya
−1
x=L
{ X ( s ) }=L−1
{
30
45
3
25
− 2 +
+ 2
2
s + 1 s +9 s +1 s +4
}
¿ 30 cos t−15 sin 3t +3 e−t +2 cos 2 t
Differential Equation
y=L
−1
{ Y ( s ) }=L−1
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPAUNS
{
30 s
60
3
2
− 2 −
+ 2
2
s + 9 s + 1 s+1 s + 4
}
¿ 30 cos 3 t−60 sin t−3 e−t + sin 2t