1
BAB I BILANGAN
I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN
Bilangan non prima Bilangan asli
Bilangan prima Bilangan Bulat
Rasional Bilangan Real
Bilangan Cacah Bilangan Bulat
Irasional Bilangan Nul Nol
Bilanan Kompleks Bilangan Imajiner
II. PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN
Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganReal
dan imajiner Bilangan Real
: Bilangan yang nyata .. 0.02, -V3 macam-macam bilangan Bilangan Imajiner
: Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative Contoh
: V-2, V-0,05, V-3
Simbolnya xi Bilangan Rasional
: Bilangan yang terbentuk dalam pq Dimana P Q adalah bilangan bulat, dan bilangan
desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 berulang Bilangan Irasional
: Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak rasional
Misalnya : V2
V3 Tak berulang V
Atau disebut juga bilangan berbentuk akar
2
Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + B.B
– Misal
: -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3 Bilangan Cacah
: disebut juga sebagai bilangan bulat positif Bilangan Asli
: yang terdiri 1,2,3 dst Bilangan Prima
: bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri
Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima
III. OPERASI HITUNG PADA REAL TURUNANNYA
1 Penjumlahan = +
2+3 2 Penguranngan = -
2-3 3 Perkalian
= X 3 . 222 = 2+1+1 = 23
4 Pembagian = : ; . . .
24 = 2 4-1 = 2 3 2
Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya :
1. Hukum Komulatif 2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2
Tapi 2-3 3-2
2. Hukum Asosiatif 2+3 +4 = 2+ 3+4
2.3 . 4 = 2.3 . 4
3. Hukum Distributif 2 3+4 = 2.3 + 2.4
2 3-4 = 2.3 – 2.4
A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL PENJUMLAHAN
3
i Va + Va = 2 Va Contoh :
1. V3 + V3 = 2 V3 2. V7 + V7 = 2 V7
ii Va + Vb = Va + Vb Tetap karena bilangan pokoknya berbeda
Contoh : V2 + V3 = V2 + V3
iii a Vb + c Vb = a+c Vb Contoh :
3 V5 + 2 V5 = 3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional
PENGURANGAN
i Va – Va = 0
Note : Va – Va = 1-1 Va
= 0 Va = 0 Contoh :
1. V2 – V2 = 0
2. V5 – V5 = 0
ii Va – Vb = Va – Vb
Contoh : 1. V3
– V5 = V3 – V5 2. V7
– V3 = V7 – V3
iii aVb – cVb = a-c Vb
contoh : 1. 5V7
– 2V7 = 5-2 V7
Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional
4
PERKALIAN
i Va x Va = a Note : Va x Va
Contoh : = Va.a = Va2
V2 x V2 = 2 = a2 ½
V5 x V5 = 5 = a 22 = a
1
= a
ii Va x Vb = Vab Contoh :
1. V3 . V5 = V15 2. V5 . V7 = V35
iii aVb x cVb = a.x Vb b = ac b
2
½ = ac b 22
= acb atau abc
Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias rasionalirsaional.
PEMBAGIAN
I a Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional Vb
Note : a = a x vb
vb vb vb = a vb = a vb
b b
contoh : 1. 1
= 1 x V2 V2
V2 V2
5
= 1 V2 = 1 V2 2
2
2. V3 = V3 x V5
V5 V2 V2
= V15 = 1 V15 5 5
II 1
= 1
x Va + Vb Va + Vb
Va+Vb Va
– Vb = 1 Va
– Vb Va + Vb Va
– Vb = 1 Va
– Vb a Vab + V ab
= Va = Vb Sudah Rasional
a – b
contoh : 1
= 1
x V3 + V5 Va + Vb
V3+V5 V4
– V5 = V3 + V5
V3 . V3 – V5 V5
MENYEDERHANAKAN ANGKA 1. V20
= V4 . V5 = 2 V5
2. V32 = V16 . V2
= 4 V2 3. V200
= V100 . V2 = 10 V2
Contoh soal : 1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12
= 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3 = 2+2+4 V2 + 2+2 V3
= 8 V2 + 4 V3
6
2. 1+3+V2 = 4-V50 + V243 = 1 + 3V2
– 4-5 V2 + 9 V3 = 1
– 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3
= -3 + 8 V2 + 9 V3
3. V11 – V13
= V11 – V13 x V11 – V13
= V11 – V13 x V11 – V13
= V11 – V13 V11 – V13
= V11 + V13 V11 – V13
= 11 – V143 + V143 + 13
11 – V143 – V143 – 13
= 11 – V143 – V143 + 3
11 – 3
= 11 – 2 V143 + 13
= 24 – 2 V143
= 24 – 2 V14
11 – 13
11 – 13
-2 = -12 + 2 V143
4. 3 V2 – 2 V3 = 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2
2 V3 – 3V2
2 V3 – 3 v2 2 V3 + 3 V2
= 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6
4 V9 – 9 V4
= 9 V4 – 9 V9 = 9.2 – 4.3
4 V9 – 9 V4 4.3 – 9.2
= 18 – 12
12 – 18
= 6-6 = .1
5. V10 – V8
2
= V10 – V8 V10 – V8
= 10 – V80 – V80 + 8
= 18 – 2 V180
7
B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR
Ditulis : a x b ; a + b atau ab maksudnya a kali b biasanya berbentuk symbol huruf a … z
jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol.
Contoh : 5 koef x dari 5x
Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga Contoh : 5q adalah koefisien x
3
dari 5 qx
3
Penjumlahan pada aljabar : Contoh
= a+b+c + a+b+c = a+b + b+b + c+
Atau A + b + c
A + b + c 2a + 2b +2c
Pengurangan pada aljabar Contoh :
-a – b + c – a + b – c = samakan variable yang sama
Perkalian pada bilangan aljabar Hitunglah :
a.b
2
x a
2
b
3
= a
1+2
b
2+3
= a
3
b
5
lihat sifat pada bilangan eksponen
latihan : 1. Hitunglah 2a
– 3b + 4c +2 a-b 2. Sederhanakanlah 3 2-3 2a + 4
– 4a 3. Hitunglah : 2
2
. b
2
aVb : untuk a = 2 : b 3
8
C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN Pecahan
1 3 dinamakan pembilang 4 dinamakan penyebut
Berbentuk a semakin besar penyebut
b semakin kecil nilai pecahan itu
pecahan-pecahan yang senilai 1 = 5
didepan 1 x 5 = 5
2 10 2 x 5 = 10
3 = 9 3 x 3 = 9
4 12 4 x 3 = 12
Membandingkan 2 pecahan 7 dengan 6
8 8
Caranya samakan penyebut dulu 7 x 7
6 x 8 8 x 7
7 x 8
49 48
56 56
7 6
8 7
Pecahan campuran Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran
5 = 5 + 1 = 1 1 5 5 5 5
9
7 = 4 + 6 = 1 3 4 4 4 4
Hanya pecahan yang nilainya 1 Mencari bilangan antara dua pecahan
Tentukan bilangan antara 25 dan 511
Jawab : 2 dan
5 2 x 4
… … … 5 x 5 = 22 . 33 . 25 . 25
5 11
5 x 11 11 x 1
55 55 55 15 Penjumlahan :
a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6 bukan 6
2 2 2 2 4
b. 3 + 1 samakan penyebut 9 + 4 = 13 4 3 x 4
12 12 12
Pengurangan a. 5
– 1 = 5 – 1 = 4 2 2 2 2
b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut 9 – 4 = 5
4 x 3 3 12 12 12
Perkalian 2 x 1 = 2 x 1 = 2
5 3 5 x 3 15
5 x 1 = 5 x 1 = 5 3 1 x 3 3
2 x -1 = 2 x -1 = -2 3 1 x 2 -2
2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1 2 1 x 2 2
10
Pembagian a. 1 : 1 = 1 x kebalikan dari 1 = 2
2 2 1 = 1 x 2
1 = 1 x 2 = 2
b. 2 : 1 = 2 x 2 4 2 4 1
c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3 3 9 3 1 3
Pecahan Desimal
Berasal dari kata decimus bahasa latin yang berarti persepuluh milsanya : = 1 = 0,1 : 1 = 0,01
10 100
Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh : 2 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal
2 = 2 x 2 = 4 = 0,4 5 5 2 10
4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375 8 8 x 125 = 40 1000
Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10
Pecahan persen Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100
Conoh : 25 100 : 25 Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya
11
Contoh : 4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50
8 8 : 4 2
2 persen = 2 x 100 = 200 7 7
1
35 pecahan biasa sama juga dengan menyederhanakan bilangan
35 : 5 = 7 100 : 5 10
Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 1 = 25 x 1
1 2 2 100
= 25 100
D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT
1. Penjumlahan a. 5 + 1 = 6
b. 2 + 3 = 5 c. -2 + 3 = 1
d. -3 + 4 = 1
2. Pengurangan a. 8
– 3 = 5 b. 7
– 3 = 10 c. 6
– 7 = -1 d. 7 + -10 = 7
– 10 = 3 e. -6
– 3 = -9 f. -6
– -3 = -6 + 3 = -3
12
3. Perkalian a. 2 x 3 = 6
- x - = + b. -2 x -3 = 6
- x - = - c. 2 x -3 = -6
- x + = - d. -2 x 3 = -6
4. Pembagian a. 10 : 5 : 102 = 2
b. -10 : 5 – 105 = -2
c. 10 – 2 105 = -105 = -2
I. PERBANDINGAN RATIO
Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya
perwira dari seluru crew? Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 1025
II. PROPORSI
Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua ::
Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40 5 : 10 :: 20 : 40
Atau 5 : 10 = 20 : 40
5 = 20 10 40
A. INVERSE PROPORSI BERBALIK HARGA
Ditulis : ab = cd Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya
13
Contoh 1 : 25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18
orang
Jawab : Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat “kecil”
Banyaknya pekerja lama mengerjarkan hari
25 54
18 x
2518 = x54 X = 125 hari catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang
B. DIRECT PROPORSI 10 : 20 = 25 : 50 = ½
ab = cd
artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya
contoh 2 : Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang diterima jika
bekerja 7 jam. Jawab :
Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya senilai Banyaknya jam bekerja
besarnya upah Rp 4
17.000 7
x 4 = 17000
7 x 4.x = 17000 x 7
4
Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut
14
Contoh 3 : Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat
diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin
Jawab : Banyaknya pekerja
banyaknya mesin yang dirakit banyaknya hari
8 2
18 12
5 ?
Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat dirakit direct proporsi kemudian dengan banyaknya hari inverseproportion
8 . 5 = x 12 2 10
40 = x 24 18
24.x = 40 . 18 X = ….. hari
III. VARIASI
Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling
ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi
untuk variasi adalah : = A = B
A = Konstant B
Direct Proporsi A
1
= A
2
B
1
B
2
A = 1 B
A
1
B
1
= A
2
B
2
Inverse proporsi
15
Contoh : Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan
luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm ?
Jawab : R adalah resistan tali
R
1
= 2 ohm L adalah luas tali
L
1
= 0,0001 m L
2
= 0,00005 m P adalah panjang tali
P
1
= 100 m P
2
= 250 m Ditanya R
2
Penyelesaiannya : Karena :
1 R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L R
1
= R
2
L
1
L
2
2 R berbanding terbalik dengan luasnya, maka : R = 1P
R
1
P
1
= R
2
P
2
L
1
L
2
Coba anda cari nila R
2
Bentuk baku Notasi Ilmiah Perhatikan bentuk decimal
0, 1 : 0,0 : 0 , 000 0. 1 = 1
10
-1
1. 10 – 1
1. 10-2 1 x 10-4 10
1a = _ a-n
Banyaknya bilangan dibelakang koma 0,0075
= 75 x 10
-4
: : : = 7,5 x 10
-3
123
Pertidak samaan bilangan
16
“ ditandai dengan tanda pertidaksamaan Contoh :
Symbol-symbol pertidaksamaan , , ,
A b adalah dua bilangan bulat A = b
a sama dengan b A b
dibaca a lebih dari b A b
dibaca a kurang dari b
Sedangkan : A b
dibaca a lebih dari satu sama dengan b A b
dibaca a kurang dari atau sama dengan b
Contoh 1 : 2 2
-4 0 -1 -3
1. Carilah nilai x yang memenuhi
X + 2 3 x anggota bilangan real
Jawab : X = 3
– 2 X 1
Hp = 1,2,3….
Contoh 2 :
I. Pertidaksamaan linear