49
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
4.1 Kajian Teoritis Mengenai Koefisien Cramer
Koefisien Cramer merupakan ukuran tingkat asosiasi hubungan atau korelasi antara dua kelompok atribut atau variabel. Uji korelasi ini digunakan jika
informasi atau data berskala nominal atau kategorikal. Koefisien Cramer dihitung dari tabel kontingensi, dan akan memiliki nilai yang sama tanpa memandang
bagaimana kategori disusun dalam kolom dan baris. 4.1.1 Dua Variabel Nominal : C Menurut Cramer
Variabel A diukur pada skala nominal dengan r kategori, yaitu A
1
, A
2
, A
3
,…, A
r
. Variabel B diukur pada skala nominal dengan k kategori, yaitu A
1
, A
2
, A
3
,…, A
k
. Misalkan semua unsur dalam suatu populasi disusun dalam tabel silang contingensi table, two-way table, atau crosstable variabel A dan Variabel B,
yang terdiri dari r baris dan k kolom. Pada tabel 4.1 i,j berisi frekuensi unsur yang bersifat A
i
dan B
j
, frekuensi ini ditulis F
ij
atau O
ij .
50
Tabel 4.1 : tabel silang variabel A dan variabel B untuk populasi Variabel B
Variabel A B
1
B
2
… B
j
… B
k
Total
A
1
F
11
F
12
… F
1j
… F
1k
F
1.
A
1
F
21
F
22
… F
2j
… F
2k
F
2.
… … … … … … … … A
i
F
i1
F
i2
… F
ij
… F
ik
F
i.
… … … … … … … … A
r
F
r1
F
r2
… F
rj
… F
rk
F
r.
Total F
.1
F
.2
… F
.j
… F
.k
N Keterangan : A
r
= variabel A dengan r baris B
k
= variabel B dengan k kolom F
i.
= jumlah observasi pada baris i F
.j
= jumlah observasi pada kolom j F
ij
= data observasi yang disesuaikan dengan baris i dan kolom j secara bersamaan
F
r.
= jumlah observasi pada r baris F
.k
= jumlah observasi pada k kolom F
rk
= data observasi yang disesuaikan dengan r baris dan j kolom secara bersamaan
N = jumlah populasi atau total banyaknya observasi
51
Kalau satu unsur ditarik dari populasi secara random sederhana, berlaku : Misalkan F
ij
= O
ij
, P
A
i
∩ B
j
= N
F
ij
= N
O
ij
P A
i
=
N F
i
=
N R
i
dan P B
j
= N
F
j
= N
C
j
, dimana F
i
= R
i
dan F
j
= C
j .
Zanten, V.
W 1980:
267 Antara variabel A dan variabel B tidak ada asosiasihubungan apabila :
P A
i
∩ B
j
= P A
i
. P B
j
, dimana ∀ i∈ {1, 2, 3, …, r},
∀ j∈ {1, 2, 3, …, k} Zanten,
V. W
1980: 268
4.1.2 Ukuran χ
2
Chi-Square dan Ukuran C Menurut Cramer Apabila ingin mencari ukuran untuk mengukur kuatnya asosiasi
hubungan antara variabel A dan variabel B, dapat dilakukan sebagai berikut. Misal tidak ada asosiasi antara A dan B, maka berlaku probabilitas bahwa suatu
unsur termasuk kotak i, j dalam tabel 4.1. P
A
i
∩ B
j
= P A
i
. P B
j
, dimana ∀ i∈ {1, 2, 3, …, r},
∀ j∈ {1, 2, 3, …, k} Andaikata tidak ada asosiasi dan N unsur populasi didistribusikan dalam
kotak-kotak tabel dengan probabilitas tersebut, maka E
ij
= frekuensi yang diharapkan dalam kotak i, j
52
E
ij
= N . P
ij
= N. P A
i
. P B
j
= N
F F
j i
.
= N
C R
j i
.
Zanten, V. W 1980: 270 Demikianlah, karena X
ij
= banyaknya unsur yang termasuk kotak i,j, berdistribusi binomial B N; P
ij
. Probabilitas 1 - P
ij
merupakan probabilitas bahwa unsur termasuk suatui kotak yang lain. Jadi, kalau tidak ada asosiasi antara
A dan B maka diperoleh tabel 4.2, dengan frekuensi yang diharapkan E
ij
= N
F F
j i
. =
N C
R
j i
. ; untuk setiap nilai i dan setiap nilai j.
Zanten, V.
W 1980:
270 Tabel 4.2 : tabel silang dengan frekuensi yang diharapkan kalau tidak ada asosiasi
antara A dan B B
A B
1
B
2
… B
j
… B
k
Total
A
1
E
11
E
12
… E
1j
… E
1k
F
1.
A
1
E
21
E
22
… E
2j
… E
2k
F
2.
… … …
… …
… …
… A
i
E
i1
E
i2
… E
ij
… E
ik
F
i.
… … …
… …
… …
… A
r
E
r1
E
r2
… E
rj
… E
rk
F
r.
Total F
.1
F
.2
… F
.j
… F
.k
N
53
Perbedaan antara tabel 4.1 dan tabel 4.2. Untuk tabel 4.1 yaitu tabel dengan frekuensi yang sebesar-besarnya ada dalam populasi, sedangkan tabel 4.2
yaitu tabel dengan frekuensi yang diharapkan kalau tidak ada asosiasi, digunakan untuk mengukur kuatnya asosiasi dalam tabel 4.1. Selisih F
ij
- E
ij
atau O
ij
- E
ij
, karena F
ij
= O
ij
untuk setiap kotak i, j akan termasuk dalam rumus untuk ukuran asosiasi.
Dipilih ukuran
χ
2
=
∑∑
= =
−
r i
k j
ij ij
ij
E E
O
1 1
2
Conover, W.
J 1999:
205 Kalau tidak ada asosiasi hubungan antara variabel A dan variabel B,
maka O
ij
= E
ij
= N
C R
j i
. , untuk setiap nilai i dan setiap nilai j, sehingga nilai
ukuran χ
2
= 0. Nilai
χ
2
= 0 jika dan hanya jika O
ij
= E
ij
, yaitu kalau χ
2
= 0 tidak ada asosiasi antara variabel A dan variabel B. Sehingga diambil nilai tertinggi adalah
banyaknya unsur populasi kali{minr,k dikurangi satu}. Sehingga ditulis 0
≤ χ
2
≤ N. {min r, k -1} Zanten, V. W 1980: 272
dimana; N
= banyaknya unsur populasi r
= banyaknya baris dalam tabel silang k
= banyaknya kolom dalam tabel silang min r, k = bilangan terkecil dalam r dan k
54
Misal, ini berarti bahwa nilai χ
2
untuk tabel r=2, k=1 tidak bisa dibandingkan dengan nilai
χ
2
untuk misal, tabel r=5, k=8. Dan, nilai χ
2
untuk tabel silang dengan N = 200 tidak bisa dibandingkan dengan nilai
χ
2
untuk misal, tabel silang dengan N = 500. Sehingga didefinisikan ukuran asosiasi C menurut
Cramer sebagai berikut. C =
} 1
, .{min
2
− k
r N
χ
Zanten, V. W 1980: 272 karena dalam hal ini min r, k dapat ditulis sebagai L, maka diperoleh
C =
1 .
2
− L
N
χ
Ghozali 2002:
160 Ukuran C menurut Cramer bernilai antara 0 dan 1, untuk setiap tabel
silang. C = 0 jika dan hanya jika tidak ada asosiasi antara variabel A dan variabel B. Dan C = 1 berarti terjadi asosiasi hubungan yang terkuat.
Dari rumus χ
2
= N
E O
r i
k j
ij ij
−
∑∑
= =
1 1
2
Conover, W.J 1999: 205
dimana, O
ij
= frekuensi sebesar-besarnya dalam populasi E
ij
= frekuensi yang diharapkan Dibuktikan dengan menukar E
ij
sama dengan N
C R
j i
. ,
χ
2
= N . {
1 .
1 1
2
−
∑∑
= =
r i
k j
j i
ij
C R
O
},
Sehingga diperoleh ukuran C menurut Cramer atau rumus Koefisien
55
Cramer sebagai berikut.
C =
∑∑
= =
− −
r i
k j
j i
ij
C R
O L
1 1
2
}} 1
. {{
1 1
Zanten, V. W 1980: 272 Atau dengan rumus
C =
1 .
2
− L
N
χ
dimana, N = banyaknya unsur populasi L = nilai minimal antara jumlah baris dan jumlah kolom
Ghozali 2002:
160
4.2 Analisis Korelasi Berdasarkan Koefisien Cramer
Kategori