2. Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
Misal diberikan titik-titik , dengan = , , , … , , yang dalam hal
ini
= + ℎ
dan =
.
Selanjutnya akan dihitung ′
, yang dalam hal ini =
+ ℎ, ∈ ℝ dengan ketiga pendekatan sebelumnya beda maju, beda mundur, beda pusat.
a. Hampiran Beda Maju
Uraikan
+
di sekitar :
+
= +
+
−
′
+
+
−
′′
+ ⋯
+
= + ℎ
′
+ ℎ ′′
⁄ + ⋯
2.11 ℎ ′
=
+
− − ℎ
′′
⁄ − ⋯
′ =
+
− ℎ
− ℎ
′′
− ⋯ ⁄
′ =
+
− ℎ
− ℎ ′′
⁄ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
′ =
+
− ℎ
+ � ℎ
yang dalam hal ini, � ℎ = − ℎ
′′ ⁄
, untuk suatu dengan
+
. Untuk nilai-nilai di
dan rumusnya menjadi:
′
= −
ℎ + � ℎ
2.12
yang dalam hal ini � ℎ = − ℎ
′′ ⁄
, untuk suatu dengan .
b. Hampiran Beda Mundur
Uraikan
−
di sekitar :
−
= +
−
−
′
+
−
−
′′
+ ⋯
−
= − ℎ
′
+ ℎ ′′
⁄ + ⋯
2.13 ℎ ′
= −
−
+ ℎ ′′
⁄ + ⋯
= −
−
ℎ + ℎ
′′
+ ⋯ ⁄
′ =
−
−
ℎ + ℎ
′′ ⁄
′ =
−
−
ℎ + � ℎ
yang dalam hal ini, � ℎ = ℎ
′′ ⁄
, untuk suatu dengan
−
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk nilai-nilai di dan
persamaan rumusnya menjadi:
′
= −
ℎ + � ℎ
2.14
yang dalam hal ini � ℎ = ℎ
′′ ⁄
, untuk suatu dengan .
c. Hampiran Beda Pusat
Kurangkan persamaan 2.13 dari persamaan 2.11:
+
−
−
= ℎ
′
+ ℎ ′′′
⁄ + ⋯
ℎ
′
=
+
−
−
− ℎ
′′′
⁄ − ⋯
′ =
+
−
−
ℎ − ℎ
′′′
⁄ − ⋯
′ =
+
−
−
ℎ + � ℎ
yang dalam hal ini, � ℎ = −ℎ
′′′ ⁄
, untuk suatu dengan
− +
. Untuk nilai-nilai di
−
dan persamaan rumusnya menjadi:
′
= −
ℎ + � ℎ 2.12
yang dalam hal ini � ℎ = −ℎ
′′′ ⁄
, untuk suatu dengan .
Hampiran beda pusat ini memiliki hasil yang lebih baik dari dua hampiran lainnya karena orde galatnya adalah
� ℎ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Matriks Tridiagonal
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan contohnya.
Definisi 2.10
Misalkan . Matriks
� = ∈ ℝ
×
disebut matriks tridiagonal jika elemen-elemen yang berada pada selain diagonal utama dan dua diagonal
berdekatan bernilai nol, yaitu
= jika | − | , , ∈ { , , … , }
matriks tersebut juga sering disebut tiga diagonal. Untuk penjelasan lebih jelasnya dapat dilihat pada buku karangan Süli dan Mayers 2007.
Contoh 2.9
Berikut ditunjukan beberapa matriks
= , =
, = .
Dari ketiga matriks di atas, matriks tridiagonal ditunjukan oleh matriks dan . Matriks bukan matriks tridiagonal karena
≠ dan ≠ . Matriks adalah
matriks identitas. Matriks memenuhi definisi matriks tridiagonal karena =
= . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI