F. Kegiatan Belajar a. Tujuan kegiatan belajar 1:
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini anda diharapkan mampu:
1. Memiliki pengertian tentang persamaan. 2. Menyebutkan dan menuliskan bentuk umum macam-macam persamaan.
3. Menuliskan sifat umum persamaan. 4. Menyelesaikan persamaan dalam matematika maupun dalam persoalan sehari-hari.
b. Uraian materi kegiatan belajar : 1
Pengertian Kalimat terbuka dan kalimat tertutup
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut: 1.
5 + 7 = 12 5.
3 x + 8 = 5 2.
9 − 3 = 5 6.
2 p − 3 = 4 p + 7 3.
6 : 2 = 4 7.
5 3
4 2
1 2
x
x
4. 5 + 8
6 8.
4 5
3 3
6 5
3
x
x x
Pernyataan 1, 2, 3 dan 4 disebut kalimat tertutup yaitu pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan 1 dan 4 bernilai benar, sedang pernyataan 2 dan 3 bernilai salah.
Pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “ = “ , tetapi tidak memuat variabel maka disebut “kesamaan” atau “identitas”.
Pernyataan atau kalimat yang terletak di kiri tanda “=” disebut “ruas kiri”, dan pernyataan atau kalimat yang terletak di kanan tanda “=” disebut “ruas kanan”.
Pada pernyataan 5, 6, 7 dan 8 tidak dapat dinilai langsung kebenarannya. Pernyataan ini disebut pernyataan “terbuka”, yaitu pernyataan yang memuat notasi yang mewakili sesuatu yang
belum jelas nilainya. Notasi yang demikian disebut peubah atau variabel , misalkan: x , y , z , p , q , r , s , t , u dan sebagainya.
F. Persamaan Linear satu peubah
Persamaan linear satu peubah adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya satu.
Contoh 1: 2 x − 5 = 13 ……………..peubahnya satu yaitu x dan pangkatnya 1
5 y + 7 = 2 y − 5 ………peubahnya satu yaitu y dan pangkatnya 1
4 5
3 2
p p
…………….... peubahnya satu yaitu p dan pangkatnya 1
7
Contoh 2: 5 p + 7 y = 8 …… bukan persamaan linear satu peubah karena peubahnya ada dua
yaitu p dan y x
2
− 9 = 0 …. bukan persamaan linear satu peubah walaupun peubahnya hanya satu tetapi pangkat dari peubahnya adalah dua.
Bentuk Umum:
Persamaan linear satu peubah :
Keterangan: a : koefisien dari x ;
x : peubah ; b : konstanta
contoh: 3 x + 15 = 0
2 x - 8 = 0 Pada kedua contoh tersebut, persamaan akan bernilai benar apabila peubahnya berturut-turut
diganti -5 dan 4. Jika nilai peubah dapat mengubah persamaan menjadi pernyataan yang benar, maka nilai-nilai peubah tersebut merupakan “penyelesaian dari suatu persamaan”.
Sifat-sifat Persamaan Linear:
Untuk menyelesaikan suatu persamaan linear ada beberapa sifat penting yang perlu diperhtikan yaitu:
1. Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
2. Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya apabila tiap ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama selain bilangan nol.
Di bawah ini adalah contoh untuk menyelesaikan soal menggunakan sifat-sifat di atas. Tentukan penyelesaian soal-soal di bawah ini:
1. 5 x + 10 = 25 2.
2 1
2 x
=
5 3
4 x
3.
3 2x
− 2 = 1 +
2 x
8 a x + b = 0 , dengan syarat a dan b
R ; dan a ≠ 0 .
Jawab: 1. 5 x + 10 = 25
5 x + 10 − 10 = 25 − 10 ……… ruas kanan dan kiri dikurangi 10 . 5 x
= 15 5 x .
5 1
= 15 .
5 1
………. dikalikan
5 1
x = 3 ………….. hasil penyelesaian
2.
2 1
2 x
=
5 3
4 x
2 1
2 x
× 10 =
5 3
4 x
× 10 … dikalikan KPK dari 2 dan 5 yaitu 10 5 2 x – 1 = 2 4 x – 3
10 x − 5 = 8 x − 6 ………… uraian perkalian 10 x − 5 + 5 = 8 x − 6 + 5 ……… ditambah 5
10 x = 8 x − 1
10 x − 8 x = 8 x − 8 x − 1 …….. dikurangi 8 x 2 x
= - 1 2 x .
2 1
= - 1 .
2 1
……………. dikalikan
2 1
x = -
2 1
………………… hasil penyelesaian Jadi himpunan penyelesaiannya HP adalah
-
2 1
3.
3 2x
− 2 = 1 +
2 x
6
3 2x
− 2 = 6 1 +
2 x
4 x − 12 = 6 + 3 x 4 x − 3 x = 6 + 12
x = 18 Jadi himpunan penyelesaiannya HP adalah
18
Catatan: Untuk menyelesaikan persamaan linear usahakan agar peubah atau variabel-
variabelnya terletak pada satu ruas dan konstanta-konstantanya di ruas lain.
9
Jika dalam suatu persamaan tidak tertulis himpunan semestanya, maka yang dimaksud himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real nyata.
Cara tersebut di atas dapat dipersingkat dengan mengelompokkan suku-suku sejenisnya. Untuk suku yang pindah ruas maka tanda berubah.
Contoh :
1. 5 t − 4 = 3 8 − t
5 t − 20 = 24 − 3 t
5 t + 3 t = 24 + 20
8 t = 44
t = 5
2 1
Jadi HP adalah
5
2 1
2.
4 3
2 2
1 3
2
m m
m
12
m m
2 1
3 2
= 12
4 3
2
m
8 m − 6 m = 6 m − 9
- 4 m = - 9
m = 2
4 1
Jadi HP adalah
2
4 1
Latihan 1: 1.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut: a.
2 x − 3 = 3 x − 7 b.
5 m − 7 = 2 m + 2 c.
4 y − 19 = 17 − 8 y d.
5 + 3 2 − x + 2 = 2 x − 3
e. 8 x − 3 = 4 x + 1 + 5
f. 2 x + 3 x − 5 =
10 g.
5 1 − x + 6 x = 3 x + 7
h. 5 y + 10 = 15 + 4
y i.
3 m + 17 = -3 + 7 m
j. y + 1 = 5 6 − y
+ 1 2.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut: a.
5 3x
− 2 =
3 x
b.
3 x
+
4 3x
= x + 2 c.
6 5
3 x
−
3 3
x x
+
4 5
x
= 0 d.
x 3
2
+
x 4
3
=
4 5
x
e.
x 5
3
−
x 2
1
=
4 3
2 x
f.
4 3
x − 7 = 6 x 10
Mengaplikasikan persamaan linear dalam bidang bisnis dan managemen. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Menterjemahkan soal ke dalam kalimat matematika. 2. Menyusun persamaannya.
3. Menyelesaikan persamaan. 4. Menterjemahkan kembali pada soal semula.
Contoh: 1. Data akuntansi untuk persediaan barang dagangan UD. Sumber Rejeki, bulan Maret 2006
adalah sebagai berikut: - Harga pokok penjualan
: Rp. 20.550.000,00 - Persediaan tanggal 1 Maret 2006
: Rp. 2.300.000,00 - Biaya angkut pembelian
: Rp. 600.000,00 - Persediaan tanggal 31 Maret 2006
: Rp. 750.000,00 - Retur pembelian dan potongan harga
: Rp. 830.000,00 Hitunglah besarnya pembelian selama bulan Maret 2006
Penyelesaiannya dapat dengan menggunakan format sebagai berikut: Bagan perhitungan harga pokok penjualan barang dagang:
Persediaan awal ………….
Pembelian-pembelian …………. +
…………… Biaya angkut pembelian
………….. Retur dan potongan pembelian
………….. – …………..
Persediaan akhir ………….. –
…………. Harga pokok penjualan
…………. – ………….
Jawab: Misalkan jumlah pembelian selama bulan Maret 2006 = x , maka:
2.300.000 + x + 600.000 - 830.000 - 750.000 = 20.550.000 x + 1.320.000
= 20.550.000 x
= 19.230.000 Jadi besarnya pembelian selama bulan Maret 2006 adalah Rp. 19.230.000,00
2. Ibu membeli kue donat sebanyak 9 buah harganya Rp.6.750,00. Berapa harga satu buah donat?
Jawab: Misalnya sebuah kue donat = x , maka 9 x = 6.750
x =
9 750
. 6
= 750. Jadi harga kue donat per buah adalah Rp. 750,00
11
3. Harga sebuah celana, dua kali harga sebuah baju. Dua celana dan tiga baju harganya
Rp. 350.000,00. Berapa harga satu celana dan satu baju ? Penyelesaian:
Misal harga 1 baju B = x harga 1 celana C = 2 x
Harga 2 C + 3 B = 350.000 2 2 x + 3 x = 350.000
4 x + 3 x = 350.000 7 x = 350.000
x = 50.000 Jadi harga 1 baju B = x = Rp. 50.000,00
harga 1 celana C = 2 x = 2 × Rp. 50.000,00 = Rp. 100.000,00 harga 1 celana dan 1 baju = Rp. 100.000,00 + Rp. 50.000,00 = Rp. 150.000,00
Jadi harga 1 celana dan 1 baju adalah Rp. 150.000,00
4. Harga sebuah bolpoin sama dengan tiga kali harga sebuah pensil. Jika jumlah harga
40 bolpoin dan 30 pensil adalah Rp. 150.000,00. Berapakah harga sebuah bolpoin dan harga sebuah pensil masing-masing?
Penyelesaian: Misal harga 1 pensil P = x
harga 1 bolpoin B = 3 x 40 B + 30 P = 150.000
40 3 x + 30 x = 150.000 120 x + 30 x = 150.000
150 x = 150.000 x = 1.000
Jadi harga 1 pensil P = x = Rp. 1.000,00 harga 1 bolpoin B = 3 x = 3 × Rp. 1.000,00 = Rp. 3.000,00
12
Latihan: 1. Tentukan hipunan penyelesaian setiap persamaan di bawah ini, jika peubahnya pada
himpunan bilangan rasional. a. 5 p − 6 = 3 8 − p
b. 9 x − x − 11 = 5 − x − 3 c. – 2 + 3 a = 7 − 8 + 3 a
d. 3 m − 5 − 9 = 6 − 7 m 2. Tentukan hipunan penyelesaian setiap persamaan di bawah ini, jika peubahnya pada
himpunan bilangan rasional. a.
5 3x
− 3 =
2 x
b.
4 y
−
3 2 y
= 5 c.
3 3
2
z
= 5
2
z
d. p
p 3
2 4
3
=
4 3
2 p
3. Harga dua loyang cake keju sama dengan harga tiga loyang cake coklat. Jika harga enam loyang cake coklat Rp. 72.000,00. Hitunglah harga satu loyang cake
keju. 4. Jumlah harga 3 m kain katun Jepang dan 5 m kain phiskin adalah Rp. 77.000,00.
Sedangkan harga 1 m kain katun Jepang sama dengan dua kali harga 1 m kain phiskin. Jika Atun membeli 1 m kain katun Jepang dan 1 m kain phiskin, berapa
rupiah Atun harus membayar?.
C. Persamaan Linear dua peubah variabel
Kategori