1. Skema Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida
Persamaan 3.10 dan 3.11 tidak dapat diselesaikan secara terpisah, karena terdapat beberapa kondisi yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.
Dengan menggunakan skema implisit, persamaan gerak fluida untuk air pada persamaan 3.10 dan persamaan gerak fluida untuk minyak pada persamaan
3.11 dapat ditulis menjadi:
ai +
−
ai
∆ =
ai ai +
+
−
ai +
+
ai − +
∆ ,
untuk = , , , … , ,
3.31
i yak +
−
i yak
∆ =
i yak i yak +
+
−
i yak +
+
i yak − +
∆ ,
untuk = , + , + , … , − ,
3.32
Persamaan 3.31 dan 3.32 dapat ditulis ulang menjadi:
ai
∆
ai − +
−
ai
∆ + ∆
ai +
+
ai
∆
ai + +
= − ∆
ai
,
untuk = , , , … , ,
3.33
i yak
∆
i yak − +
−
i yak
∆ + ∆
i yak +
+
i yak
∆
i yak + +
= − ∆
i yak
,
untuk = , + , + , … , − .
3.34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk posisi di = dan syarat awal
ai
, =
ai +
= , persamaan 3.33 dapat ditulis menjadi:
−
ai
∆ + ∆
ai +
+
ai
∆
ai +
= − ∆
ai
3.35 Pada posisi batas antara minyak dan air
= dan = , persamaan 3.33 dan 3.34 menjadi
ai
∆
ai −
+
−
ai
∆ + ∆
ai +
+
ai
∆
ai +
+
= − ∆
ai
, 3.36
i yak
∆
i yak − +
−
i yak
∆ + ∆
i yak +
+
i yak
∆
i yak + +
= − ∆
i yak
. 3.37
Kondisi pada posisi batas dapat dijabarkan menjadi:
i yak
�
i yak
� |
=
=
ai
�
ai
� |
=
, 3.38
ai ai
+ +
−
ai −
+
∆ = μ
i yak i yak +
+
−
i yak − +
∆ .
3.39 Persamaan 3.38 dapat ditulis sebagai:
ai +
+
=
i yak ai
i yak + +
−
i yak − +
+
ai −
+
. 3.40
Substitusi persamaan 3.40 ke persamaan 3.36, didapat:
ai
∆
ai −
+
−
ai
∆ + ∆
ai +
+
i yak
∆
i yak + +
−
i yak − +
= − ∆
ai
. 3.41
Jumlahkan persamaan 3.37 dengan persamaan 3.41 sehingga didapat:
ai
∆ v
ai −
+
−
ai
∆ + ∆
ai +
−
i yak
∆ + ∆
i yak +
+
i yak
∆
i yak + +
= − ∆
ai
− ∆
i yak
. 3.42
Karena
ai +
=
i yak +
, maka persamaan 3.42 dapat ditulis menjadi:
ai
∆
ai −
+
−
ai
+
i yak
∆ + ∆
i yak +
+
i yak
∆
i yak + +
= − ∆
ai
− ∆
i yak
. 3.43
Saat = + persamaan 3.34 menjadi:
i yak
∆
i yak +
−
i yak
∆ + ∆
i yak + +
+
i yak
∆
i yak + +
= − ∆
i yak +
. 3.44
Pada plat atas = − , persamaan 3.34 dapat ditulis menjadi:
i yak
∆
i yak − +
−
i yak
∆ + ∆
i yak − +
= − ∆
i yak +
−
i yak
∆
i yak +
. 3.45
Karena
i yak
, =
i yak +
= , maka:
i yak
∆
i yak − +
−
i yak
∆ + ∆
i yak − +
= − ∆
i yak +
−
i yak
∆ .
3.46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan 3.33, 3.34, 3.35, 3.43, 3.44 dan 3.46 adalah persamaan yang mewakili semua titik diantara 0 sampai 10. Keenam persamaan
merupakan sistem tridiagonal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan perintah
\ pada MATLAB. Misalkan: b =
ai
∆ ,
c =
ai
∆ + ∆ , d =
i yak
∆ ,
e =
i yak
∆ + ∆ , dan f =
ai
+
i yak
∆ + ∆
contoh membentuk sistem tridiagonal dengan ∆ = adalah sebagai berikut:
= [
− −
− −
− − ]
, ̅ =
[
ai ai
ai i yak
i yak i yak
] ,
̅ =
[ − ∆
ai
− ∆
ai
− ∆
ai
− ∆
ai
− ∆
i yak
− ∆
i yak
− ∆
i yak
] .
Sistem tridiagonal di atas merupakan penyelesaian pada metode beda hingga. Dengan variasi
∆ yang berbeda akan terbentuk sistem tridiagonal yang besarnya berbeda pula. Semakin kecil
∆ maka semakin besar sistem tridiagonalnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sistem tridiagonal akan diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada
MATLAB.
2.
Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Pergerakan Lapisan Fluida.
Hasil simulasi pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.4 sampai dengan
Gambar 3.9.
Simulasi ini
dilakukan untuk
beberapa nilai
∆ = , , . , . , .
, . dan
∆ = . ∗ ∆ . Untuk jarak kedua plat adalah 10 cm dan waktu 50 detik.
Gambar 3.4. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = dengan metode beda hingga.
Gambar 3.5. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = dengan metode beda hingga.
Gambar 3.6. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = . dengan metode beda hingga.
Gambar 3.7. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = . dengan metode beda hingga.
Gambar 3.8. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = .
dengan motode beda hingga. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.9. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = .
dengan metode beda hingga. Terlihat pada gambar-gambar hasil simulasi untuk metode beda hingga
bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi karena diketahui hubungan
di titik perbatasan antara minyak dan air yang sudah dijelaskan sebelumnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
BAB IV
ANALISIS HASIL SIMULASI
Pada bab ini akan dibahas mengenai hasil simulasi numeris untuk metode beda hingga dan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Simulasi numeris
dilakukan dengan menggunakan MATLAB dengan jarak antara plat bawah dan plat atas adalah 10 cm, dan plat atas ditarik dengan kecepatan konstan 7 cms.
Galat atau error dihitung dengan menggunakan rumus
Galat = ∑|
ek ak
−
e i
|
=
dengan
ek ak
adalah nilai eksak di titik ,
e i
adalah nilai numeris di titik , dan adalah banyaknya data yang ada di domain ruang.
Menghitung galat saja masih belum cukup, seberapa cepat suatu metode konvergen juga harus diperhatikan. Untuk mengetahui seberapa cepat konvergen
dari simulasi ini, dihitung dengan menggunakan rumus:
Perbandingan Galat =
+
Dengan
+
merupakan galat pada titik
+
dan merupakan galat pada titik
+
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs