Ukuran Kesesuian Biplot Korelasi Model Logistik

Dalam Jollife 2002 persamaan 4 dapat diuraikan menjadi � = �� α � −α � T . 8 Dengan mendefinisikan : = �� α = [ , , … , � ] T dan = �� −α = [ , , … , � ] T maka persamaan 8 menjadi � = T 9 dengan demikian setiap elemen ke- i, j unsur matriks Y dapat dinyatakan sebagai berikut: = T . Vektor menerangkan objek ke-i matriks Y dan vektor menerangkan peubah ke- j matriks Y . Jika Y berpangkat dua, maka vektor baris T dan vektor kolom dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Sedangkan bagi matriks Y yang berpangkat lebih dari dua dapat didekati dengan matriks berpangkat dua, sehingga persamaan 9 dapat ditulis menjadi = ∗T ∗ n Y p = n G r � T ≈ n G 2 � T = T dengan masing-masing ∗ dan ∗ mengandung dua unsur pertama vektor dan , A dan B T berturut-turut berisi unsur- unsur dua kolom pertama matriks G dan H T . Dengan pendekatan tersebut matriks Y dapat disajikan dalam ruang dimensi dua. Nilai α yang digunakan dapat merupakan nilai sebarang � ∈ [ , ] tetapi pengambilan nilai-nilai ekstrem yaitu α = 0 dan α = 1 berimplikasi pada intepretasi biplot. 1. Jika α = 0, maka = � dan = �� akibatnya : � T � = T T T = T T = � T � T = T 10 diperoleh :  T = � − , dengan adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.  ‖ ‖ = √� − , dengan = √ menggambarkan keragaman peubah ke-i.  Korelasi antara peubah ke-i dan ke- j dijelaskan oleh cosinus sudut antara h dan h misal: θ, yaitu : cos � = T ‖ ‖‖ ‖ = √ √ =  Jika Y berpangkat p maka � − � T � − � − � = � − − T − artinya kuadrat jarak Mahalanobis antara � dan � sebanding dengan kuadrat jarak Euclid antara dan serta S adalah matriks koragam dari Y. 2. Jika � = , maka = �� dan = � akibatnya : � T � = T T T = T T = � T � T = T 11 artinya � − � T � − � = − T − atau kuadrat jarak Euclid antara � dan � akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara dan .

2.3 Ukuran Kesesuian Biplot

Pereduksian dimensi pada analisis biplot mengakibatkan terjadinya kehilangan beberapa informasi. Hal ini dapat diukur dengan ukuran kesesuaian biplot. Untuk biplot pada ruang dimensi dua, dengan memilih α = 0 dapat ditunjukkan oleh Gabriel 1971 bahwa ukuran kesesuaian data adalah GF �, T = ∑ λ = ∑ λ � = .

2.4 Korelasi

Korelasi adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linear antara dua peubah acak. Nilai korelasi antara peubah x dan y dapat diperoleh dengan rumus Walpole 2005 = � ∑ − ∑ ∑ √[� ∑ − ∑ ][� ∑ − ∑ ] dengan i = 1, 2, 3, . . ., n. Nilai korelasi positif menunjukkan bahwa nilai dua peubah tersebut memiliki hubungan linear positif dan begitu juga sebaliknya. Semakin dekat nilai korelasi dengan -1 atau +1, semakin kuat korelasi antara kedua peubah tersebut, sebaliknya jika nilai korelasinya mendekati 0 maka semakin lemah korelasi antara kedua peubah tersebut Juanda 2009.

2.5 Model Logistik

Persamaan logistik sering digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan populasi dalam suatu lingkungan dengan mempertimbangkan daya dukung lingkungan yang terbatas. Persamaan umum model logistik : � = − � 12 dengan r adalah laju pertumbuhan intrinsik dan mewakili laju pertumbuhan per kapita K adalah daya dukung lingkungan. Persamaan 12 mempunyai solusi: = � �− −�� + , 13 dengan adalah ukuran populasi pada saat t = 0. Salah satu sifat fungsi logistik adalah �im �→∞ = � yang menyatakan bahwa ukuran populasi akan sama dengan daya dukung lingkungan dalam waktu jangka panjang Tsoularis Wallace 2002. Bukti solusi persamaan 13 dan salah satu sifat fungsi logistik diberikan pada Lampiran 1. Gambar 1 Kurva pertumbuhan logistik. Persamaan logistik menghasilkan suatu kurva berbentuk S, yaitu bahwa pada awal adalah serupa dengan eksponensial, proses dapat dilihat terus meningkat sampai akhirnya konvergen ke titik tertentu Florio Colautti 2005.

2.6 Definisi Peubah Pendidikan