BAB 3 PEMBAHASAN
3.1 Lintasan Terpendek
Andaikan diberikan sebuah graph G dalam tiap sisi
j i
e e ,
dihubungkan dengan titik
j i
v v ,
mewakili panjang dari sisi. Dalam beberapa hal, panjang sebenarnya mewakili biaya atau beberapa nilai lainnya. Panjang dari lintasan adalah menentukan panjang
jumlah dari masing-masing sisi yang terdiri dari lintasan. Untuk 2 titik s dan t dalam G, ada beberapa lintasan dari s dan t. Masalah lintasan terpendek meliputi pencarian lintasan
dari s ke t yang mempunyai lintasan terpendek dan biaya termurah.
Pada persoalan ini akan terdorong untuk menyelesaikan suatu persoalan untuk menentukan lintasan terpendek dan biaya termurah dalam suatu daerah yang terdiri atas
beberapa kota dengan mengimplementasikannya ke dalam persoalan Knapsack yang merupakan salah satu persoalan Pemrograman 01.
3.2 Analisis Knapsack
Persoalan Knapsack ini dapat dirumuskan secara matematika dengan memberi nilai pada objek dari 1 sampai n dan memperkenalkan suatu vektor dari variabel biner
n j
x
j
,...., 1
yang memiliki arti sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
1
j
x
Untuk
j
p
merupakan ukuran dari kelayakan yang diberikan oleh objek
j
w j,
adalah besarannya dan c adalah besaran dari Knapsack, masalahnya akan terpilih, di
antara semua vektor biner
1
x yang akan memenuhi kendala:
n j
j j
c x
w
1
,
j
x
atau 1
n N
j ,.....,
1
di mana salah satu fungsi objektif yang dimaksimalkan adalah
n j
j j
x p
z
1
Contoh Persoalan lintasan terpendek diimplementasikan ke dalam Knapsack
Suatu aliran adalah sebuah perjalanan objek dari suatu tempat ke tempat lain dalam suatu jaringan kerja, seperti penyaluran air bersih pada saluran pipa. Banyak
masalah penting yang perlu diperhatikan pada aliran dalam jaringan kerja, seperti menimimumkan jumlah materi yang akan disalurkan dari suatu pipa ke pipa lain, dan
menentukan biaya penyaluran yang paling minimum untuk mengirimkan sejumlah objek dari sumber persediaan ke tujuan, atau mencari jalan terpendek pada pengiriman objek
dalam suatu sistem. Berikut ini adalah representasi graph pada penyaluran air bersih: untuk objek j memenuhi
Lainnya
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.1 Representasi graph dalam penyaluran air bersih
Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini adalah:
Cara Enumerasi
Persoalan ini adalah persoalan program integer, yang dapat dimasukkan ke dalam persoalan Knapsack.
Minimumkan
m j
ij ij
m i
x c
1 1
dengan kendala
m j
m k
ki ij
x x
1 1
1 1
m i
i i
1
1 atau m
ij
x
atau 1
ij
x m
j i
,...., 2
, 1
,
c
ij
= Besaran dari Knapsack c
ij
Karena persoalan Knapsack untuk mencari persoalan 0 dan 1, dan kendala di atas
ij
x
atau 1, persoalan ini dinamakan persoalan Knapsack. untuk
untuk untuk
2
3
5 2 x
1
5 x
8
1 x
6
3 x
3
x
2
x
4
1 1
x
5
x
7
3 2
1
4
Universitas Sumatera Utara
yaitu: Minimumkan Z =
5 1
5 1
j ij
ij i
x c
=
5 1
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
i i
i i
i i
i i
i i
i
x c
x c
x c
x c
x c
=
5 1
5 1
5 1
5 1
5 5
4 4
5 1
3 3
2 2
1 1
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
x c
x c
x c
x c
x c
=
55 55
45 45
35 35
25 25
15 15
54 54
44 44
34 34
24 24
14 14
53 53
43 43
33 33
23 23
13 13
52 52
42 42
32 32
22 22
12 12
51 51
41 41
31 31
21 21
11 11
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
Dari hasil substitusi di atas, diperoleh: Minimumkan
Z =
45 45
35 35
25 25
14 14
43 43
13 13
32 32
12 12
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
dengan kendala:
5 1
5 1
1 1
j k
ki ij
x x
m i
i i
1
1
ij
x
atau 1
ij
x m
j i
,....., 2
, 1
.
Titik 1
1
51 41
31 21
11 15
14 13
12 11
x x
x x
x x
x x
x x
Titik 2
52 42
32 22
12 25
24 23
22 21
x x
x x
x x
x x
x x
Titik 3
53 43
33 23
13 35
34 33
32 31
x x
x x
x x
x x
x x
Titik 4
54 44
34 24
14 45
44 43
42 41
x x
x x
x x
x x
x x
Titik 5
1
55 45
35 25
15 55
54 53
52 51
x
x x
x x
x x
x x
x untuk
untuk untuk
Universitas Sumatera Utara
dengan kendala: Titik 1
1
14 13
12
x
x x
Titik 2
32 12
25
x
x x
Titik 3
43 13
35 32
x x
x x
Titik 4
14 45
43
x
x x
Titik 5 1
45 35
25
x
x x
Setelah disubstitusikan: Minimunkan
Z =
45 45
43 43
35 35
32 32
25 25
14 14
13 13
12 12
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
x c
dengan kendala:
Titik 1 1
14 13
12
x
x x
Titik 2
32 12
25
x
x x
Titik 3
43 13
35 32
x x
x x
Titik 4
14 45
43
x
x x
Titik 5 1
45 35
25
x
x x
Lalu masukkan biaya masing-masing
Minimumkan Z =
8 7
6 5
4 3
2 1
5 3
4 3
2 2
x x
x x
x x
x x
dengan kendala:
Titik 1 1
3 2
1
x
x x
Titik 2
5 1
8
x
x x
Titik 3
4 2
7 5
x x
x x
Titik 4
3 6
4
x
x x
Titik 5 1
6 7
8
x x
x
Universitas Sumatera Utara
, ,
, ,
, ,
,
8 7
6 5
4 3
2 1
x
x x
x x
x x
x atau 1
Model ini dapat diselesaikan dengan metode Branch and Bound dengan cara menambahkan
delapan kendala
berikut untuk
menggantikan kendala
, ,
, ,
, ,
,
8 7
6 5
4 3
2 1
x
x x
x x
x x
x atau 1. Ke delapan kendala ini adalah:
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1
8 7
6 5
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
Cara lain untuk menyelesaikan masalah ini secara sederhana adalah dengan complete enumeration. Dengan cara ini solusi yang tak memenuhi diabaikan dan solusi
yang memenuhi dievaluasi untuk dipilih yang terbaik. Contoh kasus tersebut terdapat 8 variabel, sehingga ada 256 kemungkinan yang layak.
Evaluasi semua kemungkinan ini adalah:
Tabel. 3.1. Enumerasi Lengkap
Kemungkinan ke x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
Kelayakan Nilai Z
1 -
2 1
- 5
3 1
- 3
4 1
1 Ya
4 5
1 -
4 6
1 -
1 7
1 1
Ya 5
8 1
- 2
9 1
- 2
10 1
1 Ya
7
Universitas Sumatera Utara
11 1
1 -
5 12
1 1
- 4
13 1
1 -
5 14
1 1
1 Ya
7 15
1 1
- 4
16 1
1 1
Ya 11
17 1
1 -
5 18
1 1
- 3
19 1
1 -
7 20
1 1
1 1
Ya 13
- -
- 256
1 1
1 1
1 1
1 1
- 21
Di antara 256 kemungkinan solusi hanya ada 6 kemungkinan yang memenuhi, yang lain melanggar salah satu atau beberapa kendala. Di antara solusi yang layak, kemungkinan ke
4 empat adalah lintasan terpendek.
Sehingga diperoleh lintasan terpendek: x
3
x
6
= 4 x
2
x
7
= 5 x
1
x
8
= 7 x
3
x
4
x
7
= 7 x
2
x
5
x
8
= 11 x
3
x
4
x
5
x
8
= 13
Biaya termurah dari lintasan terpendek ini adalah: x
3
x
6
= 4
Universitas Sumatera Utara
di mana harga seluruhnya dari lintasan terpendek ini adalah: Z
= 2x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 5x
8
+ 4x
5
+ 3x
2
+ x
4
+ x
6
= 2 + 2 + 3 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 = 21
3.3 Analisis Pemrograman Dinamik
Kategori