2.8 Distribusi Normal Standar
Variabel acak kontinu berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar deviasi , jika fungsi kepadatan peluang
, ,
dari variabel acak tersebut adalah:
, , =
√
2.1 dengan:
= nilai konstan 3.14 = bilangan konstan 2.7183
= rata-rata distribusi = variansi simpangan baku untuk distribusi
Fungsi distribusi kumulatif normal dinotasikan dengan
, ,
.
, ,
merupakan variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar deviasi ≤ . Hubungan antara fungsi distribusi kumulatif dan fungsi kepadatan peluang
adalah sebagai berikut:
, , =
∫
, ,
∞ ∞
2.2
Fungsi kepadatan normal standar ditunjukkan pada gambar berikut Sudjana, 1996:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Gambar 2.4 Grafik Fungsi Kepadatan Normal
Distribusi normal dengan rata-rata
= 0
dan standar deviasi
= 1
merupakan distribusi normal standar. Fungsi kepadatan normal standar dinotasikan dengan
, dan fungsi distribusi kumulatif normal standar dinotasikan dengan . Maka:
= , 0,1
dan
= , 0,1
2.3
Universitas Sumatera Utara
2.8 Menentukan Besarnya Safety Stock
Cadangan pengaman safety stock berfungsi untuk melindungi kesalahan dalam memprediksi permintaan selama lead time. Besarnya safety stock tergantung pada
ketidakpastian pasokan maupun permintaan. Pada situasi normal, ketidakpastian pasokan bisa diwakili dengan standar deviasi lead time dari pemasok, yaitu waktu
antara perusahaan memesan sampai material barang diterima. Sedangkan ketidakpastian permintaan, biayanya diwakili dengan standar deviasi besarnya
permintaan per periode. Besarnya safety stock dapat dirumuskan sebagai berikut:
=
∙ 2.4
di mana:
=
∙ √ 2.5
Maka,
=
∙ ∙ √ 2.6
2.9 Menentukan Ekspektasi Backorder
Diketahui titik pemesanan kembali
= +
, maka ekspektasi kekurangan persediaan backorder per periode adalah Chopra, et al, 2001:
=
∫ −
=
∫ −
µ
−
µ
2.7
Diketahui permintaan selama lead time berdistribusi normal dengan rata-rata dan standar deviasi
, maka diperoleh:
=
∫ −
µ
−
√
µ
2.8
diketahui
=
µ
, maka
=
, selanjutnya diperoleh:
=
∫ −
√
=
− ∫
√
+
√
∫ 2.9
Universitas Sumatera Utara
Misalkan adalah fungsi distribusi kumulatif dan
adalah fungsi kepadatan peluang untuk distribusi normal standar dengan rata-rata 0 dan
standar deviasi 1, maka diperoleh:
1
−
=
∫
=
∫
√
2.10
Subtitusi
=
ke dalam persamaan , maka diperoleh:
=
−
1
−
+
∫
√
=
−
1
−
+ =
− ∙ ∙ √
1
−
+ =
− ∙ ∙ √
1
−
+
∙ √
=
∙ √ −
1
−
=
∙ √ −
[ 1
−
]
2.11 Misalkan:
=
−
[ 1
−
]
2.12 Maka:
=
∙ √ ∙ 2.13
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Total Ekspektasi Biaya Pembeli