Hasil Dimensi Metrik dan Pembahasan Kesimpulan Latar Belakang

3.2 Rancangan Penelitian

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Observasi Awal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Hasil Dimensi Metrik dan

non-isolated resolving set pada Graf Khusus dan graf hasil operasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Pembahasan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1 Kesimpulan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Saran

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 xiii DAFTAR GAMBAR Halaman 2.1 Graf G 1 dan G 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Graf Lingkaran C 4 dan C 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Graf Lintasan P 2 dan P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Graf Kipas F 5 dan F 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Graf Parasut P C 3 dan P C 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 Graf Hasil Operasi Joint dari P 3 dan F 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 Graf Hasil Operasi Shackle dari S 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8 Graf Hasil Operasi Amalgamation dari F 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.9 Graf Hasil Operasi Eksponensial dari P 3 dan C 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.10 Induced subgraph pada Graf kipas F 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 Resolving Set pada Graf Lintasan P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.12 Non-isolated resolving Set pada Graf Lintasan P 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.13 Graf Representasi Jaringan Call Center Indovision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Skema Langkah Kerja Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Observasi awal non-isolated resolving number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1 Letak himpunan pembeda pada graf F 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Letak himpunan pembeda pada graf shackP C 5 , v, m = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Letak himpunan pembeda pada graf shackP C 5 , v, m = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Letak non-isolated resolving set pada graf shackP C 5 , v = 1, 3 . . . . . . . . . . 30 4.5 Letak himpunan pembeda pada graf amal F 6 , v = y, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.6 Letak himpunan pembeda pada graf amal F 7 , v = y, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.7 Letak himpunan pembeda pada graf P 2 + C 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.8 Letak himpunan pembeda pada graf Shack F 5 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.9 Letak himpunan pembeda pada graf Shack F 5 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 xiv 4.10 Letak non-isolated resolving set pada graf Shack F 5 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.11 Letak himpunan pembeda pada graf Shack F 6 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.12 Letak himpunan pembeda pada graf Shack F 6 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.13 Letak himpunan pembeda pada graf ShackF 6 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.14 Letak non-isolated resolving set pada graf Shack F 6 , v, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.15 Letak himpunan pembeda pada graf P C 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.16 Letak himpunan pembeda pada graf P C 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.17 Letak himpunan pembeda pada graf P C 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.18 Letak non-isolated resolving set pada graf P C 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.19 Letak himpunan pembeda pada graf amal P C 7 , v, m = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.20 Letak himpunan pembeda pada graf amalP C 7 , v, m = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.21 Letak non-isolated resolving set pada grafamal P C 7 , v, n = 4 . . . . . . . . . . . . 57 4.22 Letak himpunan pembeda pada graf amalP C 8 , v, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.23 Letak himpunan pembeda pada graf amalP C 8 , v, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.24 Letak himpunan pembeda pada graf P 4 C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.25 Letak himpunan pembeda pada graf P 4 C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.26 Letak non-isolated resolving set pada graf P 4 C 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 xv DAFTAR TABEL Halaman 2.1 Tabel 2.1 Hasil Dimensi Metrik dari Penelitian Terdahulu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 xvi

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf diperkenalkan pertama kali oleh L. Euler, matematikawan Swiss pada tahun 1736 melalui penyelesaian tentang masalah jembatan Konigsberg menggunakan teori graf. Graf adalah kumpulan titik atau node yang satu sama lain dihubungkan oleh sisi atau edge. Suatu graf G V G, EG terdiri atas himpunan berhingga V G yang anggotanya disebut titik vertex, dan himpunan berhingga EG dengan anggotanya disebut sisi edge, dimana sisi tersebut merupakan pasangan tak-terurut dari titik-titik yang berbeda pada V G. Teori graf merupakan cabang ilmu matematika diskrit yang memiliki banyak penerapan di berbagai ilmu seperti fisika, biologi, arsitektur, transportasi, teknologi komputer, ekonomi, sosial dan bidang lainnya. Teori graf juga dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan persoalan - persoalan, seperti Travelling Salesperson Problem, Chinese Postman Problem, Shortest Path, Electrical Network Problem dan Graph Colorring Rosen, 2003. Akan tetapi, meskipun pada awalnya graf diciptakan untuk diterapkan dalam penyelesaian kasus, namun graf telah mengalami perkembangan yang sangat luas didalam teori graf itu sendiri, salah satunya tentang Dimensi Metrik Metric Dimension. Secara matematis, Metric Dimension dipelajari sejak tahun 1975 oleh Slater yang kemudian dikembangkan lagi pada tahun 1976 oleh Harary dan Melter. Dimensi metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda resolving set pada G. Untuk titik-titik u dan v dalam graph terhubung G, jarak d u, v adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W = W 1 , W 2 , ..., W k dari titik-titik dalam graph terhubung G dan vertex r pada G, adalah vektor-kpasangan k-tuple. r v|W = dv, w 1 , dv, w 2 ,..., dv, w k 2 menunjukkan representasi dari v pada W . Himpunan W dinamakan himpunan pembeda resolving set G jika vertices G mempunyai representasi berbeda. Himpunan resolving dengan kardinalitas minimum disebut himpunan resolving minimum, dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G serta dinotasikan dengan dim G Harary, 2009. Sebuah himpunan pembeda W pada graf G dikatakan himpunan pembeda tak terisolasi non-isolated resolving set jika subgraf W diinduksi oleh titik simpul tak terisolasi. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tak terisolasi pada suatu graf dikatakan non-isolated resolving number nr G Chitra dan Arumugam, 2010. Saifudin 2015 melakukan penelitian tentang dimensi metrik pada Graf Tangga L n , Shackle Graf Tangga SL n , Graf Komplemen L n , Graf Tangga Tiga T CL n dan Graf komposisi L n [L 1 ]. Kemudian di tahun yang sama Fitriana 2015 juga melakukan penelitian dimensi metrik pada Graf Cartesiant Product C 3 ¤P n , Graf gShack C 2 5 , P 2 , n , Graf Amal B 3 , n , Graf E E n , Graf Cartesiant Product W 4 ¤P n , Graf Cartesiant Product W 2 3 ¤P n , Graf Cartesiant Product F 1 ,3 ¤P n , Graf C 5 ¤P n . Setelah itu Santi 2015 melakukan penelitian dimensi metrik pada Graf Kipas F n , Graf Kipas F 2 ,n , Shack F 4 , v, n , ShackF 4 , e, n , AmalF 4 , v, n , Graf Bintang S n , Graf Roda W n , gShack W 6 , C 4 1 , n , Graf Antiprisma H n dan Graf Prisma H 5 ,n . Berdasarkan penelitian sebelumnya, maka peneliti akan mengembangkan teori metric dimension dengan induced subgraph yang bebas titik terisolasi atau biasa disebut dengan non-isolated resolving set pada graf khusus yaitu graf kipas F n , amalgamasi graf kipas amal F n , v = A, m, joint graf lintasan dan graf lingkaran P n + C m , graf parasut P C n , amalgamasi graf parasut amal P C n , v = A, m, graf power P n C m , sakel graf kipas shack F n , v = 1, m, sakel graf parasut shack P C n , v = 1, m. Dalam penelitian ini ditentukan titik seminimal mungkin pada graf dengan ketentuan semua titik yang tidak berfungsi sebagai non-isolated resolving set harus memiliki jarak yang berbeda dengan semua titik non-isolated resolving set. 3

1.2 Rumusan Masalah