BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Luas Daerah Di antara Dua Kurva
BAB: PENERAPAN INTEGRAL
Topik: Luas Daerah Di antara Dua Kurva
Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menentukan
luas daerah di antara dua kurva dengan menggunakan integral tentu.
1. UAS Kalkulus/1, Semester Pendek 2004 no. 4 (kriteria: mudah)
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2 dan kurva y = x2 .
Jawab:
Gambar daerah yang dibatasi kurva y = x + 2 dan y = x2 adalah
Luas daerahnya adalah
L =
Z
=
Catatan:
x+2
9
2
x2 dx
1
1 2
x + 2x
2
8
2+4
3
=
=
2
1 3
x
3
2
1
1
2
2+
1
3
Misalkan tidak diketahui gambarnya, maka ditentukan terlebih dahulu
titik potong kedua kurva dengan cara sebagai berikut:
x2
x2 x 2
(x 2) (x + 1)
x
=
=
=
=
x+2
0
0
2 atau x =
1
Kemudian untuk menentukan kurva yang di atas atau kurva yang di
bawah, misalkan
f (x) = x2 dan g (x) = x + 2 ,
kemudian periksa nilai f (x) g (x) pada selang yang ditentukan. Untuk
kasus ini, f (x) g (x) = x2 (x + 2) dan pada selang [ 1; 2]
f (x)
g (x)
1
2
Jadi kurva f di bawah kurva g pada selang [ 1; 2] :
2. UAS Kalkulus (1) 2004 no. 5
Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan sumbu
x pada selang [0; 2 ].
Jawab:
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan sumbu-x pada selang
[0; 2 ]
Jadi luas daerahnya adalah
Z
(sin x
L =
0
0) dx +
Z
2
(0
sin x) dx
= [ cos x]0 + [cos x]2
= ( cos + cos 0) + (cos 2
cos )
= ( ( 1) + 1) + (1 ( 1)) = 4:
3. UAS Kalkulus (1) tahun 2003 no. 4 (kriteria: mudah)
Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh parabola x = y 2 dan kurva
x = 2 y:
Jawab:
Gambar daerahnya:
Cara 1 (y sebagai variabel pengintegralan) ! lebih dianjurkan
Z 1
2 y y 2 dy
L =
2
1
=
2y
=
2
=
9
:
2
1 2 1 3
y
y
2
3
2
1 1
2 ( 2)
2 3
1
( 2)2
2
1
( 2)3
3
Cara 2 (x sebagai variabel pengintegralan)
Z 4
Z 1
p
p
(2 x)
x
x dx +
L =
1
0
Z 4
Z 1
p
p
2 x + x dx
2 xdx +
=
2
x
dx
1
0
=
p
1
2
3
x3=2
1 2 2 3=2
x + x
2
3
1 2
2
+
2 3
+ 2x
0
4
+ 8
=
3
9
=
:
2
16
8+
3
4
1
4. UAS Kalkulus (1) tahun 2002 no. 3a (kriteria mudah)
Diketahui R adalah bidang datar yang dibatasi kurva y = x dan y = x2 :
Tentukan luas daerah R:
Jawab:
Titik potong kurva y = x dan y = x2 diperoleh dari
x = x2 =) x (x
1) = 0 =) x = 0, x = 1:
(a) Luas daerah R adalah
Z
1
1
x
x
2
dx =
0
=
1 2 1 3
x
x
2
3
0
1 1
1
0= :
2 3
6
5. UAS Kalkulus tahun 2001 no. 2.
Daerah D dibatasi gra…k fungsi y = x2 dan x + y = 2: Hitung luas
daerah D:
Jawab:
Titik potong kedua kurva dicari dengan cara sebagai berikut:
x2
x2 + x 2
(x + 2) (x 1)
x
= 2 x
= 0
= 0
=
2; x = 1
Luas daerah yang dimaksud
Z 1
2 x x2 dx =
2
1 2 1 3
2x
x
x
2
3
1 1
=
2
2 3
9
=
:
2
1
2
4
1 8
+
2 3
6. UAS Kalkulus 1 tahun 2001 no. 8.
Diberikan daerah D yang dibatasi oleh gra…k fungsi f dan g dengan
f (x) = (x
g (x) =
(a) Buatlah sketsa daerah D:
1)2
x+1
; x
Topik: Luas Daerah Di antara Dua Kurva
Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menentukan
luas daerah di antara dua kurva dengan menggunakan integral tentu.
1. UAS Kalkulus/1, Semester Pendek 2004 no. 4 (kriteria: mudah)
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x + 2 dan kurva y = x2 .
Jawab:
Gambar daerah yang dibatasi kurva y = x + 2 dan y = x2 adalah
Luas daerahnya adalah
L =
Z
=
Catatan:
x+2
9
2
x2 dx
1
1 2
x + 2x
2
8
2+4
3
=
=
2
1 3
x
3
2
1
1
2
2+
1
3
Misalkan tidak diketahui gambarnya, maka ditentukan terlebih dahulu
titik potong kedua kurva dengan cara sebagai berikut:
x2
x2 x 2
(x 2) (x + 1)
x
=
=
=
=
x+2
0
0
2 atau x =
1
Kemudian untuk menentukan kurva yang di atas atau kurva yang di
bawah, misalkan
f (x) = x2 dan g (x) = x + 2 ,
kemudian periksa nilai f (x) g (x) pada selang yang ditentukan. Untuk
kasus ini, f (x) g (x) = x2 (x + 2) dan pada selang [ 1; 2]
f (x)
g (x)
1
2
Jadi kurva f di bawah kurva g pada selang [ 1; 2] :
2. UAS Kalkulus (1) 2004 no. 5
Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan sumbu
x pada selang [0; 2 ].
Jawab:
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x dan sumbu-x pada selang
[0; 2 ]
Jadi luas daerahnya adalah
Z
(sin x
L =
0
0) dx +
Z
2
(0
sin x) dx
= [ cos x]0 + [cos x]2
= ( cos + cos 0) + (cos 2
cos )
= ( ( 1) + 1) + (1 ( 1)) = 4:
3. UAS Kalkulus (1) tahun 2003 no. 4 (kriteria: mudah)
Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh parabola x = y 2 dan kurva
x = 2 y:
Jawab:
Gambar daerahnya:
Cara 1 (y sebagai variabel pengintegralan) ! lebih dianjurkan
Z 1
2 y y 2 dy
L =
2
1
=
2y
=
2
=
9
:
2
1 2 1 3
y
y
2
3
2
1 1
2 ( 2)
2 3
1
( 2)2
2
1
( 2)3
3
Cara 2 (x sebagai variabel pengintegralan)
Z 4
Z 1
p
p
(2 x)
x
x dx +
L =
1
0
Z 4
Z 1
p
p
2 x + x dx
2 xdx +
=
2
x
dx
1
0
=
p
1
2
3
x3=2
1 2 2 3=2
x + x
2
3
1 2
2
+
2 3
+ 2x
0
4
+ 8
=
3
9
=
:
2
16
8+
3
4
1
4. UAS Kalkulus (1) tahun 2002 no. 3a (kriteria mudah)
Diketahui R adalah bidang datar yang dibatasi kurva y = x dan y = x2 :
Tentukan luas daerah R:
Jawab:
Titik potong kurva y = x dan y = x2 diperoleh dari
x = x2 =) x (x
1) = 0 =) x = 0, x = 1:
(a) Luas daerah R adalah
Z
1
1
x
x
2
dx =
0
=
1 2 1 3
x
x
2
3
0
1 1
1
0= :
2 3
6
5. UAS Kalkulus tahun 2001 no. 2.
Daerah D dibatasi gra…k fungsi y = x2 dan x + y = 2: Hitung luas
daerah D:
Jawab:
Titik potong kedua kurva dicari dengan cara sebagai berikut:
x2
x2 + x 2
(x + 2) (x 1)
x
= 2 x
= 0
= 0
=
2; x = 1
Luas daerah yang dimaksud
Z 1
2 x x2 dx =
2
1 2 1 3
2x
x
x
2
3
1 1
=
2
2 3
9
=
:
2
1
2
4
1 8
+
2 3
6. UAS Kalkulus 1 tahun 2001 no. 8.
Diberikan daerah D yang dibatasi oleh gra…k fungsi f dan g dengan
f (x) = (x
g (x) =
(a) Buatlah sketsa daerah D:
1)2
x+1
; x