Mt =
kerapatan jumlah sel darah putih pada waktu t, = laju perpindahan sel dari fase istirahat menuju fase proliferasi per
satuan waktu k
= laju perpindahan sel dari fase istirahat menuju proses diferensiasi per satuan waktu
= waktu yang dibutuhkan dalam pembelahan sel darah pada fase proliferasi per satuan waktu
= waktu yang dibutuhkan dalam proses diferensiasi sel darah per satuan waktu
= laju kematian karena apoptosis per satuan waktu = laju kematian setelah sel darah matang per satuan waktu
A = konstanta pembelahan sel dalam proses diferensiasi
Dengan diagram kompartemen stem sel, dapat dikonstruksikan model persamaan sebagai berikut:
1 1 1
1
2 dN
N N k M N
e N
N dt
4.5
2 2
2
dM M
Ak M N
dt 4.6
Dimana
1
1
N N t
dan
2
2
M M t
Mekanisme sirkulasi sel darah putih manusia normal dengan pasien LMK sebenarnya sama, yang membedakan hanya parameternya saja, sehingga model
kompartemen dari LMK sama dengan model kompartemen stem sel. Pada pasien LMK, rata-rata laju apoptosis sel-sel leukimia jauh lebih kecil daripada laju
apoptosis sel-sel normal dan waktu yang digunakan dalam fase non proliferasi di sumsum tulang relatif lebih panjang daripada sel normal.
4.2 Titik Kesetimbangan Model Kompartemen Stem Sel
Titik kesetimbangan pada model kompartemen stem sel dapat diperoleh dengan cara membuat ruas kanan dari persamaan menjadi nol, sehingga didapatkan
1 1 1
1
2 dN
N N k M N
e N
N dt
4.7
Universitas Sumatera Utara
2 2
2
dM M
Ak M N
dt 4.8
Agar diperoleh keadaan setimbang , N M
, maka waktu yang digunakan menuju pada jumlah yang tidak berhingga, oleh karena itu keadaan
1
dan
2
dapat diabaikan. Sehingga, dari persamaan didapatkan solusi titik kesetimbangan
, N M
yang memenuhi persamaan
1 1
2 N
N k M
N e
N N
4.9 Dan
2
M Ak M N
4.10 Dari persamaan 4.9 dan 4.10 didapatkan bahwa titik 0,0 merupakan titik
kesetimbangan trivial sistem persamaan, sedangkan untuk memperoleh titik kesetimbangan non-trivial, yaitu titik
, N M
, dimana N
dan M
, dilakukan penyederhanaan persamaan 4.9 , sehingga diperoleh persamaan
1 1
2 N
k M e
N
4.11 Atau
1 1
2 1
k M N
e
4.12 Substitusikan persamaan 4.1 ke persamaan 4.12 sehingga diperoleh
1 1
1 1
2 1
n n
n
k M N
e 4.13
Sehingga didapatkan N , yaitu
1 1
1
2 1
1
n
e N
k M 4.14
Dari persamaan 4.10 diperoleh persamaan yang baru, yaitu
2
M k M
AN
4.15 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.3 ke persamaan 4.15 didapatkan
Universitas Sumatera Utara
2 2
2 m
m m
M k
M AN
4.16 Sehingga diperoleh
M
, yaitu
2 2
1
m
k AN M
M 4.17
Jadi titik kesetimbangan non-trivial dari sistem persamaan model kompartemen stem sel yaitu
1 1
1 2
2
2 1
, 1,
1
n m
e k AN
N M k M
M
4.18
4.3 Analisis model kompartemen stem Sel
Persamaan yang akan dianalis dengan menggunakan Fungsi Lypunov adalah sistem persamaan 4.5 dan 4.6. Setelah mendapatkan titik kesetimbangan dari
persamaan tersebut kita akan menyelidiki apakah persamaan tersebut stabil atau tidak. Bentuk persamaan 4.5 dan 4.6 dapat kita ubah kedalam bentuk lain
karena untuk mencapai keadaan setimbang
, N M
,maka waktu yang digunakan mengacu pada jumlah tak berhingga sehingga keberadaan
1
dan
2
dapat diabaikan. Oleh karena itu bentuk persamaan 4.5 dan 4.6 berubah menjadi
1 1
2 N
N N k M N
e N N
4.20
2
M M
Ak M N
4.21 Fungsi Lyapunov yang dipakai adalah
2 2
, 2
V N M N
M
Fungsi , V N M adalah fungsi Lyapunov karena
i
, V N M
dan 4
V N
N ,
2 V
M M
kontinu untuk semua
, N M
ii
V
dan
, V N M
, x
di
2
; jadi V definit positif
iii
4 2
V NN
MM
Universitas Sumatera Utara
Setelah membuktikan bahwa fungsi ,
V N M adalah fungsi Lyapunov maka substitusikan persamaan 4.20 dan 4.21 ke dalam syarat ke iii, sehingga akan
diperoleh
1 1
2
4 2
2 V
N N N
k M N e
N N M
M Ak M N
4.22
1 1
2 2
2 2
2
4 4
8 2
2 V
N N k M N
e N N
M Ak M MN
4.23
1 1
2 2
2
8 4
2 4 2
V N N
e k M N
AM N
M
4.24 Dari hasil turunan dari fungsi Lyapunov tersebut dapat dilihat dengan jelas bahwa
V
. Seperti yang tertulis sebelumnya dalam persamaan 4.2 dan 4.4 bahwa fungsi
dan fungsi k adalah fungsi monoton turun positif maka nilai
N dan k M akan menjadi 0 jika
, N M
. Dengan demikian persamaan 4.24 akan berubah menjadi
2 2
2 V
M
4.25 Selain fungsi Lyapunov diatas, kita juga bisa menggunakan fungsi lyapunov
lainnya seperti: 1.
2 2
1 1
, 2
2 V N M
KN M
4.26 Dari persamaan diatas jelas terlihat bahwa
V
dan ,
V N M ,
untuk setiap ,
N M . Setelah membuktikan bahwa fungsi tersebut
adalah Lypunov, maka akan dicari apakah hasilnya sama dengan fungsi Lyapunov yang pertama.
V KNN
MM 4.27
1 1
2
2 V
KN N N
k M N e
N N M
M Ak M N
4.28
1 1
2 2
2 2
2
2 V
K N N
Kk M M e
K N N
M Ak M NM
4.29 Untuk nilai
, N M
maka nilai dari ,
V N M sedangkan jika nilai
, N M
maka dari asumsi bahwa fungsi dan
k adalah fungsi monoton
Universitas Sumatera Utara
turun positif dimana jika nilai ,
N M maka nilai fungsi
dan k
adalah nol akan membuat fungsi turunan Lyapunov berubah menjadi
2 2
2 V
M 2.
2 2
, V N M
N M
4.30 Dari persamaan diatas juga terlihat bahwa
V dan
, V N M
, untuk setiap
, N M
. Setelah mengetahui bahwa fungsi tersebut adalah fungsi Lyapunov maka akan dibuktikan apakah turunannya sama seperti
turunan pertama. 2
2 V
NN MM
4.31
1 1
2
2 2
2 V
N N N
k M N e
N N M
M Ak M N
4.32
1 1
2 2
2 2
2
2 2
4 2
2 V
N N k M N
e N N
M Ak M NM
4.33 Untuk nilai
, N M
maka nilai dari ,
V N M sedangkan jika nilai
, N M
maka dari asumsi bahwa fungsi dan
k adalah fungsi monoton turun positif dimana jika nilai
, N M
maka nilai fungsi dan
k adalah nol, sehingga fungsi turunan Lyapunov berubah menjadi
2 2
2 V
M
Setelah menyelesaikan beberapa fungsi Lyapunov dapat dilihat bahwa fungsi Lyapunov yang telah diselesaikan memperoleh hasil yang sama yaitu yang
terdapat pada persamaan 4.25. Melihat perubahan dari turunan fungsi Lyapunov maka dapat diperlihatkan bahwa
, V N M
untuk setiap
, N M
jika
2
. Sesuai dengan Teorema 2.2 maka dapat disimpulkan bahwa kestabilan titik
kesetimbangan model kompartemen stem sel adalah stabil asimtotik jika
2
. Hal ini menjelaskan bahwa kestabilan model komparrtemen stem sel sangat
dipengaruhi oleh laju kematian sel darah putih yang telah matang yakni jika laju kematian semakin cepat atau semakin besar maka jumlah sel darah putih tidak
akan berkembang dengan pesat sehingga kestabilan model penyakit leukimia akan tetap terjaga.
Universitas Sumatera Utara
4.4 Model Kompartemen Stem Sel Setelah Dikemoterapi
