Dimensi Metrik DIMENSI METRIK PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS DAN OPERASINYA DENGAN INDUCED SUBGRAPH YANG BEBAS TITIK TERISOLASI

12

2.3 Dimensi Metrik

Dimensi metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda resolving set pada G. Untuk vertices u dan v dalam graph terhubung G, jarak d u, v adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W = W 1 , W 2 , ..., W k dari vertex-vertex dalam graph terhubung G dan vertex r pada G, adalah vektor-kpasangan k-tuple. r v|W = dv, w 1 , dv, w 2 ,..., dv, w k menunjukkan representasi dari v pada W . Himpunan W dinamakan himpunan pembeda resolving set G jika vertex-vertex G mempunyai representasi berbeda. Himpunan resolving dengan kardinalitas minimum disebut himpunan resolving minimum dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G, dan dinotasikan dengan dim G Harary, 2009. Sebuah himpunan pembeda W pada graf G dikatakan himpunan pembeda tak terisolasi non-isolated resolving set jika subgraf W diinduksi oleh titik simpul tak terisolasi. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tak terisolasi pada suatu graf dikatakan non-isolated resolving number nr G Chitra dan Arumugam, 2010. Subgraf terinduksi induced subgraph dari graf G [S] adalah subgraf dari G dengan himpunan titik S. Karena itu dua titik bertetangga pada G [S] jika hanya jika kedua titik tersebut bertetangga di G. Observasi 2.1. Misal dim G dan nrG adalah nilai dimensi metrik dan non-isolated resolving set pada graf terhubung G, maka nilai nr G ≥ dimG. Bukti. Nilai dim G merupakan kardinalitas minimum dari himpunan pembeda W pada graf G. Sedangkan nr G adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda dim G dengan syarat setiap himpunan pembeda pembedanya saling terhubung. Sehingga syarat dari nr G lebih kompleks daripada dimG, dengan demikian dapat disimpulkan nr G ≥ dimG. Berikut adalah contoh induced subgraph pada graf F 5 . 13 x 4 y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 F 5 x 2 x 3 x 4 y x 2 x 3 Gambar 2.10 Induced subgraph pada Graf kipas F 5 Berikut adalah contoh dimensi metrik pada graf lintasan. Titik yang diberi kotak merupakan resolving set dari graf lintasan. P 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Gambar 2.11 Resolving Set pada Graf Lintasan P 4 Sehingga akan diperoleh : r x 1 |W = 0 r x 2 |W = 1 r x 3 |W = 2 r x 4 |W = 3 Karena x 1 belum memenuhi induced subgraph maka kita tambahkan 1 titik resolving Set yaitu pada x 2 . Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut : Sehingga P 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Gambar 2.12 Non-isolated resolving Set pada Graf Lintasan P 4 akan diperoleh : 14 r x 1 |W = 0, 1 r x 2 |W = 1, 0 r x 3 |W = 2, 1 r x 4 |W = 3, 2

2.4 Aplikasi Graf