Nilai Harapan dari Distribusi G3F

Jadi varians dari distribusi G3F adalah VarX = [ ]

2.3 Metode Probability Weighted Moment PWM

Diawali dari beberapa kelemahan dan kelebihan dari setiap metode pendugaan yang telah ada, maka penggunaan metode PWM dapat dijadikan alternatif lain dalam menduga parameter dari distribusi G3F. Metode PWM merupakan modifikasi dari metode “konvensional” momen dan pertama kali dikemukakan oleh Hosking et al., 1984. Fungsi PWM dari variabel random X dengan fungsi distribusi kumulatif CDF , Fx didefinisikan sebagai berikut: Dalam hal ini r, s dan t merupakan bilangan real. Bila s = t = 0 dan r merupakan bilangan bulat yang tidak negatif maka akan menjadi merupakan momen peluang konvensional yang selama ini dikenal. Adapun subclass dari fungsi PWM di atas dengan XF adalah invers dari fungsi distribusi kumulatif maka fungsi PWM adalah . Sementara dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu s = 0 dan t = 0 , sehingga fungsi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk dimana ∫ dan dimana ∫ Selain itu fungsi PWM dapat juga ditulis secara khusus yakni [ ] , dengan r, s, t adalah bilangan real dan B adalah fungsi beta. Dalam hal ini merupakan momen ke – r dari statistik tataan ke t + 1 untuk sampel berukuran s + t + 1. Sehingga, jika r = 1, s = 0 dan t = 1 maka [ ] = [ ] = [ ] = ∫ 2.4.1 Dengan menyelesaikan akan didapatkan penduga bagi parameter yang masih dinyatakan dalam bentuk Adapun penduga tak bias bagi diperoleh berdasarkan sampel tataan dari sampel berukuran n, dan t bilangan positif dengan menyelesaikan persamaan ̂ ∑ ∑ Selanjutnya dengan mengganti dengan ̂ akan didapatkan penduga parameter dari setiap parameter distribusi.

2.4 Karakteristik Penduga

Untuk mengetahui karakteristik penduga dari distribusi G3F dengan menggunakan metode PWM, maka harus memenuhi sifat – sifat penduga yang baik diantaranya sebagai berikut:

2.4.1 Tak Bias

Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut. Definisi 2.3 Penduga UX = U X 1 , X 2 , . . . , X n dikatakan penduga tak bias bagi bila , Hogg and Craig, 1995.

2.4.2 Varians Minimum

Suatu penduga dikatakan sebagai penduga yang baik selain memiliki sifat tak bias, juga memiliki varians minimum. Definisi 2.4 Misalkan UX adalah penduga tak bias bagi , maka untuk sebarang penduga tak bias U 1 X bagi disebut penduga varians minimum jika Var Var untuk setiap , dimana [ ] Bain and Engelhardt, 1992.