selesai diproduksi. Tingkat persediaan pemasok diperoleh dengan mengurangi jumlah produksi dengan jumlah konsumsi pembeli. Maka total biaya simpan persediaannya
adalah: Biaya persediaan pemasok
=
ℎ −
1
− −
2
3.9
Biaya set up diperoleh dari frekuensi pemasok melakukan batch produksi dikali dengan biaya set up produksi, yaitu:
Biaya set up
=
3.10
Dengan menjumlahkan persamaan 3.9 dan 3.10, total ekspektasi biaya pemasok per unit waktu adalah:
=
ℎ −
1
− −
2 +
3.11
3.3 Joint Economic Lot Size dan Solusi Optimal
Total ekspektasi biaya gabungan diperoleh dari penjumlahan total ekspektasi biaya pembeli dan total ekspektasi biaya pemasok. Jadi, dengan menjumlahkan persamaan
3.7 dan 3.11, total ekspektasi biaya gabungannya adalah:
= +
+ +
ℎ
+ +
ℎ −
1
− −
2 +
3.12
Untuk nilai yang tetap,
akan mencapai minimum pada titik
∗
,
yang memenuhi
= 0
dan
= 0
. Untuk memperoleh
∗
dan yang
optimal, maka harus diturunkan secara parsial terhadap dan terhadap dan
menyamakannya dengan nol.
Universitas Sumatera Utara
=
−
+ +
+ +
−
+
−
1
− −
2
− 3.13
=
ℎ −
[ 1
−
] = 0
3.14
Dari persamaan 3.13,
= 0
, maka diperoleh:
0 =
−
+
− −
+ +
+ +
−
1
− −
2
3.15
Dari persamaan 3.14,
= 0
, maka diperoleh: ℎ
−
[ 1
−
] = 0 [ 1
−
] =
ℎ
=
[ ]
3.16
= 1
− 3.17
Substitusi persamaan 3.16 ke dalam persamaan 3.15, sehingga diperoleh ukuran lot gabungan yang optimal sebagai berikut:
=
−
+ +
+ +
+ +
+
−
1
− −
2 +
+ +
=
ℎ
+ +
[ ]
+
ℎ −
1
− −
2
Universitas Sumatera Utara
+ +
+ =
ℎ
+
ℎ −
1
− −
2 +
+
[ ]
=
[ ]
∗
=
[ ]
3.18
Persamaan 3.18 disubstitusi ke persamaan 3.5, 3.7, 3.11, dan 3.12, diperoleh:
∗
=
∗
∗
=
∗
+ +
∗
+
∗
ℎ
+
∗ ∗
∗
=
∗
ℎ −
1
− −
2 +
∗
∗
=
∗
+ +
∗
+
∗
ℎ
+
∗ ∗
+
∗
ℎ −
1
− −
2 +
∗
Pencarian solusi terhadap nilai
∗
,
∗
,
dan
∗
yang dapat meminimumkan total biaya persediaan gabungan dapat dilakukan dengan algoritma sebagai berikut:
Langkah 1 : Tetapkan
= 1
dengan
∗
,
∗
,
−
1 =
∞. Langkah 2 : Mulai dengan lot pengiriman
=
Langkah 3 : Gunakan nilai untuk mendapatkan nilai pada persamaan 3.17.
Langkah 4 : Hitung
∗
. Langkah 5 : Tetapkan bahwa
∗
=
dan
∗
=
dan hitung
∗
,
∗
,
.
Universitas Sumatera Utara
Langkah 6 : Jika
∗
,
∗
,
≤
∗
,
∗
,
−
1
ulangi langkah 1 sampai 5 dengan
= + 1
, tetapi jika sebaliknya lanjutkan ke langkah 7.
Langkah 7 : Hitung
∗
,
∗
,
∗
=
∗
,
∗
,
−
1
sehingga diperoleh nilai
∗
,
∗
dan
∗
yang optimal.
Tercapainya nilai
∗
dan yang konvergen dapat dibuktikan dengan uji konveksitas. Uji konveksitas dilakukan dengan mencari determinan hessian
persamaan total biaya gabungan. Uji konveksitasnya adalah sebagai berikut:
| | =
=
−
Syarat konveksitas diperoleh apabila determinan hessian dan elemen diagonalnya bernilai positif.
= +
+ +
ℎ
+ +
ℎ −
1
− −
2 +
=
−
+
− −
+ +
+ +
−
1
− −
2 = 0
= =
+ +
−
+
− −
−
= +
+
− −
+
−
= +
+
− −
+ =
+ +
− −
+ =
+ +
−
+
Universitas Sumatera Utara
=
ℎ
+ [ 1
−
] = 0 =
=
= =
+
√
[ ]
= +
[ ]
= =
+
[ ]
= +
[ ]
Sehingga determinan hessiannya adalah:
| | =
=
−
=
∙ −
∙
| | =
+ +
−
+
∙ −
+
[ ]
∙
+
[ ]
= +
−
+
−
+ 2
[ ]
+
[ ]
= +
+
− −
−
[ ]
−
[ ]
.
3.4 Pembahasan Numerik
