Penentuan Besar Beban Kritis (Pcr) Pada Struktur Portal Baja Beratap Pelana (Gable Frame) (Dengan Kemiringan Sudut Atap Bervariasi)

(1)

PENENTUAN BESAR BEBAN KRITIS (PCR)

PADA STRUKTUR PORTAL BAJA BERATAP PELANA

(GABLE FRAME)

(Dengan kemiringan sudut atap bervariasi)

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

GANDA PUTRA A. HUTAPEA 03 0404 098

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

(2)

ABSTRAK

Penentuan besar beban kritis (Pcr) yang terjadi pada suatu struktur sangatlah diperlukan untuk memperkirakan besar beban yang masih dapat ditahan struktur itu sendiri sebelum mengalami keruntuhan. Beberapa metode dalam penentuan besar beban kritis (Pcr) telah dikembangkan secara luas dan baik antara lain berdasarkan pendekatan fungsi stabilitas dengan melakukan analisa tekuk portal secara keseluruhan namun prosedurnya agak sulit dan tidak praktis. Selain itu juga dapat digunakan metode grafis dengan menggunakan nomogram (Alignment Chart) tetapi metode ini masih menganut beberapa asumsi yang kurang realistik dan anggapan kondisi perletakan jepit sempurna ataupun sendi ideal yangmana hampir tidak pernah dijumpai pada struktur sebenarnya.

Pembahasan menggunakan metode analisa matriks kekakuan struktur (Matrix Stiffness Method) dengan menggunakan deformasi pada joint sebagai variabel bebas. Metode ini terdiri atas penentuan matriks kekakuan global yang meliputi keseluruhan struktur yang mengalami lenturan serta matriks kekakuan geometri yang memuat efek dari pembebanan aksial pada kekakuan tekuk. Selain itu juga akan diberikan hasil perhitungan dengan metode nomogram (Alignment Chart) serta dibandingkan dengan bantuan software komputer SAP2000 v.11.0.0 yang menggunakan metode elemen hingga.

Hasil yang diperoleh untuk penentuan besar beban kritis (Pcr) secara numerik dengan analisa matriks kekakuan dan bantuan software komputer SAP2000 v.11.0.0 cukup mendekati dengan persentase selisih besar beban kritis (Pcr) yakni 3% untuk perletakan jepit-jepit dan 4% untuk perletakan sendi-sendi. Namun masih terdapatnya hasil yang cukup berbeda dengan metode nomogram disebabkan karena asumsi perletakan jepit sempurna dan sendi ideal yangmana hampir tidak pernah dijumpai pada struktur sebenarnya. Dimana asumsi pengambilan kekakuan Ga=10 pada perletakan sendi dan Ga=1 pada perletakan jepit merupakan nilai pendekatan. Dari hasil perhitungan ini nilai kekakuan Ga yang sebenarnya untuk perletakan sendi berada diantara 10 sampai dengan tak berhingga dan untuk perletakan jepit berada diantara 1 sampai dengan 0. Sehingga penentuan besar beban kritis pada struktur gable frame tidak disarankan menggunakan metode grafis dengan nomogram (Alignment Chart).

(3)

ABSTRAK

(4)

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang Masalah

Struktur baja dapat dibagi atas tiga kategori umum: (a) struktur rangka (framed structure), yang elemennya bisa terdiri dari batang tarik dan tekan, kolom, balok, dan batang yang mengalami gabungan lenturan dan beban aksial; (b) struktur cangkang (shell), yang tegangan aksialnya lebih dominan; dan (c) struktur gantung (suspension), yang sistem pendukung utamanya mengalami tarikan aksial yang dominan.

Konsep dari faktor panjang efektif kolom untuk penentuan besar beban kritis telah dikembangkan secara baik dan digunakan secara luas untuk perencanaan praktis dan mempunyai hubungan penting di dalam desain bagian tekan pada struktur.

Dalam penulisan ini akan dibahas mengenai struktur rangka (framed

structure) terutama pada struktur portal pelana (gable frame).

Gable frame / rangka portal pelana umumnya bertingkat tunggal, sistem rangka dengan bagian atas berbentuk segitiga dan cocok digunakan sebagai struktur pada bagian atap.

(5)

Gambar I.1 Struktur Portal Atap Pelana (Gable Frame)

Pada struktur gable frame dengan pengekangan (braced) normal atau dengan penggunaan tumpuan lateral sehingga kemungkinan untuk pergeseran ke arah samping tidak ada. Sebaliknya jika tanpa pengekangan maka pergeseran ke arah samping akan bertolak secara paralel menuju bidang rangka tersebut.

Perlunya suatu ketentuan khusus bahwa penentuan faktor panjang efektif akan lebih besar dibandingkan kesatuan yang digunakan dalam menghitung rasio kelangsingan (slenderness ratio) pada bidang rangka dengan pergeseran ke arah samping.

Panjang efektif kolom pada portal dapat ditentukan berdasarkan pendekatan fungsi stabilitas dengan melakukan analisis tekuk portal secara keseluruhan. Namun prosedur pelaksanaannya agak sulit dan sangat tidak praktis.

Cara lain untuk menentukan besar beban kritis pada kolom portal adalah dengan metode nomogram (Alignment chart). Metode ini melibatkan analisis eksak

(6)

yang kurang realistik, antara lain dengan asumsi semua kolom mempunyai parameter kekakuan sama, dan hanya bergantung pada panjang, gaya aksial, dan momen inersia kolom. Selain itu prosedur nomogram akan lebih akurat jika parameter kekakuan kolom-kolom tersambung adalah sama dengan kolom yang dianalisa serta bentuk struktur yang beraturan. Di sini juga terdapat ketidaksesuaian dimana asumsi yang digunakan untuk penetapan kekakuan pada suatu titik simpul (Nodal) menunjukkan bahwa kondisi jepit sempurna atau sendi ideal yang mana hampir tidak pernah

dijumpai pada struktur sebenarnya.

Dalam tulisan ini disajikan pembahasan besar beban kritis pada kolom portal dengan menerapkan penggunaan nomogram dimana akan terlihat pengaruh sudut kemiringan pada balok serta ketidakteraturan struktur. Selain itu juga akan dilakukan analisa secara metode matriks kekakuan (Matrix Stiffness Method). Metode ini digunakan untuk menganalisa struktur kompleks dengan bantuan komputer elektronik. Metode matriks kekakuan menggunakan deformasi pada joint sebagai variable bebas. Seperti halnya metode slope-deflection dan distribusi-momen, matriks kekakuan struktur tidak melibatkan konsep ketidakpastian (indeterminacy).

Pembahasan kekuatan kolom sampai saat ini dengan menganggap bahwa kedua ujung kolom merupakan sendi atau tidak mengekang momen. Ujung yang tidak mengekang momen merupakan keadaan terlemah untuk batang tekan bila translasi salah satu ujung terhadap ujung lainnya dicegah. Untuk kolom berujung sendi, panjang ujung sendi ekivalen yang disebut panjang efektif sama dengan panjang yang sesungguhnya.

(7)

I.2 Maksud dan Tujuan

Adapun maksud dan tujuan dalam penulisan tugas akhir ini adalah untuk menentukan besar beban kritis yang dapat dipikul oleh struktur gable frame dengan sudut kemiringan atap yang bervariasi, sehingga didapatnya sudut kemiringan atap pada struktur gable frame yang ideal dalam perencanaan. Selain itu juga untuk menerapkan penggunaan nomogram pada struktur gable frame.

I.3 Manfaat

Dengan adanya penulisan ini diharapkan dapat memberikan penentuan besar beban kritis pada struktur gable frame terutama dalam pemilihan sudut kemiringan atap yang ideal dalam perencanaan nantinya.

I.4 Pembatasan Masalah

Melihat kompleksnya permasalahan yang timbul, penulis mencoba membatasi kajian yang terarah pada tujuan yang dicapai tanpa mengurangi kedalaman kajian tulisan ini, adapun pembatasan tersebut yaitu:

1. Struktur gable frame dengan tumpuan sendi-sendi dan jepit-jepit.

2. Sudut kemiringan atap bervariasi mulai dari 00 sampai dengan 500 dengan

kenaikan kemiringan 50

(8)

4. Semua kolom pada tingkat yang sama akan tertekuk secara bersamaan.

5. Pada titik simpul, momen pengekang yang ditimbulkan oleh balok disebar

ke kolom-kolom sebanding dengan kekakuannya.

6. Pembebanan kritis merupakan beban terpusat pada kedua sisi kolom.

7. Sambungan menggunakan sambungan kaku (Rigid Joint).

8. Alat bantu dengan program komputer SAP2000 v11.0.0 (Structure

Analysis Programme)

I.5 Metodologi

Pada awal pembahasan, akan dibahas penentuan besar beban kritis yang terjadi pada struktur gable frame dengan sudut kemiringan atap bervariasi dengan analisa menggunakan metode matriks kekakuan struktur (Structure Stiffness Matrix) dengan menentukan terlebih dahulu matriks kekakuan global serta geometri struktur. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan secara grafis dengan penggunaan nomogram (Alignment Chart) dan pada akhirnya penentuan besar beban kritis dengan menggunakan program komputer SAP2000 v11.0.0. Dari sini akan didapat perbandingan serta selisih besar penentuan beban kritis pada struktur gable frame dengan ketiga metode di atas.

(9)

BAB II

LANDASAN TEORI

II.1 Tipe-tipe struktur

Struktur dapat dibagi menjadi tiga kategori umum: (a) struktur rangka (framed

structure), dimana elemen-elemennya kemungkinan terdiri dari batang-batang tarik,

tekan, balok, dan batang-batang yang mendapatkan beban lentur kombinasi dan beban aksial; (b) struktur tipe cangkang (shell-type structure), dimana tegangan aksial lebih dominan; dan (c) struktur tipe suspensi (suspension-type structure), dimana tarikan aksial lebih mendominasi sistem pendukung utamanya.

II.1.1 Struktur rangka

Kebanyakan konstruksi bangunan tipikal termasuk di dalam kategori ini. Bangunan banyak lantai biasanya terdiri dari balok dan kolom, baik yang terhubungkan secara rigid atau hanya terhubung sederhana dengan penopang sederhana dengan penopangan diagonal untuk menjaga stabilitas. Meskipun suatu bangunan banyak lantai bersifat tiga dimensional, namun biasanya bangunan tersebut didesain sedemikian rupa sehingga lebih kaku pada salah satu arah ketimbang arah lainnya. Dengan demikian, bangunan tersebut akan diperlakukan sebagai serangkaian rangka (frame) bidang.

(10)

Gambar 2.1: Gambar berbagai bentuk rangka portal

II.1.2 Struktur Tipe Cangkang

Dalam tipe struktur ini, selain melayani fungsi bangunan, kubah juga bertindak sebagai penahan beban. Salah satu tipe yang umum dimana tegangan utamanya berupa tarikan adalah bejana yang digunakan untuk menyimpan cairan (baik untuk temperatur rendah maupun tinggi), diantaranya yang paling terkenal adalah tangki air. Bejana penyimpan, tangki, dan badan kapal merupakan contoh lainnya. Pada banyak struktur dengan tipe cangkang, dapat digunakan pula suatu struktur rangka yang dikombinasikan dengan cangkang tersebut.

II.1.3 Struktur Tipe Suspensi

Pada struktur dengan tipe suspensi, kabel tarik merupakan elemen-elemen utama. Contoh struktur yang paling popular dari jenis ini adalah jembatan gantung. Biasanya subsistem ini dari struktur ini terdiri dari struktur kerangka, seperti misalnya rangka pengaku pada jembatan gantung. Karena elemen tarik ini terbukti paling

(11)

efisien dalam menahan beban, struktur dengan konsep ini semakin banyak dipergunakan.

Telah dibangun pula banyak struktur khusus dengan berbagai kombinasi dari tipe rangka, cangkang dan suspensi. Meskipun demikian, seorang desainer spesialis dalam tipe struktur cangkang ini pun pada dasarnya harus juga memahami desain dan perilaku struktur rangka.

II.2 Perilaku Elemen Struktur

Telah kita ketahui bahwa fungsi struktur merupakan faktor utama dalam penentuan konfigurasi struktural. Komponen-komponen individual dipilih sedemikian rupa sehingga dapat mendukung dan menyalurkan beban-beban ke seluruh struktur dengan tepat berdasarkan konfigurasi struktural serta beban-beban desain.

Selain itu juga terjadi perilaku terhadap batang-batang struktur tersebut antara lain :

II.2.1 Batang Tarik

Batang tarik pada umumnya berwujud penahan tarik pada kerangka, silangan diagonal (diagonal bracing) pada berbagai tipe struktur, penumpu langsung pada balkon, kabel pada sistem atap gantung, dan sebagai kabel utama pada jembatan gantung serta penggantung yang mendukung jalan rayanya.

(12)

II.2.2 Batang Tekan

Karena kekuatan batang tekan merupakan fungsi dari bentuk penampang lintangnya (radius girasi), pada umumnya luas penampangnya disebarkan sepraktis mungkin. Contoh-contoh batang yang mungkin akan mendapat gaya tekan aksial antara lain adalah batang penarik pada kerangka serta kolom-kolom interior dalam bangunan. Kendatipun kondisinya begitu ideal, gaya tekan aksial murni tak akan tercapai; dengan demikian, desain untuk pembebanan aksial berdasar asumsi bahwa efek dari suatu lentur (bending) yang kecil dan terjadi bersamaan dapat diabaikan.

II.2.3 Balok

Balok merupakan batang-batang yang mendapat beban tranversal. Balok paling efisien bila luasannya didistribusikan sedemikian rupa sehingga berada pada suatu jarak praktis terjauh dari sumbu netralnya.

Untuk bentangan sedang yang menanggung beban ringan, sering digunakan balok lintang badan terbuka. Batang ini merupakan batang kerangka tipe tarik (chord) sejajar yang digunakan untuk mendukung lantai dan atap.

II.2.4 Beban Lentur dan Aksial

Bila terjadi tarikan atau tekanan bersama-sama dengan lenturan, muncullah permasalahan tegangan kombinasi, dan tipe batang yang digunakan akan bergantung pada tipe tegangan yang lebih dominan. Suatu batang yang mendapatkan tekanan dan lenturan aksial biasanya disebut sebagai balok-kolom.

(13)

II.3 Teori kestabilan

Kolom-kolom ramping/langsing memiliki tipe pokok perilaku yang biasanya dikenal dengan tekuk. Selama pembebanan yang diberikan relatif kecil, peningkatan dalam pembebanan hanya akan menghasilkan penyusutan aksial. Namun, kadangkala saat beban kritis dicapai, bagian dari struktur akan tiba-tiba tertekuk ke arah samping. Tekuk ini memberikan kenaikan terhadap deformasi yang cukup besar, yang pada selanjutnya dapat menyebabkan keruntuhan struktur. Beban pada saat terjadinya tekuk merupakan kriteria desain untuk bagian yang mengalami tekan.

Bagian tekan, seperti kolom akan mengalami kegagalan ketika tegangan yang terjadi mencapai batasan kekuatan material tertentu. Saat batas kekuatan suatu material diketahui, akan menjadi suatu persoalan yang relatif sederhana untuk menentukan kapasitas beban yang dapat ditahan. Tekuk, tidaklah selalu terjadi sebagai hasil dari tegangan teraplikasi yang mencapai suatu kekuatan material tertentu yang diperkirakan. Justru, tegangan pada saat terjadinya tekuk tergantung atas beberapa faktor, termasuk dimensi struktur, perletakan, dan sifat material.

Teori-teori kestabilan dirumuskan dengan tujuan menentukan berbagai kondisi yang dapat terjadi pada suatu sistem struktural, yang berada pada suatu keadaan seimbang, tetap dalam keadaan stabil.

Ketidakstabilan merupakan sifat dasar dari struktur dari bentuk ekstrim yang dapat terjadi; sebagai contoh, batang-batang langsing panjang, pelat datar tipis, atau cangkang-cangkang silindris tipis. Secara normal, berhubungan dengan sistem dan mempunyai satu variabel N, yang pada umumnya menunjukkan beban luar tetapi juga

(14)

dapat berhubungan dengan temperatur (tekuk yang berkenaan dengan suhu) atau gejala lainnya.

Di dalam permasalahan tekuk klasik, sistem dalam keadaan stabil jika N adalah cukup kecil dan menjadi tidak stabil jika N adalah besar. Nilai dari N dimana suatu sistem struktur mulai tidak stabil disebut dengan nilai kritis Ncr. Secara umum, hal yang tersebut di bawah ini haruslah ditentukan terlebih dahulu:

- Konfigurasi keseimbangan dari struktur dengan pembebanan tertentu.

- Berada pada konfigurasi stabil.

- Nilai kritis pembebanan serta konsekuensi perilaku yang dapat terjadi.

II.3.1 Metode Keseimbangan Netral

Pada keadaan umum, kestabilan dapat didefinisikan sebagai kemampuan suatu sistem fisik untuk dapat kembali ke keadaan seimbang apabila diberikan sedikit gangguan.

Untuk suatu sistem mekanik, kita dapat mengambil batasan seperti yang diberikan oleh Dirichlet: “keseimbangan dari suatu sistem mekanik adalah stabil apabila, di dalam perpindahan titik dari sebuah sistem dari posisi keseimbangan oleh suatu jumlah yang sangat kecil dan memberikan masing-masing suatu kecepatan awal kecil, perpindahan titik yang berbeda dari sistem, sepanjang keadaan gerakan, berada di bawah batas-batas yang telah ditentukan”.

Batasan di atas menunjukkan dengan jelas bahwa kestabilan adalah suatu solusi keseimbangan sistem, dan permasalahan untuk memastikan kestabilan adalah

(15)

Apabila kita menggambarkan suatu sistem konservatik elastik yang pada awalnya dalam keadaan seimbang di bawah pengaruh gaya-gaya, maka sistem akan berubah menjadi keadaan tidak seimbang dengan adanya sedikit gangguan yang diberikan terhadapnya. Jika gaya yang bekerja adalah sebesar W, kemudian:

W = T + V = konstan

Dengan mengingat asas dari kekekalan energi.

Dalam hubungan ini, T adalah energi kinetik sistem dan V adalah energi potensial. Suatu peningkatan kecil pada T, disertai dengan penurunan kecil pada V, atau sebaliknya. Jika sistem pada awalnya berada pada konfigurasi keseimbangan dari energi potensial minimum, kemudian energi kinetik T sepanjang dalam pergerakan bebas mengalami penurunan karena V haruslah meningkat. Sehingga perpindahan dari keadaan awal akan tersisa lebih kecil dan menjadi keadaan yang stabil.

Konsep kestabilan dapat digambarkan oleh contoh terkenal dari sebuah bola yang diletakkan pada suatu bidang yang dilengkungkan serta berada pada berbagai posisi. Dari beberapa posisi dan perilaku yang diberikan oleh ilustrasi bola di bawah ini, kita dapat mengambil kesimpulan dan gambaran mengenai beberapa tipe keseimbangan.

(16)

Gambar 2.2 Tiga keadaan keseimbangan

Meskipun bola berada pada keadaan seimbang untuk setiap posisi yang ditunjukkan, sebuah pengujian menyimpulkan keberadaan perbedaan-perbedaan yang penting dari ketiga situasi di atas.

Apabila bola pada bagian (a) dipindahkan sedikit dari posisi awal keseimbangan, maka bola tersebut akan kembali pada posisi awal tersebut akibat perpindahan yang disebabkan oleh gaya yang diberikan. Kondisi yang terlihat dalam keadaan ini dapat disebut dengan keseimbangan stabil. Sebagai perbandingan, bola pada bagian (b), apabila dipindahkan sedikit dari posisi akhir, maka bola tersebut tidak akan kembali ke posisi awal, tetapi selanjutnya akan bergerak lebih jauh dari posisi keseimbangan awal. Keseimbangan bola pada bagian (b) merupakan sangat tidak stabil dan genting. Ini disebut dengan keseimbangan tidak stabil. Untuk bagian (c) dapat menggambarkan sebuah keseimbangan lainnya yang mungkin. Setelah bola dipindahkan sedikit, maka bola tidak kembali pada posisi keseimbangan awal tetapi

(17)

tidak juga bergerak menjauh dari posisi keseimbangan. Perilaku ini disebut dengan keseimbangan netral.

Ilustrasi bola di atas dapat juga digambarkan seperti gambar (2.3) di bawah, dimana memiliki keseimbangan pada setiap titik sepanjang garis ABC.

Gambar 2.3 Permukaan stabilitas

Pada daerah antara A dan B maka keseimbangan adalah stabil, dan daerah antara B dan C merupakan keseimbangan tak stabil. Pada titik B, dimana merupakan titik perubahan antara dua daerah baik keseimbangan stabil maupun tak stabil, disini bola berada pada keseimbangan netral.

Pada pembahasan sebelumnya dikatakan bahwa sebuah kolom akan mengalami tekuk pada beban tertentu dikarenakan konfigurasi yang terus menerus menjadikan tak stabil terhadap beban. Perilaku kolom ini identik dengan ilustrasi bola pada gambar (2.3). Konfigurasi terus menerus pada kolom akan menjadi stabil pada pembebanan yang relatif kecil, tetapi menjadi tidak stabil pada pembebanan besar. Jika hal ini diasumsikan bahwa keadaan dari keseimbangan netral berada pada peralihan dari kondisi keseimbangan stabil ke tak stabil pada kolom, sama seperti yang dilukiskan pada gambar (2.3), kemudian beban pada konfigurasi terus menerus

(18)

yang diberikan pada kolom menjadi tidak stabil adalah beban dimana keseimbangan netral adalah mungkin. Beban ini biasanya disebut dengan beban kritis.

Untuk menentukan beban kritis pada kolom, haruslah mencari besaran beban dimana bagian struktur berada pada keseimbangan baik pada konfigurasi tekuk penuh maupun sebahagian. Teknik yang digunakan dalam kriteria ini untuk menghitung beban kritis disebut dengan metode keseimbangan netral.

II.3.2 Energi Potensial Minimum

Berdasarkan contoh mengenai percobaan bola di atas yang memenuhi hukum energi potensial minimum dari sebuah sistem: “Sebuah sistem elastik konservatif adalah berada dalam keadaan keseimbangan jika, dan hanya jika, nilai dari energi potensial adalah relatif minimum”.

Pemakaian kata “relatif minimum” karena mungkin masih didapatnya harga terkecil yang terdekat dari energi potensial seperti tergambar di bawah yang mana dipisahkan oleh sebuah rintangan tetapi bergerak dari suatu yang minimum dan perlunya suatu gangguan yang lebih besar.

Keberadaan dari relatif minimum energi potensial dalam konfigurasi keseimbangan, secara pasti, hanya untuk kondisi yang cukup memungkinkan terhadap stabilitas.

(19)

Gambar 2.4 Karakter relatif dari keseimbangan

II.3.3 Tekuk Bifurkasi

Telah diterangkan bahwa konsep stabilitas berhubungan dengan energi potensial dari sebuah sistem, namun stabilitas dari sebuah sistem elastik statik, atau struktur, mungkin juga dijelaskan dengan pertimbangan kekakuan.

Berdasarkan gambar (2.4), kita dapat melihat bahwa penurunan dari energi potensial yang berkenaan dengan perpindahan dan memberikan kekakuan (pada gambar, kemiringan dari permukaan) dari sebuah sistem.

Jadi, kekakuan yang positif menunjukkan sebuah keadaan stabil, dimana pada suatu batas kestabilan maka kekakuan akan hilang. Untuk sebuah struktur, kekakuan diberikan dalam bentuk matriks, dimana apabila berada pada kondisi positif dan tertentu, menjamin keadaan stabil terhadap struktur. Titik dimana keadaan sebuah sistem berubah dari keseimbangan stabil ke keseimbangan netral disebut batas stabilitas.

Sistem dari sebuah bola pada permukaan lengkung (dimana stabilitas hanya tergantung pada bentuk permukaan) dapat dibandingkan terhadap sebuah struktur

(20)

seperti kolom yang tertekan. Dalam hal ini, kolom dapat berada pada keadaan stabil maupun tak stabil, tergantung pada jarak pemberian beban aksial, sebagai parameter kontrol dari sistem gambar (2.5). Karena kolom mula-mula lurus dan pembebanan secara aksial, struktur akan berada pada keseimbangan stabil untuk nilai yang kecil dari N; apabila sebuah gaya pengganggu menghasilkan defleksi, maka kolom akan kembali ke posisi semula. Ketika beban mencapai level tertentu, yang disebut “beban kritis”, keseimbangan stabil mencapai sebuah batasan. Ketika beban ini Ncr, berada pada posisi keseimbangan lainnya dalam sebuah konfigurasi defleksi kecil dari kolom; jika, pada beban ini, struktur berpindah oleh karena beberapa gangguan kecil, maka tidak akan kembali lagi terhadap konfigurasi awal.

(21)

Gambar 2.5 Stabilitas dari kolom yang tertekan Sumber: Jurnal ESDEP Lecturer Note, 2007

Apabila beban yang diberikan melebihi nilai kritis, dimana posisi awal tak stabil dan sedikit gangguan menyebabkan perpindahan yang cukup besar, dan pada akhirnya terjadi keruntuhan pada kolom dikarenakan tekuk. Titik kritis, dimana terjadi setelah defleksi struktur menjadi sangat besar, disebut dengan “titik bifurkasi” dari sistem gambar (2.5). Apabila pada awalnya tidaklah lurus sempurna, defleksi

(22)

akan mulai dari permulaan pembebanan dan di sini tidak akan ada tekuk yang terjadi secara tiba-tiba oleh bifurkasi, tetapi selanjutnya akan meningkatkan perpindahan gambar (2.6). Keadaan ini disebut dengan “penyimpangan keseimbangan” dan tidak ada batasan stabilitas yang jelas. Apabila material tetap elastis, kekakuan dari kolom

(disini diberikan oleh kemiringan N. Kurva δ) akan selalu positif tetapi dengan sedikit

gangguan dapat menimbulkan perpindahan yang sangat besar.

Gambar 2.6 Stabilitas kolom tertekan tak sempurna Sumber: Jurnal ESDEP Lecturer Note, 2007

Pengurangan kekakuan pada bagian struktur, pada umumnya, yang disebabkan oleh perubahan baik secara geometri maupun sifat-sifat mekanikal. Pengurangan kekakuan yang disebabkan oleh perubahan geometri tidaklah secara

(23)

yang besar. Di sisi lain, sebahagian besar pengurangan kekakuan dapat dihasilkan dari perubahan pada sifat-sifat mekanikal (leleh atau keruntuhan dari material) dan, dalam konsekuensinya, dapat menimbulkan keruntuhan pada struktur. Tetapi dalam tulisan ini, hal ini tidaklah dibahas.

II.4 Tekuk Pada Rangka Portal

Karena setiap bagian dari struktur rangka dengan sambungan kaku berada

dalam kondisi dimana setiap batang dengan ujung terkekang secara elastis, maka metode yang akan dibahas selanjutnya dapat digunakan untuk menentukan tekuk pada portal.

II.4.1 Konsep Dasar

Di dalam pengembangan persamaan interaksi balok-kolom, banyak dilakukan pembahasan mengenai kebenaran panjang efektif kolom yang digunakan pada persamaan tersebut. Meskipun ada usaha yang dilakukan untuk merumuskan persamaan interaksi tanpa menggunakan faktor K, dapat dikatakan bahwa hal tersebut hampir tidak mungkin. Pada gambar (2.7). Dapat dilihat perbandingan hasil antara persamaan interaksi AISC-LRFD penyelesaian eksak dilakukan oleh Kanchanalai ( 1977 ) pada Chen dan Toma (1994 : 9) untuk portal sederhana. Persamaan interaksi AISC-LRFD ( K = 1 ) memberikan hasil kurang teliti , tetapi untuk K = 2 persamaan interaksi AISC-LRFD memberikan hasil yang mendekati penyelesaian eksak oleh sebab itu penggunaan faktor K masih tetap dipertahankan di dalam persamaan interaksi balok-kolom.

(24)

Gambar 2.7 Perbandingan kurva kekuatan balok-kolom dengan dan tanpa menggunakan faktor-K dengan kurva Kanchanalai (1977)

Pada tabel 1 pada AISC manual ( 1978 bagian 5-124 ), Salmon dan Johnson ( 1987 : 278 ) dapat dilihat nilai K untuk berbagai kondisi ujung kolom, tetapi nilai K ini hanya berlaku untuk kolom yang berdiri sendiri ( Isolated Column ). Sedangkan kolom pada portal, nilai K yang diberikan pada tabel 1 tidak berlaku lagi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan faktor K pada portal berdasarkan pendekatan fungsi stabilitas dengan melakukan analisis tekuk portal secara keseluruhan ( system buckling analysis ). Metode lain yang cukup teliti adalah berdasarkan analisis tekuk kolom pada tingkat yang sama. ( story buckling

analisis ) yang dikembangkan oleh Lemessurier ( 1977 ) pada Chen dan Toma ( 1994

: 9 ). Disamping kedua metode tersebut, nilai K dapat ditentukan berdasarkan pendekatan persamaan kemiringan – lendutan , dan yang dapat disederhanakan dalam bentuk nomogram ( Alignment Chart ).

L/r = 40

0-6 0-2

0-0

0-2

0-0 0-4

B I

0-8 1-0

LRFD (K=2-0) 0-6

0-4 P

H I = P 1-0

0-8 LRFD (K=1-0)

Strong Axis

Weak Axis Kanchanalai, adjusted

c c

L c

c p

(25)

II.4.2 Komponen Struktur yang Dibebani Secara Aksial

Dalam perencanaan struktur kolom yang mengalami gaya tekan aksial akibat beban terfaktor, Nu, harus memenuhi persyaratan sebagai berikut:

Nu ≤ n Nn (2.1)

Keterangan:

n adalah faktor reduksi kekuatan, n : 0.85

Nn adalah kuat tekan nominal komponen struktur.

Ditentukan berdasarkan penampang yang mempunyai perbandingan lebar terhadap tebalnya lebih kecil dari nilai λr,

Keterangan:

fr adalah tegangan residual pada pelat sayap

= 70 MPa untuk penampang dirol

= 115 MPa untuk penampang dilas

fy adalah tegangan leleh material

λr adalah batas perbandingan lebar terhadap tebal untuk penampang tidak

kompak

Gaya tekuk elastis komponen struktur (Ncr) ditentukan sebagai berikut:

(26)

Keterangan,

λc adalah parameter kelangsingan kolom

r adalah jari-jari inersia

fy adalah tegangan leleh material

E adalah modulus elastisitas material

Lk adalah kc L

Dalam hal ini, kc adalah faktor panjang tekuk. Nilai faktor panjang tekuk kc besarnya

bergantung kepada kekangan rotasi dan translasi pada ujung-ujung komponen struktur. Pada gambar (2.8) untuk komponen struktur tak bergoyang, kekangan translasi ujungnya dianggap tak hingga. Pada gambar (2.9) untuk komponen struktur bergoyang, kekangan translasi ujungnya dianggap nol.

(27)

Gambar 2.8 Nomogram untuk komponen struktur tak bergoyangSumber: Alexander Chajes, Principle of Structural Stabity

Theory

Gambar 2.9 Nomogram untuk komponen struktur bergoyang Sumber: Alexander Chajes, Principle of Structural Stabity Theory

Secara matematis, faktor panjang efektif atau faktor K elastis dapat didefinisikan sebagai :

(28)

(2.5)

dimana, Pe adalah beban Euller; Pcr adalah beban tekuk elastis dari kolom rangka ujung terkekang; E adalah modulus elastisitas; I adalah momen inersia penampang; dan L adalah panjang kolom.

Untuk komponen struktur yang kondisi ujung-ujungnya ideal, nilai kc ditentukan

berdasarkan tabel (2.1) di bawah ini:

(29)

Sumber: Alexander Chajes, Principle of Structural Stabity Theory

Untuk komponen struktur tekan yang merupakan bagian dari suatu rangka

bersambungan kaku, nilai faktor panjang tekuk kc ditetapkan berdasarkan tabel (2.1).

Pada gambar tersebut, Ga dan Gb adalah perbandingan antara kekakuan komponen struktur dengan tekan dominan terhadap kekakuan komponen struktur relatif bebas tekan, masing-masing pada ujung A dan B. Nilai G ditentukan sebagai berikut:

Kecuali bahwa: Bentuk kolom yang tertekuk ditunjukkan oleh garis terputus

Harga K teoritis 0,5 0,7 1,0 1,0 2,0 2,0

Harga perencanaan yang disarankan bila kondisi ideal

hanya merupakan pendekatan 0,65 0,80 1,0 1,2 2,10 2,0

Tanda kondisi ujung

( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f )

Rotasi tak mungkin, Translasi tak mungkin

Rotasi bebas, Translasi tak mungkin

Rotasi tek munfkin, Translasi bebas

(30)

a. Untuk komponen struktur tekan yang dasarnya tidak terhubungkan secara kaku pada fondasi, nilai G tidak boleh diambil kurang dari 10, kecuali dilakukan analisis khusus untuk menetapkan nilai G tersebut.

b. Untuk komponen struktur tekan yang dasarnya terhubungkan secara kaku

pada fondasi, nilai G tidak boleh diambil kurang dari 1, kecuali bila dilakukan analisis khusus untuk menetapkan nilai G tersebut.

Menurut teori, nilai G sama dengan nol bila kolom dihubungkan ke pondasi oleh perletakan jepit. Namun untuk perencanaan praktis, nilai G diambil sama dengan satu. Bila kolom dihubungkan ke pondasi oleh perletakan sendi, nilai G teoritis adalah tak terhingga, tetapi untuk perencanaan praktis, nilai G diambil sama dengan 10. Penggunaan nilai G = 1. Untuk perletakan jepit dan G=10 untuk perletakan sendi menunjukkan bahwa kondisi jepit sempurna atau sendi ideal hampir tidak pernah dijumpai pada struktur sebenarnya.

Besarnya dihitung dengan menjumlahkan kekakuan semua komponen struktur

tekan, dengan bidang lentur sama, yang terhubung secara kaku pada ujung komponen struktur yang sedang ditinjau, termasuk komponen struktur itu sendiri.

Besarnya dihitung dengan menjumlahkan kekakuan semua komponen struktur

lentur, dengan bidang lentur sama, yang terhubungkan secara kaku pada ujung komponen struktur yang sedang ditinjau.

(31)

Dengan menggunakan metode slope-deflection dan fungsi stabilitas, penentuan faktor panjang efektif dapat ditentukan dengan rumus di bawah.

Untuk portal tidak bergoyang:

(2.7) Dan untuk portal bergoyang:

(2.8) Batas kelangsingan untuk batang-batang yang direncanakan terhadap tekan,

angka perbandingan kelangsingan dibatasi sebesar 200. Untuk batang-batang

yang direncanakan terhadap tarik, angka perbandingan kelangsingan dibatasi

sebesar 300 untuk batang sekunder dan 240 untuk batang primer.

Daya dukung nominal komponen struktur tekan dihitung sebagai berikut:

Untuk λc ≤ 0.25 maka ω = 1

Untuk 0.25 < λc < 1.2 maka ω =

Untuk λc ≥ 1.2 maka ω = 1.25

Keterangan,

(32)

fy tegangan leleh material, MPa

ω koefisien tekuk

II.4.3 Mode Tekuk

Mode tekuk merupakan ilustrasi dimana bentuk dari struktur setelah terjadinya tekuk dapat diperkirakan. Disini kita dapat mengasumsikan berbagai mode tekuk yang paling mungkin terjadi. Ada beberapa mode tekuk yang sesuai baik untuk struktur portal persegi maupun struktur gable frame. Beberapa diantaranya seperti yang tergambar di bawah ini. Dalam pembahasan ini diambil mode tekuk 1 yang merupakan pembebanan secara statik ekivalen.

(33)

Mode 1 Mode 2

Mode 3 Mode 4

Mode 5 Mode 6

(34)

Mode 1 Mode 2

Mode 3 Mode 4

(35)

BAB III

TINJAUAN PUSTAKA

III.1. Metode Matriks Kekakuan

Metode matriks adalah sebuah teknik numerik yang membutuhkan suatu aljabar untuk menganalisa sistem struktural. Metode ini mengidealisasikan sebuah sistem dan membentuknya menjadi elemen diskret yang berhubungan satu sama lainnya dalam sebuah titik yang disebut nodal.

Metode kekakuan merupakan salah satu metode matriks yang sering digunakan bersamaan dengan makin populernya penggunaan komputer untuk operasi-operasi perhitungan aritmatika.

Dalam menganalisis, baik teoritis maupun perhitungan maka deformasi dan gaya-gaya dalam yang bekerja pada suatu konstruksi yang mengalami pembebanan harus didasarkan pada tiga pemikiran dasar. Dasar pemikiran tersebut adalah sifat fisik dari konstruksi yang mengalami deformasi tersebut, meliputi :

1. Keseimbangan, yaitu gaya yang bekerja yakni gaya luar harus sama

dengan gaya dalam.

2. Kompatibilitas, yaitu bagian-bagian dari elemen yang saling berhubungan

tidak boleh tercerai berai akibat deformasi yang terjadi pada suatu struktur.

3. Sifat bahan, yaitu hubungan antara gaya dalam dan perubahan bentuk

ditentukan dengan hubungan gaya dan perubahan bentuk. Hubungan ini diambil bersifat linear dengan berpedoman pada Hukum Hooke.

(36)

III.2 Metode Matriks Kekakuan Struktur-Bagian Lentur III.2.1 Umum

Metode matriks dapat diterapkan dalam analisa terhadap bagian lentur, dalam hal ini bagian balok. Dengan mengidealisasikan sistem menjadi bentuk diskret. Sebagai contoh, balok pada gambar (3.1) yang terbagi atas dua elemen, elemen ab

dan bc. Berhubungan untuk setiap elemen dengan pergeseran yang sama, δ,

digunakan untuk menggambarkan deformasi, dan gaya-gaya yang sesuai, q. Istilah ini

secara umum merupakan fakta bahwa q dapat menjadi momen juga gaya dan δ

merupakan rotasi juga pergeseran. q merupakan gaya-gaya dalam sejauh menyangkut keseluruhan dari struktur, tetapi menjadi gaya-gaya luar saat elemen-elemen individual dipertimbangkan. Karena berhubungan dengan elemen, q disebut

gaya-gaya elemen dan δ disebut pergeseran elemen.

Karakteristik dari deformasi beban sebuah elemen dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:

(3.1)

Dimana kekakuan mempengaruhi koefisien kij adalah gaya qi dikarenakan oleh unit

pergeseran δj saat semua δ lainnya adalah nol. Matriks disusun oleh koefisien yang

(37)

Sebuah hubungan yang sama dengan persamaan (3.1) di atas, menunjukkan karakteristik deformasi beban dari keseluruhan struktur adalah

Gambar 3.1 Gaya-gaya dan perpindahan tiap nodal

(3.2)

Gaya elemen dan notasi perpindahan

(38)

Atau dalam bentuk sederhananya

[W] = [K][∆] (3.3)

Pergeseran ∆j dan beban Wi yang menyusun matriks pergeseran [∆] dan

matriks beban [W] terlihat pada gambar (3.1) di atas. Dengan pergeseran titik nodal pada struktur yang sama dan beban-beban yang bekerja pada titik nodal tersebut yang sesuai. Matriks [K] yang mempunyai hubungan dengan beban struktur [W] terhadap

pergeseran struktur [∆] diketahui sebagai matriks kekakuan struktur.

Analisa dari sebuah struktur dengan menggunakan metode matriks terdiri atas dua langkah penyelesaian. Pertama, matriks kekakuan struktur [K] disatukan dari matriks kekakuan dari setiap elemen-elemen individual. Ini seringkali diselesaikan dengan mengaplikasikannya pada setiap titik nodal dengan kondisi keseimbangan dan deformasi yang sesuai. Langkah kedua, pergeseran struktur dan reaksi-reaksi luar diperoleh dari matriks kekakuan struktur [K] dan matriks beban [W]. Untuk menggambarkan prosedur ini, dengan menggunakan metode matriks untuk menentukan pergeseran tengah bentang dan momen untuk balok dalam gambar (3.1).

III.2.2 Formasi Matriks Kekakuan Elemen

Untuk membentuk matriks kekakuan struktur, maka matriks kekakuan elemen individual haruslah disusun terlebih dahulu. Matriks kekakuan untuk elemen ab diperlihatkan pada persamaan (3.1). Kolom pertama pada matriks tersebut diperoleh

dengan mengaplikasikan sebuah unit translasi, δ1, pada ujung kiri dan menetapkan δ2,

(39)

Berdasarkan atas definisi dari koefisien kekakuan, k21 dan k41 merupakan

momen yang terjadi pada ujung kiri dan kanan oleh unit translasi δ1. Berdasarkan

persamaan slope deflection:

k21 = k41 = -

Regangan, k11 dan k31, yang disebabkan oleh unit translasi δ1 diperoleh dengan menganggap keseimbangan momen dari elemen. Nilainya sama dengan:

k11 = + , k31 = -

Dengan cara yang sama, dengan mengaplikasikan unit pergeseran δ2, δ3, dan

δ4 (gambar (3.2b, c dan d)), hubungan yang tersisa dalam matriks kekakuan elemen

dapat dievaluasi. Keseluruhan matriks, untuk elemen ab adalah: Gambar 3.2 Komponen dari matriks kekakuan elemen

(40)

[k]ab = (3.4)

Terkecuali untuk subskrip berbeda pada q’ dan δ’ merupakan dua elemen

balok adalah identik. Matriks kekakuan untuk elemen bc, [k]bc, juga sama dengan

[k]ab.

Sebelum memprosesnya dengan penyatuan matriks kekakuan struktur [K] dari matriks kekakuan individual setiap elemen, perlu lagi mengkombinasikan sebelumnya ke dalam matriks kekakuan elemen komposit tunggal [k]. Dimana:

(3.5)

(41)

III.2.2.1 Formasi Matriks Kekakuan Struktur, Metode A: Keseimbangan dan Kompatibilitas

Matriks kekakuan struktur dapat diperoleh dari matriks kekakuan elemen dengan mengaplikasikan kondisi dari keseimbangan dan kompatibilitas pada setiap nodal. Keseimbangan akan terpenuhi apabila:

W1 = q1, W2 = q2, W3 = q3 + q5

(3.7)

W4 = q4 + q6, W5 = q7, W6 = q8

Dengan menyusunnya dalam bentuk matriks:

(3.8)

Atau secara sederhana:

[W] = [A][q] (3.9) Persamaan (3.9) di atas dapat dianggap sebagai sebuah transformasi linear dimana matriks [A] mengubah gaya-gaya elemen menjadi beban struktur. Dalam hal yang sama, hubungan kompatibilitas:

δ1 = ∆1, δ2 = ∆2, δ3 = δ5 = ∆3

(42)

Sehingga dapat juga ditulis dalam bentuk matriks:

(3.10)

Atau [ = [B][∆] (3.11) Dimana [B] adalah matriks yang mengubah deformasi struktur menjadi deformasi elemen.

Semua informasi yang dibutuhkan untuk mengubah matriks kekakuan elemen komposit menjadi matriks kekakuan struktur sudah dapat ditentukan. Dimulai dengan persamaan (3.9) dan dengan menggunakan hubungan (3.6) dan (3.11), dapat ditulis:

[W] = [A][q] = [A][k][δ] = [A][k][B][∆] Bandingkan hasil ini dengan hubungan (3.3) menunjukkan bahwa:

[K] = [A][k][B] (3.12) Karenanya [K], matriks kekakuan struktur, diperoleh dari [k], matriks kekakuan elemen komposit, dengan mengalikan terlebih dahulu oleh [A] dan kemudian dengan [B].

(43)

regangan yang terdapat pada struktur adalah sama dengan usaha yang diberikan oleh gaya-gaya luar yang bekerja pada struktur. Dimana:

U = [∆]T[W] (3.13) Namun, energi regangan juga akan sama usaha yang diberikan oleh gaya-gaya yang bekerja pada elemen dari struktur. Yakni,

U = [δ]T[q] (3.14) Maka [∆]T[W] = [δ]T[q] (3.15) Dengan subtitusi [A][q] terhadap [W] dan [A]T[B]T terhadap [δ]T, diperoleh:

[∆]T[A][q] = [∆]T[B]T[q] (3.16) Atau [A] = [B]T (3.17)

Karena [B]T sama dengan [A], maka persamaan (3.12), yang mana disini ada

hubungan [K] digabungkan dari [k] akan menjadi:

[K] = [B]T[k][B] (3.18)

Jika operasi yang diindikasikan oleh persamaan (3.18) ditunjukkan dengan matriks kekakuan elemen yang ada pada persamaan (3.5) dan transformasi matriks yang diberikan pada persamaan (3.10), kita dapat memperoleh matriks kekakuan struktur untuk keseluruhan balok.

(44)

                              − − − − − − − − = 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 ] [ 2 2 2 2 l l l l l l I A I A l l l l l l I A I A l EI

K (3.19)

III.2.2.2 Formasi Matriks Kekakuan Struktur, Metode B: Transformasi Koordinat

Dalam pembahasan terdahulu, matriks kekakuan struktur diperoleh dari matriks kekakuan elemen dengan mengaplikasikan kondisi keseimbangan dan kompatibilitas deformasi pada setiap nodal. Dengan alternatif lainnya, penyusunan [K] dari [k] didapat dengan transformasi koordinat. Matriks kekakuan elemen ditulis dalam ketentuan dari deformasi elemen, dan matriks kekakuan struktur ditulis dalam ketentuan dari deformasi struktur. Transformasi dari suatu matriks terhadap lainnya, seperti yang diberikan pada persamaan (3.18), dapat diperkirakan menjadi sebuah transformasi dari koordinat elemen ke struktur. Matriks [B] yang berperan sebagai transformasi, umumnya berhubungan sebagai matriks transformasi. Matriks ini disusun berdasarkan kosinus arah antara sumbu struktur dan koordinat elemen.

(45)

Matriks [B] mengubah vektor deformasi struktur ke dalam vektor deformasi elemen. Karena vektor gaya bertepatan dengan vektor deformasi elemen dan struktur yang sesuai, maka gaya yang berubah haruslah sama dengan deformasi. Yaitu:

[q] = [B][W] (3.21) Substitusi persamaan (3.20) dan (3.21) ke dalam hubungan kekakuan elemen:

[q] = [k][δ] (3.22) Sehingga

[B][W] = [k] [B][∆] (3.23) Atau [W] = [B]-1[k][B][Δ] (3.24) Karena [B] merupakan sebuah transformasi ortogonal, maka:

[B]T = [B]-1 (3.25)

Persamaan (3.24) dapat ditulis menjadi:

[W] = [B]T[k][B][Δ] (3.26) Dimana

[K] = [B]T[k][B] (3.27)

Hubungan ini diperoleh pertama kali dengan anggapan keseimbangan dan kompatibilitas, ditunjukkan juga pada transformasi koordinat. Namun, perbedaan utama antara metode A dan B bukanlah masalah seperti yang ditaksir pada persamaan (3.27). Ini merupakan prosedur yang digunakan untuk memecahkan perhitungan nilai [K].

Transformasi dari elemen ke koordinat struktur, ditunjukkan pada persamaan (3.27), dapat diselesaikan baik sebelum maupun sesudah mengkombinasikan matriks

(46)

perhitungan matriks kekakuan elemen individual dikombinasikan pertama ke dalam bentuk matriks kekakuan elemen komposit, dan matriks ini kemudian diubah ke dalam matriks kekakuan struktur. Namun, kadangkala dibutuhkan sedikit bantuan komputer untuk mengubah setiap matriks kekakuan elemen individual ke dalam koordinat struktur. Langkah terakhir, dimana sering disebut sebagai metode kekakuan langsung, sekarang telah dapat diilustrasikan.

III.3 Metode Matriks Kekakuan Struktur-Bagian Tekan III.3.1 Umum

Penggunaan metode matriks kekakuan sekarang ini telah digunakan dalam mempelajari perilaku dari bagian struktur yang mengalami pembebanan aksial seperti juga tekukan (bending)

Dengan pembatasan bahwa pergeseran yang terjadi adalah kecil dan tegangan elastis, kekakuan dari bagian struktur adalah konstan.

Kekakuan daripada bagian struktur baik yang mengalami gaya aksial maupun tekukan (bending) merupakan sebuah fungsi gaya aksial, yang kemudian didemonstrasikan bahwa pergeseran gaya (Force-Deflection) mempunyai hubungan sebagai berikut:

(47)

Dengan [Q] meliputi beban melintang yang menyebabkan lenturan, [∆] meliputi deformasi lenturan yang sesuai, dan P adalah gaya aksial.

Matriks yang digunakan di dalam persamaan ini terdiri atas dua bagian, [K], merupakan matriks kekakuan struktur standar dari bagian yang hanya mengalami

lenturan (flexural), dan [K1], merupakan matriks yang terdiri atas efek dari gaya

aksial, P.

Persamaan (3.28) di atas dapat digunakan untuk mendapatkan pergeseran dari balok-kolom. Dan juga, persamaan di atas dapat juga dipergunakan untuk memperoleh beban kritis dari bagian yang terbebani secara aksial. Dimana beban kritis merupakan beban aksial dimana tanpa adanya kekakuan tekuk dari setiap bagian. Persamaan (3.28) di atas dapat juga ditulis dalam bentuk:

[∆] = {[K] + P[K1]}-1[Q]

Sehingga tampak jelas bahwa kekakuan tekuk dihilangkan; dimana, [∆]

meningkat tanpa batasan untuk nilai yang terhingga dari [Q] hanya jika pada saat invers dari matriks kekakuan menjadi semakin besar dan tak terhingga. Karena invers dari matriks diperoleh dari pembagian adjoin matriks terhadap determinannya, sehingga invers matriks tersebut akan membesar ketika determinan matriks tersebut hilang. Langkah selanjutnya, beban kritis akan dapat diperoleh dengan membuat determinan dari matriks kekakuan tersebut sama dengan nol.

(48)

III.3.2 Elemen dari Matriks Kekakuan untuk Balok-Kolom

Dengan menganggap bahwa sebuah elemen dari balok-kolom diperlakukan terhadap pembebanan aksial, P dan bagian dari beban [q], seperti ditunjukkan dalam gambar 3.3a di bawah:

Gambar 3.3: Elemen balok-kolom untuk gaya dan pergeseran

Pergeseran [δ] yang sesuai , seperti yang tergambar dalam gambar 3.3b. Ini

merupakan langkah dalam menentukan hubungan matriks antara beban [q] dan

pergeseran [δ] di dalam kehadiran beban aksial P. Sepanjang deformasi adalah kecil

dan material diasumsikan elastis linear menurut Hukum Hooke, deformasi yang sesuai terhadap pembebanan [q] dan P ditentukan secara khusus, tanpa

memperhatikan urutan daripada penerapan pembebanan. Deformasi [δ] dapat

ditentukan kemudian dengan pertama kali menerapkan semua beban aksial P dan

kemudian beban [q]. Dalam keadaan ini, hubungan antara [q] dan [δ] adalah linear,

dan kekakuan matriks dapat ditaksir dengan menggunakan konservasi dari energi. Elemen diasumsikan dengan pembebanan dalam dua tahapan. Tahap pertama hanya dengan pengaplikasian beban aksial P, kemudian tahap selanjutnya dimana elemen tertekuk dengan gaya-gaya [q] dimana gaya P tetap konstan. Karena elemen

Gaya-gaya elemen

(49)

akhir tahapan kedua, gaya-gaya luar harus sama dengan energi regangan (strain energy) tidak hanya pada semua proses pembebanan tetapi juga pada tahapan kedua itu sendiri. Gaya luar pada pembebanan tahapan kedua ditulis:

(3.29)

dimana langkah pertama menunjukkan usaha dari gaya-gaya [q] dan langkah kedua berhubungan dengan P. Karena tiap akhir bagian mendekati satu sama lain selama tertekuk, maka gaya aksial akan positif apabila tertekan dan negatif apabila tertarik. Energi regangan yang ada pada bagian untuk tahapan kedua merupakan tekuk. Dimana,

(3.30) Perhitungan energi regangan untuk gaya luar ditulis

(3.31)

Dengan menggunakan hubungan dimana adalah matriks kekakuan

elemen, sehingga persamaan (3.31) di atas menjadi

(3.32)

Untuk menghitung perlu menyusun bagian sebelah kanan persamaan (3.32) di

atas menjadi bentuk matriks. Ini dapat diselesaikan apabila defleksi y diasumsikan ke dalam bentuk

(3.33)

Pemilihan sebuah fungsi defleksi merupakan langkah yang sangat penting. Dengan mengambil sumbu koordinat seperti yang terlihat pada gambar (3.3b), kondisi batas

(50)

, saat

Substitusi

(3.34) Persamaan (3.34) di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks

(3.35)

atau

Diferensial dari persamaan (3.35) di atas memberikan

(3.36)

dan (3.37)

dimana

(3.38)

(3.39)

Dengan melihat persamaan (3.36) dan (3.37) kita dapat menulis

(3.40)

(51)

substitusi hubungan ini ke dalam persamaan (3.32)

Dimana

(3.42)

Menggunakan pernyataan pada persamaan (3.38) dan (3.39) untuk nilai [C] dan [D] dan memecahkan operasi yang ada pada persamaan (3.42), kita peroleh

(3.43)

Persamaan (3.43) di atas memberikan matriks kekakuan struktur untuk elemen pada balok-kolom. Persamaan matriks ini terdiri atas dua bagian, untuk yang pertama merupakan matriks kekakuan biasa dari elemen yang mengalami lenturan, dan yang kedua merupakan matriks yang memuat efek dari pembebanan aksial pada kekakuan tekuk. Matriks yang kedua ini kadangkala berkenaan dengan sebuah matriks kekakuan tegangan awal (initial-stress) dimana, secara tidak langsung matriks ini menghitung pengaruh dari konstanta awal dari beban aksial berada pada karakteristik

(52)

tekuk. Matriks ini juga memperoleh gaya tekan aksial, juga dapat digunakan sama untuk bagian dengan gaya tekan awal jika tanda pada matriks ini diubah terlebih dahulu yakni dari negatif ke positif.

Perhitungan yang melibatkan matriks kekakuan untuk elemen balok-kolom dianggap memerlukan penyederhanaan jika ketentuan yang berlaku pada matriks tersebut memiliki dimensi yang sama. Ini dapat diselesaikan dengan memodifikasi matriks gaya dan perpindahan sehingga ketentuan awal memiliki dimensi gaya dan yang terakhir dimensi jarak, sehingga bentuk matriks kekakuan ini khususnya berguna ketika matriks kekakuannya harus diinversikan.

III.3.3 Perhitungan Beban Kritis

Sebagai sebuah ilustrasi, metode kekakuan akan digunakan untuk menentukan beban kritis dari kolom seperti yang terlihat pada gambar (3.4). Dengan panjang kolom L dan sebuah kekakuan lentur yang seragam EI dan untuk tujuan analisis maka perlu dibagi lagi dalam dua elemen. Deformasi positif dan gaya-gaya yang sesuai, baik untuk semua bagian maupun elemen-elemen individual seperti yang ditunjukkan pada gambar.

(53)

Matriks kekakuan struktur untuk semua kolom dapat diperoleh dengan mengubah bentuk dari matriks kekakuan elemen individual dari setiap elemen terhadap koordinat struktur dan kemudian mengkombinasikan matriks hasil. Perubahan bentuk matriks yang berhubungan dengan deformasi struktur terhadap deformasi elemen adalah

δ1 δ2l δ3 δ4l

dan

δ1 δ2l δ3 δ4l

(54)

Penyelesaian untuk setiap elemen, transformasi dari koordinat sesuai dengan persamaan (3.27), kita peroleh

(3.44)

(3.45)

Karena matriks transformasi untuk setiap elemen merupakan matriks identitas, transformasi dari elemen terhadap koordinat struktur tidaklah mengubah isi yang terdapat pada matriks kekakuan. Namun, hal ini sekarang menunjukkan beban struktur untuk setiap unit deformasi struktur, juga menunjukkan gaya-gaya elemen untuk setiap unit deformasi elemen sebelumnya. Maka, penandaan baris dan kolom

pada persamaan (3.44) dan (3.45) adalah ∆ dan W.

Penggabungan matriks pada persamaan (3.44) dan (3.45) akan kita peroleh matriks kekakuan untuk semua bagian.

(55)

[ ]

[ ] [ ] [ ]

∆    



 ₋

= C

l P D l EI W

(3.46)

Matriks ini berlaku untuk setiap kondisi batas. Dengan ini, sekarang beban kritis dapat ditentukan baik untuk perletakan jepit-jepit maupun sendi-sendi.

(56)

BAB IV

PEMBAHASAN

IV.1 Pemodelan dan Data-Data Struktur

Dalam bab ini akan diberikan sebuah contoh perhitungan beban kritis pada struktur portal dan gable frame satu tingkat yang mengalami tekuk, contoh yang ditinjau mempunyai perletakan sendi-sendi dan jepit-jepit Adapun data-data yang akan dipergunakan dalam analisa tekuk tersebut adalah :

Data Portal dan gable :

1. Panjang bentang (panjang teoritis) L = 8 m (untuk balok)

2. Tinggi bentang (panjang teoritis) H = 4 m (untuk kolom)

3. Inersia penampang balok (WF300x150) I balok = 7210 cm2

4. Inersia penampang kolom (WF300x150) I kolom = 7210 cm2

5. Modulus Elastisitas baja E = 2090420 kg/cm2

Sudut kemiringan gable bervariasi α =5o,10o,15o, 20o,25o,30o,35o ,40o,45o, 50o

(57)

(58)

IV.2 Analisa Beban Kritis (Pcr) Secara Numerik (Metode Matriks Kekakuan)

IV.2.1 Penentuan Matriks Kekakuan Global, Matriks Kekakuan Geometri dan Nilai Eigenvalue.

Pada struktur gable frame, telah ditentukan sebelumnya matriks kekakuan global dan geometri. Karena bentuk dan data yang ada pada struktur ini simetris dan besarnya sama, maka dapat ditinjau dengan mengambil separuh bagian saja.

Menentukan bentuk struktur gable dengan data masukan berupa panjang bentang, tinggi, modulus elastis baja luas penampang baja dan inersia penampang baja (L,H,E,A,I)

L Y Y m L X X l Y

Y X

L=(( 2− 1)2 +( 2− 1)2)0.5 =( 2− 1)/ =( 2− 1)/ m

S SIN l

(59)

Tentukan matriks kekakuan struktur lokal (k)                     − − − − − − − − =                               − − − − − − − − = e c d c c b c b a a d c e c c b c b a a L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 Dengan L EI e L EI d L EI c L EI b L AE

a= =12₃ = 6 ₂ = 2 = 4

Kemudian matriks kekakuan lokal struktur ditransformasikan ke matriks kekakuan global struktur dengan matriks transformasi diperoleh matriks kekakuan global struktur                     − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C S S C C S S C T                     + − + − − − − + − − − + − − + − − − + − − − + − − + = d C c S c d C c S c C c bC aS S C b a C c bC aS S C b a S c S C b a bS aC S c S C b a bS aC d C c S c d C c S c C c bC aS S C b a C c bC aS S C b a S c S C b a bS aC S c S C b a bS aC T k T Kg T . 2 . . . . . ) ( . ). ( . ) ( . ). ( . . ). ( ) ( . . ). ( ) ( . . . 2 . . . ) ( . ). ( . . ). ( . . ). ( ) ( . . ). ( . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(60)

Tentukan matriks kekakuan geometri lokal struktur (kg)                         − − − − − − − − − = 15 2 10 0 30 10 0 10 5 6 0 10 5 6 0 0 0 0 0 0 0 30 10 0 15 2 10 0 10 5 6 0 10 5 6 0 0 0 0 0 0 0 . 2 2 2 2 L L L L L L L L L L L L L P k_G

Kemudian matriks kekakuan geometri lokal ditransformasikan ke matriks kekakuan geometri global dengan matriks transformasi diperoleh matriks kekakuan geometri global                               − − − − − − − − − − − − − − − − − − = = 15 2 10 10 30 10 10 10 5 6 5 6 10 5 6 5 6 10 5 6 5 6 10 5 6 5 6 30 10 10 15 2 10 10 10 5 6 5 6 10 5 6 5 6 10 5 6 5 6 10 5 6 5 6 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L C L S L L C L S L C L C SC C L C SC S L SC S S L SC S L C L S L L C L S L C L C SC C L C SC S L SC S S L SC S L P T k T K_G T _G

Kemudian matriks kekakuan global struktur dan matriks kekakuan global

geometri dipecahkan dengan membuat determinan

[

K_g −λ.K₀

]

=0 dengan metode

(61)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 Kesimpulan

1. Berdasarkan hasil perhitungan di atas dapat disimpilkan bahwa penurunan besarnya beban kritis bergantung sudut kemirngan atap dimana untuk kemiringan atap yang lebih besar maka penurunan beban kritisnya cukup signifikan.

2. Grafik penurunan beban kritis akan berbentuk non linier untuk kondisi sudut kemiringan atap yang berbeda.

3. Besarnya beban kritis pada kondisi perletakan jepit-jepit adalah sekitar empat kali

pada kondisi perletakan sendi-sendi.

4. Hasil yang diperoleh untuk beban kritis secara numerik dan program SAP 2000

cukup mendekati dengan persentase kesalahan sekitar 3% untuk perletakan jepit-jepit dan 4% untuk perletakan sendi-sendi

5. Besarnya beban kritis untuk kondisi perletakan jepit-jepit adalah sekitar 4 (empat)

kali dibandingkan besar beban kritis untuk kondisi perletakan sendi-sendi.

6. Hasil yang diperoleh dengan Nomogram cukup berbeda dibandingkan secara

numerik dan SAP 2000 karena pengambilan nilai GA =10 untuk sendi dan GA =1 untuk jepit merupakan nilai pendekatan sedangkan nilai yang sebenarnya untuk sendi berada di antara 10 dan tak terhingga dan jepit berada di antara 1 dan 0 dari hasil perhitungan diperoleh

(62)

GA untuk jepit-jepit dan kemiringan sudut dari 5°-50o adalah 0.110 - 0.079

V.2 Saran

1. Pada struktu gable frame diusahakan sudut kemringana atap dibuat seideal mungkin, tidak terlampau besar maupun kecil sehingga beban yang bekerja tidak menimbulkan efek yang besar terhadap bangunan dan tidak menyulitkan pada waktu pemasangan atap.

2. Untuk menghindari besar tekuk yang besar perlu dibuat suatu pengaku pada portal maupun gable frame.

(63)

DAFTAR PUSTAKA

Chajes, Alexander, 1974 Principles of Structural Stability Theory, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.

Chen dan Lui , 1991 Stability Design of Stell Frames, Boca Ratan,FL : CRC Press. Lu, L.W. 1965. Effective Length of Columns in Gable Frame, AISC Eng.J.,2(2): 6-7 Salmon,Charles dan John E.Johnson.1990.Struktur Baja Desain dan Perilaku(terj.). Jakarta : Erlangga.

Spiegel,Leonard dan George F.Limbrunner.1991.Desain Baja Struktural

Terapan(terj.). Cetakan pertama : PT.ERESCO.

(1)

IV.2 Analisa Beban Kritis (Pcr) Secara Numerik (Metode Matriks Kekakuan) IV.2.1 Penentuan Matriks Kekakuan Global, Matriks Kekakuan

Geometri dan Nilai Eigenvalue.

Menentukan bentuk struktur gable dengan data masukan berupa panjang bentang, tinggi, modulus elastis baja luas penampang baja dan inersia penampang baja (L,H,E,A,I)

L Y Y m L X X l Y

Y X

L=(( 2− 1)2 +( 2− 1)2)0.5 =( 2− 1)/ =( 2− 1)/

m S SIN l

(2)

a= =12₃ = 6 ₂ = 2 = 4

(3)

Kemudian matriks kekakuan global struktur dan matriks kekakuan global geometri dipecahkan dengan membuat determinan

[

K_g −λ.K₀

]

=0 dengan metode invers iterasi sehingga diperoleh nilai eigen vector dan eigen value dari struktur.

(4)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 Kesimpulan

2. Grafik penurunan beban kritis akan berbentuk non linier untuk kondisi sudut kemiringan atap yang berbeda.

3. Besarnya beban kritis pada kondisi perletakan jepit-jepit adalah sekitar empat kali pada kondisi perletakan sendi-sendi.

4. Hasil yang diperoleh untuk beban kritis secara numerik dan program SAP 2000 cukup mendekati dengan persentase kesalahan sekitar 3% untuk perletakan jepit-jepit dan 4% untuk perletakan sendi-sendi

5. Besarnya beban kritis untuk kondisi perletakan jepit-jepit adalah sekitar 4 (empat) kali dibandingkan besar beban kritis untuk kondisi perletakan sendi-sendi.

6. Hasil yang diperoleh dengan Nomogram cukup berbeda dibandingkan secara numerik dan SAP 2000 karena pengambilan nilai GA =10 untuk sendi dan GA =1

untuk jepit merupakan nilai pendekatan sedangkan nilai yang sebenarnya untuk sendi berada di antara 10 dan tak terhingga dan jepit berada di antara 1 dan 0 dari hasil perhitungan diperoleh

(5)

GA untuk jepit-jepit dan kemiringan sudut dari 5°-50o adalah 0.110 - 0.079 V.2 Saran