RANGKAIAN DENGAN SUMBER TAK BEBAS ANALISA TITIK SIMPUL TEOREMA SUPERPOSISI

3.1 RANGKAIAN DENGAN SUMBER TAK BEBAS

Metode untuk menganalisis rangkaian yang mengandung sumber tak bebas sama dengan metode analisis pada rangkaian resistip yang mengandung sumber bebas. Hukum Ohm dan Kirchoff, prinsip pembagi arus dan tegangan dapat diaplikasikan pada rangkaian yang mengandung sumber tak bebas. CONTOH 3-1 Diketahui seperti pada gambar: Ditanya : v 1 = ... Penyelesaian : Gunakan Hukum KVL : − 18+v 1 + 2v 1 + 3i=0 − 18+2i +22i+3i=0 9i=18 i=2 A v 1 = 2i v 1 = 2.1=2V CONTOH 3-2 Diketahui seperti pada gambar: Ditanya : av 1 = ... Diktat Rangkaian Elektrik-1 15 b i 2 =.... Penyelesaian : a v 1 = 3 . 8=24 V b sederhanakan rangkaian diatas dengan menganti resistor paralel dengan ekivalen resistornya Gunakan KVL pada loop kanan: 3v 1 + 8i+4i=0 3.24 +12i=0 72+12i=0 i=−6 A i 2 =− 6 6+12 .−6 A i 2 = 2 A Diktat Rangkaian Elektrik-1 16 B ab 4 M ETODE A NALISIS R ANGKAIAN

4.1 ANALISA TITIK SIMPUL

Analisis simpul Nodal Analysis adalah metoda analisis rangkaian yang berdasarkan pada prinsip Hukum Kirchoff Arus KCL. Rangkaian yang dianalisis pada bab ini adalah rangkaian planar yaitu jenis rangkaian dimana tidak ada cabang yang saling tumpang tindih. Titik simpul adalah titik yang merupakan sambungan antara dua atau lebih elemen. Ada dua macam titik simpul yang ada pada rangkaian, yaitu titik simpul biasa dan titik simpul referensi. Titik simpul referensi dipilih dari suatu titik simpul yang mempunyai paling banyak cabang yang terhubung dengan titik simpul tersebut. Biasanya dipilih yang berada di bagian bawah rangkaian. Apabila suatu rangkaian mempunyai N buah titik simpul termasuk titik simpul referensi maka persamaan KCL yang dihasilkan N-1 buah. Persamaan KCL ini biasanya dituliskan dalam bentuk matrik : [ R ] − 1 [ V ] = [ I ] [ G ][ V ] = [ I ] Variabel yang dicari dalam analisis titik simpul adalah tegangan pada titik simpul. Diktat Rangkaian Elektrik-1 17

4.1 Analisa Titik Simpul 4.2 Analisa Mata Jala

4.1.1 Rangkaian dengan Sumber Arus

Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber arus dibawah ini : Tuliskan persamaan KCl pada masing-masing titik simpul. Pada titik simpul 1: Im=Ik i s 1 = i 1 + i 2 i s 1 = v 1 R 1 + v 1 − v 2 R 2 1 R 1 + 1 R 2 v 1 − 1 R 2 v 2 = i s 1 1 Pada titik simpul 2: Diktat Rangkaian Elektrik-1 18 Im=Ik i s 2 = i 3 + i 4 i s 2 = v 2 R 3 + v 2 − v 1 R 2 − 1 R 2 v 1 + 1 R 2 + 1 R 3 v 2 = i s 2 2 Persamaan 1 dan 2 kita tuliskan dalam bentuk matrik : 1 R 1 + 1 R 2 - 1 R 2 − 1 R 2 1 R 2 + 1 R 3 ¿ rig h ¿ ¿ ¿ [ ] ¿ v 1 v 2 ¿ rig h ¿ ¿ ¿ i s1 i s 2 ¿ rig h ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ Tegangan pada titik simpul 1 dan 2, dapat dicari dengan menggunakan metode determinan untuk matrik konduktansi orde 2x2 atau aturan Cramer untuk matrik konduktansi orde 3x3 atau lebih. i s1 - 1 R 2 i s2 1 R 2 + 1 R 3 ¿ rli ¿ ¿  ¿ 1 R 1 + 1 R 2 - 1 R 2 − 1 R 2 1 R 2 + 1 R 3 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ | ¿ | ¿ ¿ ¿ v 1 = ¿ ¿ Diktat Rangkaian Elektrik-1 19 1 R 1 + 1 R 2 i s1 - 1 R 2 i s2 ¿ rli ¿ ¿  ¿ 1 R 1 + 1 R 2 - 1 R 2 − 1 R 2 1 R 2 + 1 R 3 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ | ¿ | ¿ ¿ ¿ v 2 = ¿ ¿

4.1.2 Rangkaian dengan Sumber Tegangan

Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber arus dibawah ini : Tuliskan persamaan KCl pada masing-masing titik simpul. Pada titik simpul 1: Diktat Rangkaian Elektrik-1 20 Im=Ik i m 1 = i 1 + i 2 v s 1 − v 1 R 1 = v 1 R 2 + v 1 − v 2 R 3 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 v 1 - 1 R 3 v 2 = v s 1 R 1 1 Pada titik simpul 2: Im=Ik i m 2 = i 3 + i 4 v s 2 − v 2 R 5 = v 2 R 4 + v 2 − v 1 R 3 - 1 R 3 v 1 + 1 R 3 + 1 R 4 + 1 R 5 v 2 = v s 2 R 5 2 Persamaan 1 dan 2 kita tuliskan dalam bentuk matrik : 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 - 1 R 3 − 1 R 3 1 R 3 + 1 R 4 + 1 R 5 ¿ ri g h ¿ ¿ ¿ [ ] ¿ v 1 v 2 ¿ ri g h ¿ ¿ ¿ v s 1 R 1 v s 1 R 5 ¿ ri g h ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ Tegangan pada titik simpul 1 dan 2, dapat dicari dengan menggunakan metode determinan untuk matrik konduktansi orde 2x2 atau aturan Cramer untuk matrik konduktansi orde 3x3 atau lebih. Diktat Rangkaian Elektrik-1 21 v s1 R 1 - 1 R 3 v s2 R 5 1 R 3 + 1 R 4 + 1 R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 - 1 R 2 − 1 R 3 1 R 3 + 1 R 4 + 1 R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ | ¿ | ¿ ¿ ¿ v 1 = ¿ ¿ 1 R 3 + 1 R 4 + 1 R 5 v s1 R 1 − 1 R 3 v s2 R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 - 1 R 2 − 1 R 3 1 R 3 + 1 R 4 + 1 R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ | ¿ | ¿ ¿ ¿ v 1 = ¿ ¿ Apabila diantara dua titik simpul terdapat sumber tegangan bebas maupun sumber tegangan tak bebas, maka diantara kedua titik simpul tersebut terbentuk titik simpul istimewa supernode. Adanya titik simpul istimewa mengurangi persamaan KCL yang dihasilkan. Perhatikan gambar rangkaian dibawah ini, daerah yang berwarna hijau adalah titik simpul istimewa yang terbentuk antara dua titik simpul. Hanya satu persamaan KCL yang diperlukan yaitu persamaan KCL pada titik simpul istimewa saja. Diktat Rangkaian Elektrik-1 22 Titik Simpul Istimewa: i m = i k v s − v 1 R 1 = v 1 R 2 + v 1 + v R 3 + i s Jika v s ,i s ,R 1 ,R 2 ,R 3 diketahui maka v 1 dapat dicari melalui persamaan diatas. Titik simpul istimewa adalah hubungan antara dua titik simpul yang diantara keduanya terdapat sumber tegangan bebas maupun sumber tegangan tak bebas. CONTOH 4-1 Dit : v x =... Penyelesaian : Dari gambar diketahui : v x = v 2 tegangan pada titik simpul 2 Titik Simpul 1: Diktat Rangkaian Elektrik-1 23 ∑ i=0 v 1 2 + v 1 1 + v 1 − v 2 8 + v x 4 = v 1 2 + v 1 1 + v 1 − v 2 8 + v 2 4 = 1 2 + 1+ 1 8 v 1 + 1 4 − 1 8 v 2 = 1, 625 v 1 + 0,125 v 2 = Titik Simpul 2: ∑ i=0 v 1 − v 2 8 + v x 4 − v 2 4 + 14=0 v 1 − v 2 8 + v 2 4 − v 2 4 + 14=0 1 8 v 1 + − 1 8 v 2 =− 14 0,125 v 1 − 0,125 v 2 =− 14 1, 625 0,125 0, 125 -0, 125 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ [ ] ¿ v 1 v 2 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ − 14 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ [ ] ¿ ¿ 1 , 625 0, 125 -14 ¿ rl i ¿ ¿   ¿ 1, 625 0,125 0, 125 -0, 125 ¿ rl i ¿ ¿   ¿ ¿ [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

4.2 ANALISIS MATA JALA

MESH ANALYSIS Diktat Rangkaian Elektrik-1 24 Analisis mata jala Mesh Analysis adalah metoda analisis rangkaian yang berdasarkan pada prinsip Hukum Kirchoff Tegangan KVL. Matajala adalah bentuk khusus dari sebuah loop. Matajala adalah loop yang tidak mengandung loop lain didalam siklus tertutupnya. Metode mata jala ini hanya berlaku pada rangkaian planar. Metode mata jala dilakukan dengan membuat persamaan KVL pada siklus tertutup mata jala tersebut. Apabila suatu rangkaian mempunyai N buah mata jala maka persamaan KVL yang dihasilkan N buah. Persamaan KVL ini biasanya dituliskan dalam bentuk matrik : [ R ] [ I ] = [ V ] Variabel yang dicari dalam analisis mata jala adalah arus mata jala. Arus mata jala adalah arus yang mengalir pada elemen yang dilewati jalur mata jala. Arus mata jala diberi arah searah dengan jarum jam. Arus mata jala bukan merupakan arus cabang, tetapi hanyalah “dummy current”. Sehingga arus yang mengalir pada suatu elemen yang dilalui oleh dua mata jala adalah jumlah aljabar dari arus dua mata jala.

4.2.1 Rangkaian dengan Sumber Tegangan

Perhatikan rangkaian yang mengandung sumber tegangan dibawah ini: Diktat Rangkaian Elektrik-1 25 Rangkaian diatas terdiri dari 3 buah mata jala. Persamaan KVL dituliskan untuk masing-masing mata jala. Mata jala 1: − v s 1 + R 1 i 1 + R 2 i 1 − i 2 = R 1 + R 2 i 1 − R 2 i 2 = v s1 1 Mata jala 2: R 2 i 2 − i 1 + R 3 i 2 + R 4 i 2 − i 3 = − R 2 i 1 + R 2 + R 3 + R 4 i 2 − R 4 i 3 = 0 2 Mata jala 3: R 4 i 3 − i 2 + R 5 i 3 + v s2 = − R 4 i 2 + R 4 + R 5 i 3 =− v s 2 3 Ke tiga persamaan diatas dituliskan dalam bentuk matrik: R 1 + R 2 - R 2 − R 2 R 2 + R 3 + R 4 - R 4 0 - R 4 R 4 + R 5 ¿ rig h ¿ ¿ ¿ [ ] ¿ i 1 i 2 i 3 ¿ rig h ¿ ¿ ¿ v s 1 − v s 2 ¿ rig h ¿ ¿ [ ¿ ] [ ¿ ] ¿ ¿ ¿ Diktat Rangkaian Elektrik-1 26 v s 1 - R 2 0 R 2 + R 3 + R 4 - R 4 − v s 2 - R 4 R 4 + R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ R 1 + R 2 - R 2 − R 2 R 2 + R 3 + R 4 - R 4 0 - R 4 R 4 + R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ R 1 + R 2 v s 1 - R 2 0 - R 4 0 − v s 2 R 4 + R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ R 1 + R 2 - R 2 − R 2 R 2 + R 3 + R 4 - R 4 0 - R 4 R 4 + R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ ¿ ¿ R 1 + R 2 - R 2 v s 1 - R 2 R 2 + R 3 + R 4 0 - R 4 − v s 2 ¿ rli ¿ ¿  ¿ R 1 + R 2 - R 2 − R 2 R 2 + R 3 + R 4 - R 4 0 - R 4 R 4 + R 5 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ ¿ | ¿ || ¿ | ¿ ¿ ¿ i 1 = ¿ ¿ ¿ ¿ Arus mata jala i 1 ,i 2 ,i 3 dicari dengan aturan Cramer .

4.2.1 Rangkaian dengan Sumber Arus

Metode analisis mata jala pada rangkaian dengan sumber arus lebih mudah dibandingkan dengan sumber tegangan. Arus mata jala sama dengan arus sumber yang mengalir pada mata jala tersebut. Diktat Rangkaian Elektrik-1 27 Dari rangkaian diatas, arus mata jala 1 dan 3 langsung diketahui : i 1 = i s1 i 3 = -i s2 Sehingga hanya satu arus mata jala yang dicari yaitu i 2 . Persamaan KVL yang perlukan hanya satu saja yaitu pada mata jala dua: Mata Jala 2 : R 2 i 2 − i 1 + R 3 i 2 + R 4 i 2 − i 3 = Pada rangkaian dengan sumber arus, persamaan KVL menjadi berkurang sejumlah sumber arus yang ada. Apabila sumber arus berada pada dua mata jala seperti gambar dibawah ini: i s = i 2 –i 1 Untuk mendapatkan arus mata jala, rangkaian dapat diandaikan dengan membuat suatu mata jala super supermesh dimana sumber arus i s dimisalkan hubung terbuka : Diktat Rangkaian Elektrik-1 28 Mata jala super − v s + R 1 i 1 + R 2 i 2 + R 3 i 2 = R 1 i 1 + R 2 + R 3 i 2 = v s R 1 i 1 + R 2 + R 3 i s + i 1 = v s R 1 + R 2 + R 3 i 1 + R 2 + R 3 i s = v s i 1 = v s − R 2 + R 3 i s R 1 + R 2 + R 3 Mata jala super adalah suatu mata jala yang lebih besar yang dihasilkan dari dua mata jala yang mempunyai sumber arus bebas maupun sumber arus tak bebas bersama diantara dua mata jala. CONTOH 4-2 Dik : R 1 = R 2 = 1  R 3 = 2  Dit : i 1 ,i 2 ,i 3 = .... Penyelesaian : i 1 = 4 A i 3 − i 2 = 5 A Diktat Rangkaian Elektrik-1 29 Mata jala super : − 10+R 1 i 2 − i 1 + R 2 i 3 − i 1 + R 3 i 3 = 1i 2 − 4+1i 3 − 4+2i 3 = 10 i 2 + 3i 3 = 10+4+4 i 2 + 35+i 2 = 18 4i 2 = 3 i 2 = 3 4 A i 3 = 5+i 2 = 23 4 A Diktat Rangkaian Elektrik-1 30 ATURAN CRAMER : Jika sekumpulan persamaan aljabar linier : a 11 x 1 + a 12 x 2 + ....+a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ....+a 2n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ....+a nn x n = b n dituliskan dalam bentuk matrik : Ax = b Maka aturan Cramer mengatakan bahwa solusi untuk variabel x yang tidak diketahui, x k , dari sekumpulan persamaan diatas adalah : x k = Δ k Δ Dimana :  : deterrminan dari matrik A  k : determinan dari matrik A yang kolom ke k-nya diganti dengan kolom b Determinan a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ¿ rli ¿ ¿  ¿ ¿ Δ=a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 ¿ Cij=−1 i + j A ij ¿ Δ=a 11 − 1 1 +1 A 11 + a 12 − 1 1 + 2 A 12 + a 13 − 1 1 +3 A 13 ¿ Δ =a 11 A 11 − a 12 A 12 + a 13 A 13 ¿ Δ= a 1 1 ¿ a 22 a 23 a 32 a 33 ¿ rli ¿ ¿ − a 1 2 ¿ a 21 a 23 a 31 a 33 ¿ rli ¿ ¿ + a 1 3 ¿ | ¿ || ¿ | ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Diktat Rangkaian Elektrik-1 31 B ab 5 T E O R E M A J A R I N G A N

5.1 TEOREMA SUPERPOSISI

Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier yang terdiri dari elemen-elemen linier dan sumber bebas, kita dapat menentukan respon total dari rangkaian dengan mencari respon terhadap masing-masing sumber bebas dengan membuat sumber bebas lain menjadi tidak aktif dan kemudian menjumlahkan respon-respon dari masing-masing sumber bebas tersebut. Respon yang dicari bisa berupa arus ataupun tegangan dari suatu elemen. Biasanya prisip superposisi dilakukan pada rangkaian yang mengandung dua sumber bebas atau lebih. Pada rangkaian linier yang mengandung sumber bebas, tegangan atau arus pada suatu elemen bila dicari dengan prinsip superposisi dilakukan dengan terlebih dulu mencari tegangan atau arus dengan satu sumber bebas saja, sedangkan sumber yang lain di nonaktifkan dengan cara mengganti sumber arus bebas dengan suatu hubung terbuka open circuit dan sumber tegangan bebas dengan suatu hubung singkat short circuit. Setelah itu tegangan atau arus didapat dengan menjumlahkan respon tegangan atau arus dari masing-masing sumber bebas. Untuk rangkaian dengan N buah sumber bebas, secara sistematik urutan-urutan pengerjaan prinsip superposisi adalah : Diktat Rangkaian Elektrik-1 32

5.1 Teorema Superposisi 5.2 Teorema Thevenin