SKEMA HIERARKIS BILANGAN PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN PERBANDINGAN RATIO VARIASI

1

BAB I BILANGAN

I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN

Bilangan non prima Bilangan asli Bilangan prima Bilangan Bulat Rasional Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat Irasional Bilangan Nul Nol Bilanan Kompleks Bilangan Imajiner

II. PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN

Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganReal dan imajiner Bilangan Real : Bilangan yang nyata .. 0.02, -V3 macam-macam bilangan Bilangan Imajiner : Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative Contoh : V-2, V-0,05, V-3 Simbolnya xi Bilangan Rasional : Bilangan yang terbentuk dalam pq Dimana P Q adalah bilangan bulat, dan bilangan desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 berulang Bilangan Irasional : Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak rasional Misalnya : V2 V3 Tak berulang V Atau disebut juga bilangan berbentuk akar 2 Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + B.B – Misal : -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3 Bilangan Cacah : disebut juga sebagai bilangan bulat positif Bilangan Asli : yang terdiri 1,2,3 dst Bilangan Prima : bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima

III. OPERASI HITUNG PADA REAL TURUNANNYA

1 Penjumlahan = + 2+3 2 Penguranngan = - 2-3 3 Perkalian = X 3 . 222 = 2+1+1 = 23 4 Pembagian = : ; . . . 24 = 2 4-1 = 2 3 2 Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya : 1. Hukum Komulatif 2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2 Tapi 2-3 3-2 2. Hukum Asosiatif 2+3 +4 = 2+ 3+4 2.3 . 4 = 2.3 . 4 3. Hukum Distributif 2 3+4 = 2.3 + 2.4 2 3-4 = 2.3 – 2.4

A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL PENJUMLAHAN

3 i Va + Va = 2 Va Contoh : 1. V3 + V3 = 2 V3 2. V7 + V7 = 2 V7 ii Va + Vb = Va + Vb Tetap karena bilangan pokoknya berbeda Contoh : V2 + V3 = V2 + V3 iii a Vb + c Vb = a+c Vb Contoh : 3 V5 + 2 V5 = 3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional PENGURANGAN i Va – Va = 0 Note : Va – Va = 1-1 Va = 0 Va = 0 Contoh : 1. V2 – V2 = 0 2. V5 – V5 = 0 ii Va – Vb = Va – Vb Contoh : 1. V3 – V5 = V3 – V5 2. V7 – V3 = V7 – V3 iii aVb – cVb = a-c Vb contoh : 1. 5V7 – 2V7 = 5-2 V7 Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional 4 PERKALIAN i Va x Va = a Note : Va x Va Contoh : = Va.a = Va2 V2 x V2 = 2 = a2 ½ V5 x V5 = 5 = a 22 = a 1 = a ii Va x Vb = Vab Contoh : 1. V3 . V5 = V15 2. V5 . V7 = V35 iii aVb x cVb = a.x Vb b = ac b 2 ½ = ac b 22 = acb atau abc Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias rasionalirsaional. PEMBAGIAN I a Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional Vb Note : a = a x vb vb vb vb = a vb = a vb b b contoh : 1. 1 = 1 x V2 V2 V2 V2 5 = 1 V2 = 1 V2 2 2 2. V3 = V3 x V5 V5 V2 V2 = V15 = 1 V15 5 5 II 1 = 1 x Va + Vb Va + Vb Va+Vb Va – Vb = 1 Va – Vb Va + Vb Va – Vb = 1 Va – Vb a Vab + V ab = Va = Vb Sudah Rasional a – b contoh : 1 = 1 x V3 + V5 Va + Vb V3+V5 V4 – V5 = V3 + V5 V3 . V3 – V5 V5 MENYEDERHANAKAN ANGKA 1. V20 = V4 . V5 = 2 V5 2. V32 = V16 . V2 = 4 V2 3. V200 = V100 . V2 = 10 V2 Contoh soal : 1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12 = 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3 = 2+2+4 V2 + 2+2 V3 = 8 V2 + 4 V3 6 2. 1+3+V2 = 4-V50 + V243 = 1 + 3V2 – 4-5 V2 + 9 V3 = 1 – 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 8 V2 + 9 V3 3. V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13 = V11 – V13 V11 – V13 = V11 + V13 V11 – V13 = 11 – V143 + V143 + 13 11 – V143 – V143 – 13 = 11 – V143 – V143 + 3 11 – 3 = 11 – 2 V143 + 13 = 24 – 2 V143 = 24 – 2 V14 11 – 13 11 – 13 -2 = -12 + 2 V143 4. 3 V2 – 2 V3 = 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2 2 V3 – 3V2 2 V3 – 3 v2 2 V3 + 3 V2 = 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6 4 V9 – 9 V4 = 9 V4 – 9 V9 = 9.2 – 4.3 4 V9 – 9 V4 4.3 – 9.2 = 18 – 12 12 – 18 = 6-6 = .1 5. V10 – V8 2 = V10 – V8 V10 – V8 = 10 – V80 – V80 + 8 = 18 – 2 V180 7

B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR

Ditulis : a x b ; a + b atau ab maksudnya a kali b biasanya berbentuk symbol huruf a … z jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol. Contoh : 5 koef x dari 5x Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga Contoh : 5q adalah koefisien x 3 dari 5 qx 3 Penjumlahan pada aljabar : Contoh = a+b+c + a+b+c = a+b + b+b + c+ Atau A + b + c A + b + c 2a + 2b +2c Pengurangan pada aljabar Contoh : -a – b + c – a + b – c = samakan variable yang sama Perkalian pada bilangan aljabar Hitunglah : a.b 2 x a 2 b 3 = a 1+2 b 2+3 = a 3 b 5 lihat sifat pada bilangan eksponen latihan : 1. Hitunglah 2a – 3b + 4c +2 a-b 2. Sederhanakanlah 3 2-3 2a + 4 – 4a 3. Hitunglah : 2 2 . b 2 aVb : untuk a = 2 : b 3 8

C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN Pecahan

1 3 dinamakan pembilang 4 dinamakan penyebut Berbentuk a semakin besar penyebut b semakin kecil nilai pecahan itu pecahan-pecahan yang senilai 1 = 5 didepan 1 x 5 = 5 2 10 2 x 5 = 10 3 = 9 3 x 3 = 9 4 12 4 x 3 = 12 Membandingkan 2 pecahan 7 dengan 6 8 8 Caranya samakan penyebut dulu 7 x 7 6 x 8 8 x 7 7 x 8 49 48 56 56 7 6 8 7 Pecahan campuran Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran 5 = 5 + 1 = 1 1 5 5 5 5 9 7 = 4 + 6 = 1 3 4 4 4 4 Hanya pecahan yang nilainya 1 Mencari bilangan antara dua pecahan Tentukan bilangan antara 25 dan 511 Jawab : 2 dan 5 2 x 4 … … … 5 x 5 = 22 . 33 . 25 . 25 5 11 5 x 11 11 x 1 55 55 55 15 Penjumlahan : a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6 bukan 6 2 2 2 2 4 b. 3 + 1 samakan penyebut 9 + 4 = 13 4 3 x 4 12 12 12 Pengurangan a. 5 – 1 = 5 – 1 = 4 2 2 2 2 b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut 9 – 4 = 5 4 x 3 3 12 12 12 Perkalian 2 x 1 = 2 x 1 = 2 5 3 5 x 3 15 5 x 1 = 5 x 1 = 5 3 1 x 3 3 2 x -1 = 2 x -1 = -2 3 1 x 2 -2 2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1 2 1 x 2 2 10 Pembagian a. 1 : 1 = 1 x kebalikan dari 1 = 2 2 2 1 = 1 x 2 1 = 1 x 2 = 2 b. 2 : 1 = 2 x 2 4 2 4 1 c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3 3 9 3 1 3 Pecahan Desimal Berasal dari kata decimus bahasa latin yang berarti persepuluh milsanya : = 1 = 0,1 : 1 = 0,01 10 100 Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh : 2 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal 2 = 2 x 2 = 4 = 0,4 5 5 2 10 4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375 8 8 x 125 = 40 1000 Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10 Pecahan persen Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100 Conoh : 25 100 : 25 Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya 11 Contoh : 4  persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50 8 8 : 4 2 2  persen = 2 x 100 = 200 7 7 1 35  pecahan biasa sama juga dengan menyederhanakan bilangan 35 : 5 = 7 100 : 5 10 Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 1 = 25 x 1 1 2 2 100 = 25 100 D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT 1. Penjumlahan a. 5 + 1 = 6 b. 2 + 3 = 5 c. -2 + 3 = 1 d. -3 + 4 = 1 2. Pengurangan a. 8 – 3 = 5 b. 7 – 3 = 10 c. 6 – 7 = -1 d. 7 + -10 = 7 – 10 = 3 e. -6 – 3 = -9 f. -6 – -3 = -6 + 3 = -3 12 3. Perkalian a. 2 x 3 = 6 - x - = + b. -2 x -3 = 6 - x - = - c. 2 x -3 = -6 - x + = - d. -2 x 3 = -6 4. Pembagian a. 10 : 5 : 102 = 2 b. -10 : 5 – 105 = -2 c. 10 – 2 105 = -105 = -2

I. PERBANDINGAN RATIO

Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya perwira dari seluru crew? Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 1025

II. PROPORSI

Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua :: Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40 5 : 10 :: 20 : 40 Atau 5 : 10 = 20 : 40 5 = 20 10 40

A. INVERSE PROPORSI BERBALIK HARGA

Ditulis : ab = cd Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya 13 Contoh 1 : 25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18 orang Jawab : Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat “kecil” Banyaknya pekerja lama mengerjarkan hari 25 54 18 x 2518 = x54 X = 125 hari catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang

B. DIRECT PROPORSI 10 : 20 = 25 : 50 = ½

ab = cd artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya contoh 2 : Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang diterima jika bekerja 7 jam. Jawab : Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya senilai Banyaknya jam bekerja besarnya upah Rp 4 17.000 7 x 4 = 17000 7 x 4.x = 17000 x 7 4 Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut 14 Contoh 3 : Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin Jawab : Banyaknya pekerja banyaknya mesin yang dirakit banyaknya hari 8 2 18 12 5 ? Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat dirakit direct proporsi kemudian dengan banyaknya hari inverseproportion 8 . 5 = x 12 2 10 40 = x 24 18 24.x = 40 . 18 X = ….. hari

III. VARIASI

Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi untuk variasi adalah : = A = B A = Konstant B Direct Proporsi A 1 = A 2  B 1 B 2 A = 1 B A 1 B 1 = A 2 B 2  Inverse proporsi 15 Contoh : Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm ? Jawab : R adalah resistan tali R 1 = 2 ohm L adalah luas tali L 1 = 0,0001 m L 2 = 0,00005 m P adalah panjang tali P 1 = 100 m P 2 = 250 m Ditanya R 2 Penyelesaiannya : Karena : 1 R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L R 1 = R 2 L 1 L 2 2 R berbanding terbalik dengan luasnya, maka : R = 1P R 1 P 1 = R 2 P 2 L 1 L 2 Coba anda cari nila R 2 Bentuk baku Notasi Ilmiah Perhatikan bentuk decimal 0, 1 : 0,0 : 0 , 000 0. 1 = 1 10 -1 1. 10 – 1 1. 10-2 1 x 10-4 10 1a = _ a-n Banyaknya bilangan dibelakang koma 0,0075 = 75 x 10 -4 : : : = 7,5 x 10 -3 123 Pertidak samaan bilangan 16 “ ditandai dengan tanda pertidaksamaan Contoh : Symbol-symbol pertidaksamaan , , , A b adalah dua bilangan bulat A = b a sama dengan b A b dibaca a lebih dari b A b dibaca a kurang dari b Sedangkan : A b dibaca a lebih dari satu sama dengan b A b dibaca a kurang dari atau sama dengan b Contoh 1 : 2 2 -4 0 -1 -3

1. Carilah nilai x yang memenuhi

X + 2 3 x anggota bilangan real Jawab : X = 3 – 2 X 1 Hp = 1,2,3…. Contoh 2 :

I. Pertidaksamaan linear