12
2.3 Dimensi Metrik
Dimensi metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda resolving set pada G. Untuk vertices u dan v dalam graph terhubung G, jarak d
u, v adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut
W = W
1
, W
2
, ..., W
k
dari vertex-vertex dalam graph terhubung G dan vertex r pada G, adalah vektor-kpasangan k-tuple. r
v|W = dv, w
1
, dv, w
2
,..., dv, w
k
menunjukkan representasi dari v pada W . Himpunan W dinamakan himpunan
pembeda resolving set G jika vertex-vertex G mempunyai representasi berbeda. Himpunan resolving
dengan kardinalitas minimum disebut himpunan resolving minimum dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G, dan
dinotasikan dengan dim G Harary, 2009. Sebuah himpunan pembeda W pada
graf G dikatakan himpunan pembeda tak terisolasi non-isolated resolving set jika subgraf
W diinduksi oleh titik simpul tak terisolasi. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tak terisolasi pada suatu graf dikatakan non-isolated resolving
number nr G Chitra dan Arumugam, 2010.
Subgraf terinduksi induced subgraph dari graf G
[S] adalah subgraf dari G dengan himpunan titik S. Karena itu dua titik bertetangga pada G
[S] jika hanya jika kedua titik tersebut bertetangga di G.
Observasi 2.1. Misal dim
G dan nrG adalah nilai dimensi metrik dan non-isolated resolving set pada graf terhubung G, maka nilai nr
G ≥ dimG.
Bukti. Nilai dim
G merupakan kardinalitas minimum dari himpunan pembeda W pada graf G. Sedangkan nr
G adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda dim
G dengan syarat setiap himpunan pembeda pembedanya saling terhubung. Sehingga syarat dari nr
G lebih kompleks daripada dimG, dengan demikian dapat disimpulkan nr
G ≥ dimG. Berikut adalah contoh induced subgraph pada graf F
5
.
13
x
4
y x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
F
5
x
2
x
3
x
4
y x
2
x
3
Gambar 2.10 Induced subgraph pada Graf kipas F
5
Berikut adalah contoh dimensi metrik pada graf lintasan. Titik yang diberi kotak merupakan resolving set dari graf lintasan.
P
4
x
1
x
2
x
3
x
4
Gambar 2.11 Resolving Set pada Graf Lintasan P
4
Sehingga akan diperoleh : r
x
1
|W = 0 r
x
2
|W = 1 r
x
3
|W = 2 r
x
4
|W = 3 Karena x
1
belum memenuhi induced subgraph maka kita tambahkan 1 titik resolving Set yaitu pada x
2
. Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut : Sehingga
P
4
x
1
x
2
x
3
x
4
Gambar 2.12 Non-isolated resolving Set pada Graf Lintasan P
4
akan diperoleh :
14 r
x
1
|W = 0, 1 r
x
2
|W = 1, 0 r
x
3
|W = 2, 1 r
x
4
|W = 3, 2
2.4 Aplikasi Graf