TRANSFORMASI LAPLACE

TRANSFORMASI LAPLACE
Oleh Dessy Irmawati

Transformasi Laplace
A. Mendefinisikan transformasi laplace
B. Menentukan fungsi dasar transformasi laplace
menggunakan definisi
C. Menentukan pernyataan tertentu transformasi
laplace menggunakan theorema
D. Menentukan transformasi laplace dari fungsi tertentu
E. Menentukan inverse transformasi laplace
menggunakan formula
F. Menentukan inverse transformasi laplace dari
pernyataan tertentu dan grafik

G. Menentukan inverse transformasi laplace
menggunakan fraksi parsial dan teorema
konvolusi
H. Menggunakan transformasi laplace untuk
menyelesaikan masalah nilai awal dan
masalah nilai batas

Pendahuluan
• Persamaan homogen
d2y
dy
a 2 b
 cy  0
dt
dt

• Persamaan nonhomogen
dy
d2y
a 2 b
 cy  f (t )
dt
dt

jika

f (t ) 



t , 0t 1
2t ,t 1

Definisi transformasi laplace
• Diberikan f t dengan batas 0,∞ . Maka
 st
e
 f (t )dt .......................................8.1



0

• Disebut transformasi laplace dari f(t).
Transformasi laplace disimbolkan oleh L{f(t)}
dimana L adalah operator

e




0

 st

f (t )dt  lim  e
T

T 

 st

f (t )dt

0

Jika limit ada maka integral 8.1 adalah fungsi s. Jadi integral
ditandai dengan F(s) yang dapat dituliskan sebagai berikut

L{f(t)}   e -st f (t )dt  F ( s )


0

Secara umum fungsi yang ditransformasikan
menggunakan huruf kecil, sedangkan
transformasi laplace nya dituliskan dengan huruf
besar.
L(f(t)}=F(s), L{g(t)}=G(s), dan L {y(t)}=Y(s)
L{ }
f(t)

F(s)

t domain

s domain

Fungsi dasar Transformasi laplace
• Temukan transformasi laplace dari f(t) = 1
Solusi
L{1}   e  st 1dt  lim  e  st dt


0

T

T 

0

1. Ketika s0. maka

e 

 1  sT 1 
 e  
lim e dt  lim 
  Tlim
  s
T  
T   s
s

0

0
T

 st

 st

yang mana divergen

T

2. Ketika s = 0, maka

lim  dt  lim t 0  lim T  
T

T 

0

T 

T

T 

3. Ketika s>0, -st negatif untuk t>0. maka
 st



e
 1  sT 1  1
 st
lim  e dt  lim 
lim

 e  

T  
T 
T   s
s s
 s

0
0
T

T

Temukan transformasi laplace dimana a adalah
konstanta dan n non negatif integer
(a) f(t) = a
(b) f(t) = t
(c) f(t) = tn
(d) f(t) = eat

solusi
(a)

 e  st 
a
 st
 st
L{a}   e adt  a  e dt  a 

,s  0

  s 0 s

0
0






oleh karena itu
(b)

a
L{a}  , s  0
s



 te  st 
1  st
1  e  st 

1
 st
L{t}   e tdt  
e
dt






2

s
s
s
s


s




0
0
0
0


L{t} 

1
,s  0
2
s



(c)


n  st


t
e
n
 st n 1

L{t n }   e  st t n dt  
e
t dt


s 0 s 0

0




n  st n 1
  e t dt
s0


 n  n 1
   L{t }
s

 n  n 1
L{t }    L{t }
s
n

 n  1  n2
L{t n 1 }  
 L{t },
s


 n  2  n 3
L{t n  2 }  
 L{t }
 s 
.
.
.

2
L{t }    L{t}
s
1
L{t}    L{1}
s
1
L{1} 
s
2

n
L{t n }n  1    L{t n 1 },
s
 n  n  1  n  2
  
 L{t }
 s  s 

 n  n  1  n  2  n -3
  

L{t }
 s  s  s 
.
.
.

 n! 
  n  L{1}
s 
 n!  1 
  n  
 s  s 
n!
 n 1
s

 n! 
L{t }   n 1 , n  0,1,2,...
s 
n

L{f(t)} = F(s)
f(t)

F(s)

Kondisi s

a

a/s

s>0

tn, n = 0,1,2,...

N!/sn+1

s>0

eat

1/(s-a)

s>a

Sin at

a/(s2+a2)

s>0

Cos at

s/(s2+a2)

s>0

Sinh at

a/(s2-a2)

s>|a|

Cosh at

s/s2-a2)

s>|a|

soal
1) Cari L{f(t)} untuk setiap f(t):
(a) f(t) = 2
(b) f(t) = e -2t
(c) f(t) = t
(d) f(t) = t3
(e) f(t) = cos 4t
(f) f(t) = sinh (2/3)t

2) Gunakan tabel sebelumnya untuk
menemukan transformasi laplace
(a) L{1/2}
(b) L{t2}
(c) L{e(1/2)t}
(d) L{cos t}
(e) L{sin 2t}
(f) L{cosh 3t}

a. f (t )  3t  4

3) Temukan transformasi laplace dari fungsi berikut:
b. f (t )  2 cos t

c. f(t) = cos2(t-)
d. f(t) = sin 3t cos 3t