MATEMATIKA 133
12. Bernalar
6XPEHURNXPHQ.HPGLNEXG
DPEDUGLVDPSLQJPHQXQMXNNDQGXD cara menggambar satu garis untuk
PHPEDJLSHUVHJLSDQMDQJPHQMDGLGXD bangun yang kongruen. Gambarkan
tiga cara lainnya.
Berpikir Kritis
Apakah luas dua bangun yang kongruen pasti sama? Apakah dua bangun dengan luas yang sama pasti kongruen?
-HODVNDQGHQJDQJDPEDUGLDJUDPXQWXNPHQGXNXQJMDZDEDQPX
14. Berpikir Kritis
Berapa banyak segitiga sama sisi kongruen paling sedikit yang diperlukan untuk PHPEHQWXNVHJLWLJDVDPDVLVLHPLNLDQMXJDEHUDSDSHUVHJLNRQJUXHQSDOLQJ
sedikit yang diperlukan untuk menghasilkan persegi. Dapatkah hasil ini diperluas untuk segi-n beraturan yang lain? Jelaskan alasanmu. Harus ditambah berapa
banyak segi-n EHUDWXUDQODJLVXSD\DWHWDSMDGLVHJLn?
B. Kekongruenan Dua Segitiga
Pertanyaan Penting
HUGDVDUNDQ6XEDEGXDEDQJXQGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDSDQMDQJVLVLVLVL yang bersesuaian adalah sama dan besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama.
6HKLQJJDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQ\DLWXMLNDNHWLJDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPD SDQMDQJGDQNHWLJDSDVDQJVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU
SDNDKSHUOXGLXMLNHHQDPSDVDQJXQVXUWHUVHEXWXQWXNPHQHQWXNDQGXDVHJLWLJD NRQJUXHQ DWDX WLGDN WDX DGD DOWHUQDWLI ODLQ XQWXN PHQJXML NHNRQJUXHQDQ GXD
segitiga? 8QWXN PHQJHWDKXL MDZDEDQQ\D FRED ODNXNDQ NHJLDWDQNHJLDWDQ EHULNXW LQL
dengan teman sekelompokmu.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
134 Kegiatan 4.6
Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sisi – Sisi
Sediakan alat dan bahan sebagai berikut: 6HOHPEDUNHUWDVNHUWDVEHUSHWDNDNDQOHELKPHPXGDKNDQ
- Pensil
- Batang lidi
- Penggaris
- Gunting
XVXUGHUDMDW Lakukan kegiatan berikut ini.
3RWRQJODKEDWDQJOLGLPHQMDGLSRWRQJGHQJDQXNXUDQXNXUDQ\DQJELVDGLEHQWXN PHQMDGLVHJLWLJDLQJDWNHPEDOLWHQWDQJV\DUDWSDQMDQJVLVLVHJLWLJDGLNHODV9,,
0LVDOQ\D FP FP GDQ FP .HPXGLDQ EHQWXNODK NHWLJD SRWRQJDQ OLGL WHUVHEXWPHQMDGLVHJLWLJD
2. Salinlah segitiga yang terbentuk tersebut pada selembar kertas. 8NXUODKPDVLQJPDVLQJEHVDUVXGXWSDGDVHJLWLJDLWXGHQJDQEXVXU
DNXNDQODJLODQJNDKVDPSDLROHKDQJJRWD\DQJODLQGLNHORPSRNPXGHQJDQ XNXUDQSRWRQJDQOLGL\DQJVDPDGHQJDQGLODQJNDK
5. Bandingkan dengan segitiga yang dihasilkan temanmu. Apakah kamu mendapatkan pasangan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?
6. Atau gunting salah satu dari gambar segitiga tersebut kemudian tempelkan pada segitiga satunya, apakah kedua segitiga itu tepat saling menutupi?
0HQXUXWPXDSDNDKNHGXDVHJLWLJDWHUVHEXWNRQJUXHQ-HODVNDQ 7XOLVNDQNHVLPSXODQPX
OWHUQDWLINHJLDWDQSDGD.HJLDWDQLQLGDSDWMXJDNDPXODNXNDQNHJLDWDQGL bawah ini:
Sediakan alat dan bahan sebagai berikut: -
Selembar kertas -
Pensil -
Penggaris XVXUGHUDMDW
- Jangka dan gunting
Lakukan kegiatan berikut ini. 1. Gambarlah
dan GHQJDQSDQMDQJVLVL = , = , dan = SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 135
D DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E 3DGDJDULVN, buatlah segmen garis dan , dengan = .
F HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDOXNLVODKGXDEXVXUOLQJNDUDQPDVLQJPDVLQJ
berpusat di dan GHQJDQMDULMDULVDPD
G HQJDQPHQJJXQDNDQMDQJNDOXNLVODKGXDEXVXUOLQJNDUDQPDVLQJPDVLQJ berpusat di
dan GHQJDQMDULMDULVDPDMDULMDULWLGDNKDUXVVDPDGHQJDQ MDULMDULSDGDODQJNDKF
H HUL ODEHO WLWLN C dan F pada perpotongan kedua busur lingkaran di atas. Hubungkan titik C dengan
GDQPDNDWHUEHQWXNODKǻ. Hubungkan titik F dengan
dan maka terbentuklah .
SDNDKNDPXPHPSHUROHKSDQMDQJ = , = , dan = ?
N C
F
2. Guntinglah dan tumpukkan di atas , apakah kedua segitiga tersebut
kongruen? Jelaskan. 8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK VXGXWVXGXW \DQJ
bersesuaian. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? Berikan SHQMHODVDQ
Ayo Kita Simpulkan
Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND
Kegiatan 4.7
Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – Sisi
Sediakan alat sebagai berikut: -
Selembar kertas -
Gunting -
Pensil -
Busur -
Penggaris
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
136
Lakukan kegiatan berikut ini. DPEDUODKǻGDQǻGHQJDQSDQMDQJVLVL = , P
= P, dan = SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU
D DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E 3DGDJDULVN, buatlah segmen garis dan , dengan = .
F XDWODKJDULVSPHODOXLWLWLN dan buatlah garis n melalui titik , sedemikian
hingga garis SVHMDMDUGHQJDQq. Apakah P
= P? Jelaskan. G XDWODKVHJPHQJDULV pada garis S, dan segmen garis pada garis q,
VHGHPLNLDQKLQJJDSDQMDQJ = . H +XEXQJNDQWLWLN dengan titik CGDQMXJDKXEXQJNDQWLWLN dengan titik
F sehingga terbentuk dan GHQJDQSDQMDQJ = , P =
P , dan = .
C S
q
N F
2. Guntinglah dan tumpukkan di atas , apakah kedua segitiga tersebut
kongruen? Jelaskan. 8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ
SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\DSDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJHULNDQSHQMHODVDQ
Ayo Kita Simpulkan
Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND
Kegiatan 4.8
Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sudut – Sisi – Sudut
Sediakan alat sebagai berikut:
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 137
- Selembar kertas
- Gunting
- Pensil
- Busur
- Penggaris
Lakukan kegiatan berikut ini. 1. Gambarlah
dan dengan P = P, = , dan P= P SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU
D DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas. E 3DGDJDULVN, buatlah segmen garis dan , dengan = .
F XDWODKJDULVU melalui titik dan buatlah garis V melalui titik , sedemikian
hingga garis UVHMDMDUGHQJDQV. Apakah P
= P? Jelaskan. G XDWODKJDULVS melalui titik dan buatlah garis q melalui titik , sedemikian
hingga garis SVHMDMDUGHQJDQq. Apakah P
= PE? Jelaskan. H 7LWLNSHUSRWRQJDQJDULVU dan S beri nama titik C, perpotongan garis V dan q
beri nama titik F, sehingga terbentuk dan dengan P = P,
= , dan P = P .
C U
V
N q
S F
XQWLQJODKǻGDQWXPSXNNDQGLDWDVǻ, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jelaskan.
8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\DSDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU
SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJHULNDQSHQMHODVDQ
Ayo Kita Simpulkan
Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
138 Kegiatan 4.9
Menguji Kekongruenan Segitiga dengan Kriteria Sisi – Sudut – Sudut
Sediakan alat sebagai berikut: -
Selembar kertas -
Gunting -
Penggaris -
Busur Lakukan kegiatan berikut ini.
1. Gambarlah dan dengan P = P, PC = PF, dan =
SDGDVHOHPEDUNHUWDVGHQJDQODQJNDKVHEDJDLEHULNXWOLKDWJDPEDU D DPEDUODKJDULVN sebarang pada selembar kertas.
E XDWODKJDULVU yang memotong garis N di titik . F XDWODKJDULVV yang memotong garis N di titik GDQVHMDMDUGHQJDQJDULVU.
G 3DGDJDULVU, buatlah segmen garis .
C
U F
N
V q
S Pada garis
V, buatlah segmen garis dengan
= . H DUL WLWLN buatlah garis S yang
memotong garis N. Perpotongan antara
garis S dan garis N beri nama titik C.
I DUL WLWLN buatlah garis q yang memotong garis
N di titik FGDQVHMDMDU dengan garis
S. Perpotongan antara garis q dan garis
N beri nama titik F. J SDNDKSDVWLP
= P dan PC =
P F? Jelaskan.
K 7HUEHQWXN dan dengan = , P = P, dan PC =
P FNULWHULDVLVL±VXGXW±VXGXW
4. Guntinglah dan tumpukkan di atas , apakah kedua segitiga tersebut
kongruen? Jelaskan. 8QWXN PHPDVWLNDQ MDZDEDQ NDPX SDGD QR XNXUODK EHVDU VXGXWVXGXW GDQ
SDQMDQJ VLVL \DQJ ODLQQ\DSDNDK VXGXWVXGXW \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD EHVDU SDNDKVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJHULNDQSHQMHODVDQ
Ayo Kita Simpulkan
Dari kegiatan di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? XDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGDQKDQ\DMLND
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 139
Ayo Kita Menalar
Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian VDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ-HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX
Ayo Kita Gali Informasi
Dengan Kegiatan 4.6 sampai dengan 4.9, kamu sudah menemukan syarat-syarat NULWHULDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQREDFDULODKNULWHULDODLQXQWXNPHQJXMLGXDVHJLWLJD
kongruen.
Syarat Dua Segitiga Kongruen
Materi Esensi
Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. XDVHJLWLJDGLNDWDNDQNRQJUXHQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL
L VLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJ LLVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU
F C
Sisi dan adalah sisi
yang bersesuaian dan adalah sudut yang
bersesuaian
Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian:
dan o = dan o =
dan o = dan o =
dan o = C dan F o C = F
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
140
atau dengan kata lain
1 AB
BC AC
DE EF
DF
-LND ¨ GDQ ¨ PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨ GDQ ¨ NRQJUXHQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨
¨. -LND¨GDQ¨WLGDNPHPHQXKLV\DUDWWHUVHEXWPDNDPDND¨ dan
¨WLGDNNRQJUXHQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨ ¨.
Catatan:
Ketika menyatakan dua segitiga kongruen sebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:
ABC a DEF atau BAC a EDF atau CBA a FED
EXNDQǻ ǻDWDXǻ ǻ atau yang lainnya.
8QWXNPHQJXMLDSDNDKGXDVHJLWLJDNRQJUXHQDWDXWLGDNWLGDNSHUOXPHQJXML semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen
MLNDPHPHQXKLVDODKVDWXNRQGLVLEHULNXWLQL .HWLJD SDVDQJDQ VLVL \DQJ EHUVHVXDLDQ VDPD SDQMDQJ LDVD GLVHEXW GHQJDQ
kriteria VLVL±VLVL±VLVL
.
XDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPD besar. Biasa disebut dengan kriteria
VLVL±VXGXW ±VLVL .
LDVDGLVHEXWGHQJDQNULWHULD VXGXW±VLVL±VXGXW
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 141
4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJLDVDGLVHEXWGHQJDQNULWHULD
VXGXW±VXGXW±VLVL .
5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian VDPDSDQMDQJ
Contoh 4.4
Membuktikan Dua Segitiga Kongruen
a. Perhatikan gambar di samping. C
Buktikan bahwa .
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa: = GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ
P = P NDUHQDVDOLQJEHUWRODNEHODNDQJ
= GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ Jadi,
EHUGDVDUNDQNULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL b. Perhatikan gambar di samping.
P
5 Q
S Buktikan bahwa
PQS 546.
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan gambar di samping diperoleh bahwa: PQ =
54 GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ PS =
56 GLNHWDKXLDGDWDQGDVDPDSDQMDQJ QS pada
PQS sama dengan QS pada 546QSEHULPSLW Jadi,
PQS 546EHUGDVDUNDQNULWHULDVLVL±VLVL±VLVL
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
142 Ayo Kita
Tinjau Ulang -HODVNDQGHQJDQDODVDQ\DQJPHQGXNXQJMDZDEDQPX
1. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sisi-sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJSDVWLNRQJUXHQ
2. Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen?
SDNDKGXDVHJLWLJD\DQJPHPSXQ\DLGXDSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPD SDQMDQJGDQVHSDVDQJVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDUSDVWLNRQJUXHQ
4. Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sudut yang bersesuaian sama EHVDUGDQVHSDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJSDVWLNRQJUXHQ
Kekongruenan Dua Segitiga
Latihan 4.2 Selesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.
1. Perhatikan gambar di bawah ini.
P Q
5 S
Buktikan bahwa PQS dan 546 kongruen.
2. Perhatikan gambar di bawah ini.
C 3DQMDQJ = dan .
Buktikan bahwa dan kongruen.
C 7LWLN C DGDODK WLWLN SXVDW OLQJNDUDQ 7XQMXNNDQ
bahwa dua segitiga pada gambar di samping adalah kongruen.
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 143
4. Bangun WXYZ adalah segi empat dengan sisi-sisi W
X
Y Z
\DQJEHUKDGDSDQSDQMDQJQ\DVDPDXY adalah salah satu diagonalnya.
a. Buktikan bahwa WXZ ZYX.
E 7XQMXNNDQEDKZDWXYZDGDODKMDMDUJHQMDQJ 5. Perhatikan gambar di bawah ini.
P O
7LWLN O adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar.
adalah garis singgung dan titik P adalah titik singgung pada lingkaran kecil.
Dengan menggunakan
kekongruenan segitiga,
WXQMXNNDQEDKZDWLWLNP adalah titik tengah .
6. Perhatikan gambar di bawah ini.
N
C M
Pada segitiga , 0 tegak lurus dengan , CN
tegak lurus dengan 3DQMDQJ0 = CN.
7XQMXNNDQEDKZD 0 1
7. Perhatikan gambar di bawah ini. P
X Y
Q 5
M 7LWLNM adalah titik tengah 45. Garis XM dan
YM masing-masing tegak lurus pada PQ dan 353DQMDQJXM = YM. Buktikan bahwa
QMX 50.
8. Menalar