BAB III TINJAUAN PUSTAKA
III.1. Metode Matriks Kekakuan
Metode matriks adalah sebuah teknik numerik yang membutuhkan suatu aljabar untuk menganalisa sistem struktural. Metode ini mengidealisasikan sebuah
sistem dan membentuknya menjadi elemen diskret yang berhubungan satu sama lainnya dalam sebuah titik yang disebut nodal.
Metode kekakuan merupakan salah satu metode matriks yang sering digunakan bersamaan dengan makin populernya penggunaan komputer untuk
operasi-operasi perhitungan aritmatika. Dalam menganalisis, baik teoritis maupun perhitungan maka deformasi dan
gaya-gaya dalam yang bekerja pada suatu konstruksi yang mengalami pembebanan harus didasarkan pada tiga pemikiran dasar. Dasar pemikiran tersebut adalah sifat
fisik dari konstruksi yang mengalami deformasi tersebut, meliputi :
1. Keseimbangan, yaitu gaya yang bekerja yakni gaya luar harus sama
dengan gaya dalam. 2.
Kompatibilitas, yaitu bagian-bagian dari elemen yang saling berhubungan tidak boleh tercerai berai akibat deformasi yang terjadi pada suatu
struktur. 3.
Sifat bahan, yaitu hubungan antara gaya dalam dan perubahan bentuk ditentukan dengan hubungan gaya dan perubahan bentuk. Hubungan ini
diambil bersifat linear dengan berpedoman pada Hukum Hooke.
Universitas Sumatera Utara
III.2 Metode Matriks Kekakuan Struktur-Bagian Lentur III.2.1 Umum
Metode matriks dapat diterapkan dalam analisa terhadap bagian lentur, dalam hal ini bagian balok. Dengan mengidealisasikan sistem menjadi bentuk diskret.
Sebagai contoh, balok pada gambar 3.1 yang terbagi atas dua elemen, elemen ab dan bc. Berhubungan untuk setiap elemen dengan pergeseran yang sama,
δ, digunakan untuk menggambarkan deformasi, dan gaya-gaya yang sesuai, q. Istilah ini
secara umum merupakan fakta bahwa q dapat menjadi momen juga gaya dan δ
merupakan rotasi juga pergeseran. q merupakan gaya-gaya dalam sejauh menyangkut keseluruhan dari struktur, tetapi menjadi gaya-gaya luar saat elemen-elemen
individual dipertimbangkan. Karena berhubungan dengan elemen, q disebut gaya- gaya elemen dan
δ disebut pergeseran elemen. Karakteristik dari deformasi beban sebuah elemen dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan matriks:
3.1
Dimana kekakuan mempengaruhi koefisien k
ij
adalah gaya q
i
dikarenakan oleh unit pergeseran
δ
j
saat semua δ lainnya adalah nol. Matriks disusun oleh koefisien yang
berpengaruh ini dan disebut dengan matriks kekakuan elemen.
Universitas Sumatera Utara
Sebuah hubungan yang sama dengan persamaan 3.1 di atas, menunjukkan karakteristik deformasi beban dari keseluruhan struktur adalah
Gambar 3.1 Gaya-gaya dan perpindahan tiap nodal
3.2
Gaya elemen dan notasi perpindahan
Gaya struktur dan notasi perpindahan
Universitas Sumatera Utara
Atau dalam bentuk sederhananya [W] = [K][
∆] 3.3 Pergeseran
∆
j
dan beban W
i
yang menyusun matriks pergeseran [ ∆] dan
matriks beban [W] terlihat pada gambar 3.1 di atas. Dengan pergeseran titik nodal pada struktur yang sama dan beban-beban yang bekerja pada titik nodal tersebut yang
sesuai. Matriks [K] yang mempunyai hubungan dengan beban struktur [W] terhadap pergeseran struktur [
∆] diketahui sebagai matriks kekakuan struktur. Analisa dari sebuah struktur dengan menggunakan metode matriks terdiri atas
dua langkah penyelesaian. Pertama, matriks kekakuan struktur [K] disatukan dari matriks kekakuan dari setiap elemen-elemen individual. Ini seringkali diselesaikan
dengan mengaplikasikannya pada setiap titik nodal dengan kondisi keseimbangan dan deformasi yang sesuai. Langkah kedua, pergeseran struktur dan reaksi-reaksi luar
diperoleh dari matriks kekakuan struktur [K] dan matriks beban [W]. Untuk menggambarkan prosedur ini, dengan menggunakan metode matriks untuk
menentukan pergeseran tengah bentang dan momen untuk balok dalam gambar 3.1.
III.2.2 Formasi Matriks Kekakuan Elemen
Untuk membentuk matriks kekakuan struktur, maka matriks kekakuan elemen individual haruslah disusun terlebih dahulu. Matriks kekakuan untuk elemen ab
diperlihatkan pada persamaan 3.1. Kolom pertama pada matriks tersebut diperoleh dengan mengaplikasikan sebuah unit translasi,
δ
1
, pada ujung kiri dan menetapkan δ
2,
δ
3,
dan δ
4
adalah nol lihat gambar 3.2a.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan atas definisi dari koefisien kekakuan, k
21
dan k
41
merupakan momen yang terjadi pada ujung kiri dan kanan oleh unit translasi
δ
1.
Berdasarkan persamaan slope deflection:
k
21
= k
41
= - Regangan, k
11
dan k
31
, yang disebabkan oleh unit translasi δ
1
diperoleh dengan menganggap keseimbangan momen dari elemen. Nilainya sama dengan:
k
11
= + , k
31
= -
Dengan cara yang sama, dengan mengaplikasikan unit pergeseran δ
2
, δ
3
, dan δ
4
gambar 3.2b, c dan d, hubungan yang tersisa dalam matriks kekakuan elemen dapat dievaluasi. Keseluruhan matriks, untuk elemen ab adalah:
Gambar 3.2 Komponen dari matriks kekakuan elemen
Universitas Sumatera Utara
[k]
ab
= 3.4
Terkecuali untuk subskrip berbeda pada q’ dan δ’ merupakan dua elemen
balok adalah identik. Matriks kekakuan untuk elemen bc, [k]
bc
, juga sama dengan [k]
ab
. Sebelum memprosesnya dengan penyatuan matriks kekakuan struktur [K] dari
matriks kekakuan individual setiap elemen, perlu lagi mengkombinasikan sebelumnya ke dalam matriks kekakuan elemen komposit tunggal [k]. Dimana:
3.5
Atau [q] = [k][ δ] 3.6
Universitas Sumatera Utara
III.2.2.1 Formasi Matriks Kekakuan Struktur, Metode A: Keseimbangan dan Kompatibilitas
Matriks kekakuan struktur dapat diperoleh dari matriks kekakuan elemen dengan mengaplikasikan kondisi dari keseimbangan dan kompatibilitas pada setiap
nodal. Keseimbangan akan terpenuhi apabila: W
1
= q
1
, W
2
= q
2
, W
3
= q
3
+ q
5
3.7 W
4
= q
4
+ q
6
, W
5
= q
7
, W
6
= q
8
Dengan menyusunnya dalam bentuk matriks:
3.8
Atau secara sederhana: [W] = [A][q] 3.9
Persamaan 3.9 di atas dapat dianggap sebagai sebuah transformasi linear dimana matriks [A] mengubah gaya-gaya elemen menjadi beban struktur. Dalam hal
yang sama, hubungan kompatibilitas: δ
1
= ∆
1
, δ
2
= ∆
2
, δ
3
= δ
5
= ∆
3
δ
4
= δ
6
= ∆
4
, δ
7
= ∆
5
, δ
8
= ∆
6
Universitas Sumatera Utara
Sehingga dapat juga ditulis dalam bentuk matriks:
3.10
Atau [ = [B][
∆] 3.11 Dimana [B] adalah matriks yang mengubah deformasi struktur menjadi deformasi
elemen. Semua informasi yang dibutuhkan untuk mengubah matriks kekakuan elemen
komposit menjadi matriks kekakuan struktur sudah dapat ditentukan. Dimulai dengan persamaan 3.9 dan dengan menggunakan hubungan 3.6 dan 3.11, dapat ditulis:
[W] = [A][q] = [A][k][ δ] = [A][k][B][∆]
Bandingkan hasil ini dengan hubungan 3.3 menunjukkan bahwa: [K] = [A][k][B] 3.12
Karenanya [K], matriks kekakuan struktur, diperoleh dari [k], matriks kekakuan elemen komposit, dengan mengalikan terlebih dahulu oleh [A] dan kemudian dengan
[B]. Dari sini dapat dilihat bahwa [A] dan [B] berhubungan satu sama lainnya dan
hanya salah satunya yang dibutuhkan untuk mengubah [k] menjadi [K]. Energi
Universitas Sumatera Utara
regangan yang terdapat pada struktur adalah sama dengan usaha yang diberikan oleh gaya-gaya luar yang bekerja pada struktur. Dimana:
U = [ ∆]
T
[W] 3.13
Namun, energi regangan juga akan sama usaha yang diberikan oleh gaya-gaya yang bekerja pada elemen dari struktur. Yakni,
U = [ δ]
T
[q] 3.14 Maka [
∆]
T
[W] = [ δ]
T
[q] 3.15 Dengan subtitusi [A][q] terhadap [W] dan [A]
T
[B]
T
terhadap [ δ]
T
, diperoleh: [
∆]
T
[A][q] = [ ∆]
T
[B]
T
[q] 3.16 Atau [A] = [B]
T
3.17 Karena [B]
T
sama dengan [A], maka persamaan 3.12, yang mana disini ada hubungan [K] digabungkan dari [k] akan menjadi:
[K] = [B]
T
[k][B] 3.18 Jika operasi yang diindikasikan oleh persamaan 3.18 ditunjukkan dengan
matriks kekakuan elemen yang ada pada persamaan 3.5 dan transformasi matriks yang diberikan pada persamaan 3.10, kita dapat memperoleh matriks kekakuan
struktur untuk keseluruhan balok.
Universitas Sumatera Utara
− −
− −
− −
− −
=
4 6
2 6
6 12
6 12
2 6
4 6
6 12
6 12
] [
2 2
2 2
l l
l l
l l
I A
I A
l l
l l
l l
I A
I A
l EI
K 3.19
III.2.2.2 Formasi Matriks Kekakuan Struktur, Metode B: Transformasi Koordinat
Dalam pembahasan terdahulu, matriks kekakuan struktur diperoleh dari matriks kekakuan elemen dengan mengaplikasikan kondisi keseimbangan dan
kompatibilitas deformasi pada setiap nodal. Dengan alternatif lainnya, penyusunan [K] dari [k] didapat dengan transformasi koordinat. Matriks kekakuan elemen ditulis
dalam ketentuan dari deformasi elemen, dan matriks kekakuan struktur ditulis dalam
ketentuan dari deformasi struktur. Transformasi dari suatu matriks terhadap lainnya,
seperti yang diberikan pada persamaan 3.18, dapat diperkirakan menjadi sebuah transformasi dari koordinat elemen ke struktur. Matriks [B] yang berperan sebagai
transformasi, umumnya berhubungan sebagai matriks transformasi. Matriks ini disusun berdasarkan kosinus arah antara sumbu struktur dan koordinat elemen.
Dalam hubungan, [
δ] = [B][∆] 3.20
Universitas Sumatera Utara
Matriks [B] mengubah vektor deformasi struktur ke dalam vektor deformasi elemen. Karena vektor gaya bertepatan dengan vektor deformasi elemen dan struktur yang
sesuai, maka gaya yang berubah haruslah sama dengan deformasi. Yaitu: [q] = [B][W] 3.21
Substitusi persamaan 3.20 dan 3.21 ke dalam hubungan kekakuan elemen: [q] = [k][
δ] 3.22 Sehingga
[B][W] = [k] [B][ ∆] 3.23
Atau [W] = [B]
-1
[k][B][ Δ] 3.24
Karena [B] merupakan sebuah transformasi ortogonal, maka: [B]
T
= [B]
-1
3.25 Persamaan 3.24 dapat ditulis menjadi:
[W] = [B]
T
[k][B ][Δ] 3.26
Dimana [K] = [B]
T
[k][B] 3.27 Hubungan ini diperoleh pertama kali dengan anggapan keseimbangan dan
kompatibilitas, ditunjukkan juga pada transformasi koordinat. Namun, perbedaan utama antara metode A dan B bukanlah masalah seperti yang ditaksir pada persamaan
3.27. Ini merupakan prosedur yang digunakan untuk memecahkan perhitungan nilai [K].
Transformasi dari elemen ke koordinat struktur, ditunjukkan pada persamaan 3.27, dapat diselesaikan baik sebelum maupun sesudah mengkombinasikan matriks
kekakuan yang sesuai terhadap elemen individual. Dalam pembahasan sebelumnya,
Universitas Sumatera Utara
perhitungan matriks kekakuan elemen individual dikombinasikan pertama ke dalam bentuk matriks kekakuan elemen komposit, dan matriks ini kemudian diubah ke
dalam matriks kekakuan struktur. Namun, kadangkala dibutuhkan sedikit bantuan komputer untuk mengubah setiap matriks kekakuan elemen individual ke dalam
koordinat struktur. Langkah terakhir, dimana sering disebut sebagai metode kekakuan langsung, sekarang telah dapat diilustrasikan.
III.3 Metode Matriks Kekakuan Struktur-Bagian Tekan III.3.1 Umum
Penggunaan metode matriks kekakuan sekarang ini telah digunakan dalam mempelajari perilaku dari bagian struktur yang mengalami pembebanan aksial seperti
juga tekukan bending Dengan pembatasan bahwa pergeseran yang terjadi adalah kecil dan tegangan
elastis, kekakuan dari bagian struktur adalah konstan. Kekakuan daripada bagian struktur baik yang mengalami gaya aksial maupun
tekukan bending merupakan sebuah fungsi gaya aksial, yang kemudian didemonstrasikan bahwa pergeseran gaya Force-Deflection mempunyai hubungan
sebagai berikut: [Q] = {[K] + P[K
1
]}[ ∆] 3.28
Universitas Sumatera Utara
Dengan [Q] meliputi beban melintang yang menyebabkan lenturan, [ ∆]
meliputi deformasi lenturan yang sesuai, dan P adalah gaya aksial. Matriks yang digunakan di dalam persamaan ini terdiri atas dua bagian, [K],
merupakan matriks kekakuan struktur standar dari bagian yang hanya mengalami lenturan flexural, dan [K
1
], merupakan matriks yang terdiri atas efek dari gaya aksial, P.
Persamaan 3.28 di atas dapat digunakan untuk mendapatkan pergeseran dari balok-kolom. Dan juga, persamaan di atas dapat juga dipergunakan untuk
memperoleh beban kritis dari bagian yang terbebani secara aksial. Dimana beban kritis merupakan beban aksial dimana tanpa adanya kekakuan tekuk dari setiap
bagian. Persamaan 3.28 di atas dapat juga ditulis dalam bentuk: [
∆] = {[K] + P[K
1
]}
-1
[Q] Sehingga tampak jelas bahwa kekakuan tekuk dihilangkan; dimana, [
∆] meningkat tanpa batasan untuk nilai yang terhingga dari [Q] hanya jika pada saat
invers dari matriks kekakuan menjadi semakin besar dan tak terhingga. Karena invers dari matriks diperoleh dari pembagian adjoin matriks terhadap determinannya,
sehingga invers matriks tersebut akan membesar ketika determinan matriks tersebut hilang. Langkah selanjutnya, beban kritis akan dapat diperoleh dengan membuat
determinan dari matriks kekakuan tersebut sama dengan nol.
Universitas Sumatera Utara
III.3.2 Elemen dari Matriks Kekakuan untuk Balok-Kolom
Dengan menganggap bahwa sebuah elemen dari balok-kolom diperlakukan terhadap pembebanan aksial, P dan bagian dari beban [q], seperti ditunjukkan dalam
gambar 3.3a di bawah:
Gambar 3.3: Elemen balok-kolom untuk gaya dan pergeseran Pergeseran [
δ] yang sesuai , seperti yang tergambar dalam gambar 3.3b. Ini merupakan langkah dalam menentukan hubungan matriks antara beban [q] dan
pergeseran [ δ] di dalam kehadiran beban aksial P. Sepanjang deformasi adalah kecil
dan material diasumsikan elastis linear menurut Hukum Hooke, deformasi yang sesuai terhadap pembebanan [q] dan P ditentukan secara khusus, tanpa
memperhatikan urutan daripada penerapan pembebanan. Deformasi [ δ] dapat
ditentukan kemudian dengan pertama kali menerapkan semua beban aksial P dan kemudian beban [q]. Dalam keadaan ini, hubungan antara [q] dan [
δ] adalah linear, dan kekakuan matriks dapat ditaksir dengan menggunakan konservasi dari energi.
Elemen diasumsikan dengan pembebanan dalam dua tahapan. Tahap pertama hanya dengan pengaplikasian beban aksial P, kemudian tahap selanjutnya dimana
elemen tertekuk dengan gaya-gaya [q] dimana gaya P tetap konstan. Karena elemen ini berada di dalam titik kesetimbangan pada akhir tahapan pertama seperti juga pada
Gaya-gaya elemen
Deformasi elemen
Universitas Sumatera Utara
akhir tahapan kedua, gaya-gaya luar harus sama dengan energi regangan strain energy tidak hanya pada semua proses pembebanan tetapi juga pada tahapan kedua
itu sendiri. Gaya luar pada pembebanan tahapan kedua ditulis: 3.29
dimana langkah pertama menunjukkan usaha dari gaya-gaya [q] dan langkah kedua berhubungan dengan P. Karena tiap akhir bagian mendekati satu sama lain selama
tertekuk, maka gaya aksial akan positif apabila tertekan dan negatif apabila tertarik. Energi regangan yang ada pada bagian untuk tahapan kedua merupakan tekuk.
Dimana, 3.30
Perhitungan energi regangan untuk gaya luar ditulis 3.31
Dengan menggunakan hubungan dimana
adalah matriks kekakuan elemen, sehingga persamaan 3.31 di atas menjadi
3.32 Untuk menghitung
perlu menyusun bagian sebelah kanan persamaan 3.32 di atas menjadi bentuk matriks. Ini dapat diselesaikan apabila defleksi y diasumsikan ke
dalam bentuk 3.33
Pemilihan sebuah fungsi defleksi merupakan langkah yang sangat penting. Dengan mengambil sumbu koordinat seperti yang terlihat pada gambar 3.3b, kondisi batas
dari elemen adalah
Universitas Sumatera Utara
, saat
, saat
Substitusi
3.34 Persamaan 3.34 di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks
3.35
atau Diferensial dari persamaan 3.35 di atas memberikan
3.36 dan
3.37 dimana
3.38
3.39 Dengan melihat persamaan 3.36 dan 3.37 kita dapat menulis
3.40
dan 3.41
Universitas Sumatera Utara
substitusi hubungan ini ke dalam persamaan 3.32
Dimana 3.42
Menggunakan pernyataan pada persamaan 3.38 dan 3.39 untuk nilai [C] dan [D] dan memecahkan operasi yang ada pada persamaan 3.42, kita peroleh
3.43
Persamaan 3.43 di atas memberikan matriks kekakuan struktur untuk elemen pada balok-kolom. Persamaan matriks ini terdiri atas dua bagian, untuk yang pertama
merupakan matriks kekakuan biasa dari elemen yang mengalami lenturan, dan yang kedua merupakan matriks yang memuat efek dari pembebanan aksial pada kekakuan
tekuk. Matriks yang kedua ini kadangkala berkenaan dengan sebuah matriks kekakuan tegangan awal initial-stress dimana, secara tidak langsung matriks ini
menghitung pengaruh dari konstanta awal dari beban aksial berada pada karakteristik
Universitas Sumatera Utara
tekuk. Matriks ini juga memperoleh gaya tekan aksial, juga dapat digunakan sama untuk bagian dengan gaya tekan awal jika tanda pada matriks ini diubah terlebih
dahulu yakni dari negatif ke positif. Perhitungan yang melibatkan matriks kekakuan untuk elemen balok-kolom
dianggap memerlukan penyederhanaan jika ketentuan yang berlaku pada matriks tersebut memiliki dimensi yang sama. Ini dapat diselesaikan dengan memodifikasi
matriks gaya dan perpindahan sehingga ketentuan awal memiliki dimensi gaya dan yang terakhir dimensi jarak, sehingga bentuk matriks kekakuan ini khususnya
berguna ketika matriks kekakuannya harus diinversikan.
III.3.3 Perhitungan Beban Kritis
Sebagai sebuah ilustrasi, metode kekakuan akan digunakan untuk menentukan beban kritis dari kolom seperti yang terlihat pada gambar 3.4. Dengan panjang
kolom L dan sebuah kekakuan lentur yang seragam EI dan untuk tujuan analisis maka perlu dibagi lagi dalam dua elemen. Deformasi positif dan gaya-gaya yang sesuai,
baik untuk semua bagian maupun elemen-elemen individual seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Universitas Sumatera Utara
Matriks kekakuan struktur untuk semua kolom dapat diperoleh dengan mengubah bentuk dari matriks kekakuan elemen individual dari setiap elemen
terhadap koordinat struktur dan kemudian mengkombinasikan matriks hasil. Perubahan bentuk matriks yang berhubungan dengan deformasi struktur terhadap
deformasi elemen adalah
δ
1
δ
2
l δ
3
δ
4
l
dan
δ
1
δ
2
l δ
3
δ
4
l
Gambar 3.4 Gaya nodal dan perpindahan
Universitas Sumatera Utara
Penyelesaian untuk setiap elemen, transformasi dari koordinat sesuai dengan persamaan 3.27, kita peroleh
3.44
3.45
Karena matriks transformasi untuk setiap elemen merupakan matriks identitas, transformasi dari elemen terhadap koordinat struktur tidaklah mengubah isi yang
terdapat pada matriks kekakuan. Namun, hal ini sekarang menunjukkan beban struktur untuk setiap unit deformasi struktur, juga menunjukkan gaya-gaya elemen
untuk setiap unit deformasi elemen sebelumnya. Maka, penandaan baris dan kolom pada persamaan 3.44 dan 3.45 adalah
∆ dan W.
Penggabungan matriks pada persamaan 3.44 dan 3.45 akan kita peroleh matriks kekakuan untuk semua bagian.
Misalkan matriks kekakuan global struktur [D] dan matriks kekakuan geometri struktur [C] maka dapat ditulis:
Universitas Sumatera Utara
[ ] [ ] [ ] [ ]
∆
−
= C
l P
D l
EI W
3.46 Matriks ini berlaku untuk setiap kondisi batas. Dengan ini, sekarang beban kritis
dapat ditentukan baik untuk perletakan jepit-jepit maupun sendi-sendi.
Universitas Sumatera Utara
BAB IV PEMBAHASAN
Kategori