Definisi 2.6
Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial tersebut.
Contoh 2.6
Persamaan 2.1 adalah persamaan diferensial biasa orde pertama karena tingkat tertinggi yang muncul adalah tingkat satu. Persamaan 2.2 adalah contoh
persamaan diferensial biasa orde dua karena tingkat turunan yang muncul adalah tingkat dua. Persamaan 2.3 dan 2.4 adalah persamaan diferensial parsial orde
dua karena tingkat tertinggi dari turunanparsial yang muncul adalah tingkat dua.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen beserta dengan contohnya.
Definisi 2.8
Misalkan adalah suatu matriks × . Skalar disebut sebagai suatu
nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol
̅, sehingga
̅ = ̅. Vektor ̅ disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang bersesuaian dengan nilai eigen
λ dari .
Contoh 2.8
Misalkan =
− dan
̅ = . Karena
̅ = −
= =
= ̅
maka dari persamaan ini dapat dilihat bahwa = adalah nilai eigen dari dan
̅ = merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan
= tersebut, seperti yang dijelaskan oleh Leon 2001.
Secara geometris, perkalian matriks dengan vektor
̅ memiliki kelipatan 3 terhadap vektor
̅. Ilustrasi secara geometris ditunjukkan dalam Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Ilustrasi geometri vektor eigen. D.
Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua
Pada bagian ini akan dibahas tentang menentukan jenis suatu persamaan diferensial parsial orde dua.
2 1
6 3
̅ 3
̅
Persamaan diferensial parsial orde dua, yang linear homogen, dan memiliki koefisien konstan berbentuk
+ +
+ +
+ =
dengan =
, dan , , , , , adalah konstanta. Tiga suku pertama bentuk persamaan diferensial parsial linear homogen orde dua di atas disebut bagian
utama persamaan diferensial parsial dan digunakan untuk menentukan jenis persamaan diferensial parsial.
Dipandang bagian utama persamaan diferensial parsial:
+ +
= �
� + �
� � + �
� =
� �
� �
� �
� �
.
Matriks koefisien merupakan matriks simetri yang mempunyai nilai eigen
berupa bilangan real,
det −
= det −
− =
− − −
= −
+ +
− 2.9
Jika dan
adalah nilai eigen dari matriks =
maka persamaan karakteristiknya adalah
− −
= 2.10
↔ −
+ +
=
dari 2.9 dan 2.10 didapat: a.
+ = + = trace
b. =
− = det
Persamaan diferensial parsial disebut parabolik jika −
= ,yang artinya
= ; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya bernilai 0. Persamaan diferensial parsial disebut eliptik apabila
− ,yang artinya
; dengan kata lain, kedua nilai eigennya positif atau kedua nilai eigennya negatif.
Persamaan diferensial
parsial disebut
hiperbolik jika
− ,yang
artinya ; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya positif dan salah satu
nilai eigennya negatif.
E. Penurunan Numeris
