Definisi 2.4 Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
menyangkut turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas Ross, 1984: 4.
Definisi 2.5 Sistem persamaan diferensial berdimensi
adalah suatu sistem yang memuat
buah persamaan diferensial dengan buah fungsi yang tidak
diketahui, dimana merupakan bilangan bulat positif dengan 2 Edward dan
Penney, 2001. Definisi 2.6
Sistem otonomus mempunyai bentuk :
, ,
dx x
f x y dt
dy y
g x y dt
2.4
dimana turunan dx
x dt
dan dy
y dt
hanya bergantung pada x,y dan tidak bergantung secara eksplisit pada variabel t Boyce dan DiPrima, 1992.
Definisi 2.7 Andaikan titik kritis sistem adalah titik
, x y
, sedemikian sehingga
, ,
f x y g x y
. Titik kritis ,
x y merupakan solusi sistem yang
bernilai konstan, karena dx
dt dan
dy dt
pada titik ,
x y . Keadaan yang
menyebabkan dx
dt dan
dy dt
disebut sebagai keadaan setimbang, dan titik yang memenuhinya disebut titik kesetimbangan Edward dan Penney, 2001.
2.5 Norm
Norm adalah fungsi . :V yang memenuhi
1. u
; u
u 2.
u u
3. u v
u v untuk semua ,
, u v
X
Universitas Sumatera Utara
2.6 Kestabilan Lyapunov
Definisi 2.8 : x t dikatakan stabil stabil Lyapunov jika diberikan
0 ada 0 sedemikian sehingga untuk solusi yang lain,
y t dari fungsi memenuhi
x t y t
dan juga memenuhi x t
y t untuk
, t
t t
. Definisi 2.9 :
x t dikatakan stabil asimtotik jika memenuhi stabil Lyapunov dan untuk setiap solusi yang lainnya,
y t dari fungsi ada konstanta b
sedemikian sehingga jika
x t y t
b maka lim
t
x t y t
. Definisi 2.10
Suatu fungsi V x dikatakan definit positif jika berlaku
i V
ii 0,
V x x
didalam lingkungan x k dari titik 0
Definisi 2.11 Suatu fungsi
V x dikatakan semidefinit negatif jika berlaku i
V ii
0, V x
x dengan x k
Definisi 2.12 Fungsi
:
n
V dikatakan fungsi Lyapunov jika berlaku
iii
V x
dan
i
V x
,
1, 2,..., i
n
kontinu iv
V x definit positif v
Turunan V terhadap : V semidefinit negatif misal
1 2
1 2
...
n n
V V
V V x
x x
x x
x x
2.6
1 2
1 2
...
n n
V V
V f
f f
x x
x
2.7
Universitas Sumatera Utara
Teorema 2.1 Titik kesetimbangan
x untuk persamaan diferensial adalah stabil jika
terdapat suatu fungsi yang memenuhi fungsi Lyapunov. Bukti :
Dari syarat awal i dan ii untuk
V x
, dapat diperlihatkan eksistensi fungsi real r yang kontinu dan monoton naik pada 0
r k dengan
0 yang memenuhi:
V x x
Ambil 0 sebarang. Tinjau vektor-vektor
x
yang memenuhi
V x
. Pilih
0 sehingga x dengan
V x
. Maka untuk setiap solusi persamaan yang memenuhi
x t x
dengan x
dan
V x
. Dari V c berlaku
, V x t
V x t V x t
V x t
t
, x t
V x t V x
t t
Karena r monoton naik, dari hubungan
, x t
t t
Didapat ,
x t t
t Ini berarti bahwa titik
x stabil.
Teorema 2.2 Titik kesetimbangan
x untuk persamaan diferensial adalah stabil
asimtotik jika
terdapat fungsi
Lyapunov yang
definit negatif
0, 0,
V V x
x
dengan 0 x
k . Bukti :
Dari teorema 2.1, titik x
adalah stabil. Karena
V x t
maka
V x t
monoton turun untuk
t t
. Karena
0, V x t
t t
maka V x t
jika t
, jika titik
, V x t
c c
hal ini bertentangan dengan kestabilan titik x
. Dari
hubungan V x t
x t maka
x t yang
memperlihatkan bahwa x t
jika t
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
