15
Gambar diatas memperlihatkan pembagian pencabangan menjadi dua sub masalah pohon dengan cabang-cabang atau busur dari simpul 1 menjadi dua simpul yang
bersesuaian dengan dua sub masalah. Pohon ini yang akan terus berkembang setahap demi setahap yang disebut sebagai pohon penyelesaian solution tree untuk algoritma
tersebut. Variabel yang digunakan untuk pencabangan tersebut disebut variabel pencabangan.
3.2 Contoh Kasus dan Penyelesaiannya
Sebuah perusahaan akan melakukan penugasan kepada 4 orang karyawan barunya untuk mengoperasikan 4 buah mesin. Setiap karyawan memiliki memiliki biaya yang berbeda-
beda untuk menyelesaikan produk di setiap mesin yang mereka operasikan. Dari hasil yang diperoleh di lapangan biaya yang mereka keluarkan untuk setiap mesinnya
dinyatakan dalam bentuk matriks di bawah ini dalam satuan ribuan:
Pertanyaan: carilah penugasan yang tepat untuk menghasilkan biaya yang minimum.
Terlebih dahulu
akan mencari lower bound pada matriks ini secara seksama.
Untuk mencari lower bound dari persoalan ini, carilah 4 biaya yang paling minimum dari matriks ini. Harus 4 karena mewakilkan setiap pekerjaan yang ada.
Jadi dari matrik diatas, lower bound yang ada yaitu:
Yang artinya persoalan diatas paling tidak memiliki total biaya minimum 50. Pohon ruang status saat baru berisi satu buah simpul akar dengan nilai batas bound
bernilai 10.
Universitas Sumatera Utara
16
Gambar 3.2 Akar pohon assignment problem untuk
Selanjutnya, misalkan
untuk orang
ke-1 dan job ke- maka biaya minimum yang
ada adalah ditambah biaya-biaya minimum dari job dan orang yang tersisa biaya
minimum ini mewakilkan sebagai pencarian sisa solusi yang ada. Jadi persamaan dari fungsi pembatas yang ada adalah:
Dalam hal ini,
Perhitungan selanjutnya untuk simpul-simpul yang lain pada pohon ruang status adalah sebagai berikut:
1. Simpul 2, orang ke-1, job ke-1
Karena dipilih , maka untuk stiap nilai dari pada baris 1 dan kolom 1 diubah
menjadi – artinya tidak dihiraukan untuk mencari biaya minimum yang lainnya. Nilai batas untuk simpul 2 pada pohon ruang status adalah:
Dimana angka 15, 20 dan 25 adalah biaya minimum setiap job yang tersisa.
Universitas Sumatera Utara
17
1
2
X1=1
Gambar 3.3 Pohon ruang status untuk simpul 2
2. Simpul 3, orang ke-1, job ke-2
Untuk nilai batas pada simpul ke-3 pada pohon ruang status ini adalah:
Gambar 3.4 Pohon ruang status untuk simpul 3
Universitas Sumatera Utara
18
3. Simpul ke 4, orang ke-1, job ke-3
Untuk nilai batas pada simpul ke 4 pada pohon ruang status ini adalah:
Gambar 3.5 Pohon ruang status untuk simpul 4
4. Simpul 5, orang ke-1, job ke-4
Untuk nilai batas pada simpul ke 5 pada pohon ruang status ini adalah:
Universitas Sumatera Utara
19
Gambar 3.6 Pohon ruang status untuk simpul 5
Nilai pada setiap simpul di dalam pohon ruang status di atas bermakna sebagai berikut:
a. Jika orang ke-1 dicocokkan dengan job ke-1, maka biaya yang diperlukan paling sedikit 100.
b. Jika orang ke-1 dicocokkan dengan job ke-2, maka biaya yang diperlukan paling sedikit 60.
c. Jika orang ke-1 dicocokkan dengan job ke-3, maka biaya yang di perlukan paling sedikit 75.
d. Jika orang ke-1 dicocokkan dengan job ke-4, maka biaya yang diperlukan paling sedikit 85.
Sekarang disini bisa dilihat bahwa simpul yang hidup adalah simpul 2,3,4, dan 5. Langkah selanjutnya dalam algoritma Branch and Bound adalah memilih simpul hidup
yang memiliki cost paling kecil, yaitu simpul 3 dengan nilai 60. Simpul 3 menjadi simpul-E yang akan diekspansi lagi. Perhitungan selanjutnya untuk simpul-simpul anak
pada pohon ruang status dari simpul 3 adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
20
5. Simpul 6, orang ke-2, job ke-1
Nilai batas untuk simpul 6 pada pohon ruang status adalah
Dimana 10 didapat dari hasil orang ke-1 dengan job ke-2, dan 30 dari orang ke-2 dengan job ke-1. Sedangkan angka 20 dan 25 adalah biaya minimum lainnnya
yang menunjukkan ke ruang solusi.
Gambar 3.7 Pohon ruang status untuk simpul 6
6. Simpul 7, orang ke-2, job ke-3
Universitas Sumatera Utara
21
Nilai batas untuk simpul 7 pada pohon ruang status adalah:
Gambar 3.8 pohon ruang status untuk simpul 7
7. Simpul 8, orang ke-2, job ke-4
Nilai batas untuk simpul 8 pada pohon ruang status adalah:
Universitas Sumatera Utara
22
Gambar 3.9 Pohon ruang status untuk simpul 8
Sekarang simpul yang hidup adalah simpul 2,6,7,8,4, dan 5. Langkah berikutnya adalah mencari simpul dengan nilai
terkecil, yaitu simpul 7 dengan nilai 55, maka simpul inilah yang akan dikembangkan untuk menjadi simpul-E. Perhitungan selanjutnya
untuk simpul-simpul anak pada pohon ruang status dari simpul 7 yaitu sebagai berikut: 8. Simpul 9, orang ke-3, job ke-1
Nilai batas untuk simpul 9 pada pohon ruang status adalah:
Universitas Sumatera Utara
23
Gambar 3.10 Pohon ruang status untuk simpul 9
9. Simpul 10, orang ke-3, job ke-4
Nilai batas untuk simpul 10 pada pohon ruang status adalah:
Universitas Sumatera Utara
24
Gambar 3.11 Pohon ruang status untuk simpul 10
Bisa dilihat disini kalau simpul-simpul yang hidup adalah simpul 2,6,9,10,8,4, dan 5. Dengan melihat nilai-nilai
yang ada, maka yang paling kecil adalah simpul 9 dengan nilai 65, sehingga yang menjadi simpul-E adalah simpul 9. Berikut adalah
pengembangan simpul 9: 10. Simpul 11, orang ke-4, job ke-4
Nilai batas untuk simpul 11 pada pohon ruang status adalah:
Universitas Sumatera Utara
25
Karena dengan
algoritma Branch and Bound ini sudah mencapai simpul solusi yang ada, maka proses berhenti. Sehingga pohon yang terbentuk merupakan sebuah solusi
dari assignment problem yang ada. Berikut adalah pohon ruang solusinya:
Gambar 3.12 Pohon ruang solusi Assignment Problem
Jadi jawaban
untuk dari assignment problem dengan contoh diatas yaitu biaya
minimum yang dikeluarkan adalah 65 dengan susunan penugasannya adalah sebagai berikut:
Orang 1: job 2 10
Orang 2: job 3 20
Orang 3: job 1 5
Orang 4: job 4 30
Sehingga total biaya .
Universitas Sumatera Utara
26
3.3 Pembahasan Dengan Adanya Kendala Tambahan
