Tujuan Penulisan Sistematika Penulisan

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis biplot merupakan salah satu analisis data peubah ganda yang dapat memberikan visualisasi secara grafik tentang kedekatan antar objek, keragaman peubah, korelasi antar peubah, dan keterkaitan antar peubah dengan objek. Selain itu, analisis biplot digunakan untuk menggambarkan hubungan antara peubah dengan objek yang berada pada ruang berdimensi tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah dua atau tiga. Salah satu kegunaan biplot adalah untuk memperoleh pemetaan. Analisis biplot untuk pemetaan provinsi dalam kaitan prestasi akademik di IPB sudah dilakukan oleh Mariyam 2011. Akan tetapi pada karya ilmiah ini, pemetaan provinsi digunakan untuk memperoleh gambaran posisi mutu pendidikan nasional. Pemetaan ini diharapkan dapat memberikan masukan dalam memperoleh gambaran keunggulan dan kekurangan setiap provinsi berdasarkan peubah-peubah pendidikan sehingga dapat dilakukan upaya perbaikan mutu pendidikan nasional. Saat ini Indonesia sedang menghadapi berbagai permasalahan yang cukup besar seperti rendahnya kualitas sumberdaya manusia yang dimiliki. Pengembangan sumberdaya manusia dengan investasi pendidikan akan berdampak pada peningkatan kompetensi sumber daya manusia itu sendiri. Data Badan Pusat Statistik BPS juga menyebutkan jumlah persentase angka putus sekolah atau mengulang sekitar 16.5 pada anak usia 13 hingga 15 tahun. Hal ini mengindikasikan angka putus sekolah di SD tahun 2004 hingga 2005 cukup tinggi, mendekati angka satu juta. Sedangkan angka buta aksara penduduk Indonesia di atas usia 15 tahun berkisar pada angka 9.55 Mulyasana 2011. Hal ini menunjukkan rendahnya mutu pendidikan di Indonesia. Mutu pendidikan pada dasarnya terdiri atas berbagai indikator dan komponen yang saling berkaitan. Mutu pendidikan adalah konsep yang kompleks karena mutu pendidikan memiliki banyak dimensi, menyangkut serangkaian proses, dan menunjukkan berbagai indikator yang harus dijelaskan secara rinci Amtu 2011. Wilayah Indonesia yang berbentuk kepulauan luas menyebabkan pemerintah Indonesia kesulitan dalam mengamati perkembangan mutu pendidikan di semua daerah. Oleh karena itu, pemerintah Indonesia perlu melakukan pemetaan provinsi terhadap pendidikan. Pada karya ilmiah ini, pemetaan provinsi dari peubah-peubah pendidikan perlu dilakukan untuk mengetahui penyebaran pendidikan di Indonesia.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan utama penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Memperoleh gambaran umum mengenai pendidikan di Indonesia. 2. Menerapkan analisis biplot dalam pemetaan provinsi berdasarkan peubah- peubah pendidikan.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Penerapan analisis biplot dalam pemetaan provinsi berdasarkan peubah pendidikan dan gambaran umum mengenai pendidikan akan dibahas pada bab tiga. Pada bab empat akan dipaparkan simpulan serta saran dari karya ilmiah ini. II LANDASAN TEORI 2.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah suatu matriks n×n. Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik matriks A yang berpadanan dengan nilai eigen λ Leon 2001. Nilai eigen λ dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan det − � = . 2.2 Analisis Biplot Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis biplot merupakan suatu tampilan grafik dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi rendah dua atau tiga yang merepresentasikan vektor-vektor baris sebagai gambaran objek dengan vektor- vektor kolom sebagai gambaran peubah. Biplot dan geometrinya berlaku untuk ruang-ruang dimensi manapun, tetapi akan perlu mengurangi dimensi ketika matriks data memiliki dimensi tinggi sedangkan representasi memerlukan dimensi rendah, biasanya dua atau tiga Greenacre 2010. Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain ialah: 1. Kedekatan antarobjek. Dua objek dengan karakteristik yang sama akan digambarkan sebagai dua titik yang posisinya berdekatan. 2. Keragaman peubah. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan sebagai vektor yang pendek. Begitu pula sebaliknya, peubah dengan keragaman besar digambarkan sebagai vektor yang panjang. 3. Korelasi antarpeubah. Peubah digambarkan sebagai vektor. Jika sudut dua peubah lancip 90 o maka korelasinya bernilai positif. Apabila sudut dua peubah tumpul 90 o maka korelasinya bernilai negatif. Sedangkan jika sudut dua peubah siku-siku maka tidak saling berkorelasi. 4. Keterkaitan peubah dengan objek. Karakteristik suatu objek bisa disimpulkan dari posisi relatifnya terhadap suatu peubah. Jika posisi objek searah dengan arah vektor peubah maka objek tersebut bernilai di atas rata-rata, jika berlawanan maka nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengah-tengah maka nilainya mendekati rata-rata. Analisis biplot dikembangkan berdasarkan Dekomposisi Nilai Singular DNS atau Singular Value Decomposition SVD. Misalkan n Y p merupakan matriks data dengan n objek dan p peubah. Kemudian Y dikoreksi terhadap nilai rata- rata kolomnya sehingga didapat matriks Y, � = � ∗ − � T � ∗ 1 dengan 1 adalah vektor berdimensi n×1 yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam S peubah ganda tersebut ialah � = �− � T � 2 dengan matriks korelasi R = [r ij ] dari matriks Y adalah R = D −12 S D −12 3 dengan � − ⁄ = diag √� , √� , … , √�pp adalah matriks diagonal. Misalkan matriks n Y p = [y 1 , y 2 , …, y n ] T maka jarak Euclid antara objek ke-i dan objek ke-j didefinisikan sebagai � � , � = √� − � � − � dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j sebagai � , � = √� − � T − � − � . Matriks Y yang berdimensi n×p dan berpangkat r dengan r ≤ min{n,p} dinyatakan sebagai dekomposisi nilai singular berikut: n Y p = n U r L r � � T , � ∈ [ , ] 4 Aitchison Greenacre, 2002 di mana U dan W merupakan matriks dengan kolom ortonormal, � T � = � T � = � . Matriks W adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen w i yang berpadanan dengan nilai eigen λ i dari matriks Y T Y . Matriks U adalah matriks yang kolom- kolomnya merupakan vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen dari matriks YY T dengan hubungan: r L r = diag √� , √� , … , √� � 5 p W r = , , … , � 6 n U r = √� �� , √� �� , … , √� �� 7 dengan λ 1 ≥ λ 2 ≥ … ≥ λ r 0 dan λ i merupakan nilai eigen dari matriks Y T Y atau YY T . Dalam Jollife 2002 persamaan 4 dapat diuraikan menjadi � = �� α � −α � T . 8 Dengan mendefinisikan : = �� α = [ , , … , � ] T dan = �� −α = [ , , … , � ] T maka persamaan 8 menjadi � = T 9 dengan demikian setiap elemen ke- i, j unsur matriks Y dapat dinyatakan sebagai berikut: = T . Vektor menerangkan objek ke-i matriks Y dan vektor menerangkan peubah ke- j matriks Y . Jika Y berpangkat dua, maka vektor baris T dan vektor kolom dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Sedangkan bagi matriks Y yang berpangkat lebih dari dua dapat didekati dengan matriks berpangkat dua, sehingga persamaan 9 dapat ditulis menjadi = ∗T ∗ n Y p = n G r � T ≈ n G 2 � T = T dengan masing-masing ∗ dan ∗ mengandung dua unsur pertama vektor dan , A dan B T berturut-turut berisi unsur- unsur dua kolom pertama matriks G dan H T . Dengan pendekatan tersebut matriks Y dapat disajikan dalam ruang dimensi dua. Nilai α yang digunakan dapat merupakan nilai sebarang � ∈ [ , ] tetapi pengambilan nilai-nilai ekstrem yaitu α = 0 dan α = 1 berimplikasi pada intepretasi biplot. 1. Jika α = 0, maka = � dan = �� akibatnya : � T � = T T T = T T = � T � T = T 10 diperoleh :  T = � − , dengan adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.  ‖ ‖ = √� − , dengan = √ menggambarkan keragaman peubah ke-i.  Korelasi antara peubah ke-i dan ke- j dijelaskan oleh cosinus sudut antara h dan h misal: θ, yaitu : cos � = T ‖ ‖‖ ‖ = √ √ =  Jika Y berpangkat p maka � − � T � − � − � = � − − T − artinya kuadrat jarak Mahalanobis antara � dan � sebanding dengan kuadrat jarak Euclid antara dan serta S adalah matriks koragam dari Y. 2. Jika � = , maka = �� dan = � akibatnya : � T � = T T T = T T = � T � T = T 11 artinya � − � T � − � = − T − atau kuadrat jarak Euclid antara � dan � akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara dan .

2.3 Ukuran Kesesuian Biplot