31
BAB III PEMBAHASAN MASALAH
III.1. Matriks Kekakuan Elemen Grid
Matrik kekakuan lokal untuk elemen grid
..............III.1
Kekakuan lokal dari semua jenis struktur dapat diubah menjadi kekakuan global dengan menggunakan persamaan :
dimana [T] merupakan matriks transformasi yang berbeda-beda untuk jenis struktur tertentu dan [T]
-1
merupakan invers dari matriks transformasi. Matriks transformasi untuk elemen grid dapat disusun dengan mengacu
pada Gambar.III.1 sehingga diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
32 Setelah matriks kekakuan diperoleh maka gaya-gaya batang untuk elemen
grid dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung besarnya perpindahan yang terjadi pada titik-titik simpul dengan menggunakan persamaan III.1 :
..............
III.2
Setelah nilai-nilai perpindahan diperoleh dari persamaan III.1, maka gaya- gaya dalam untuk tiap elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan III.2.
z
X α
My
2
My
1
Mx
1
V
2
Mx
2
V
1
1
2 y
Gambar.III.1.Transformasi ke Sumbu Global
Universitas Sumatera Utara
33
III.2. Transformasi Pada Sistem Koordinat
Seperti halnya elemen rangka dan portal, kita harus mentransformasikan matriks kekakuan elemen yang mengacu pada koordinat elemen ke dalam sistem
koordinat global. Sumbu X dan Y global akan terletak pada bidang struktur dan karenanya berada pada bidang yang sama dengan sumbu x dan y lokal elemen.
Sumbu z lokal dan global paralel satu sama lain. Pada Gambar III.2, kita harus mentransformasi peralihan dengan memutar
terhadap sumbu z. Bila α adalah sudut antara sumbu x elemen dan sumbu global, Sumbu
global berimpit dengan sumbu z lokal, maka translasi tegak lurus bidang - maupun x-y adalah W
i
= w
i.
1
Gambar III.2 Transformasi koordinat lokal ke koordinat global
Σ M
x
= 0 = M
x2
Cos α + M
y2
Sin α + 0
Σ M
y
= 0 =
Sin α + M
y2
Cos α + 0
Σ F
z
= 0 =
+ + w
z2
sin α
x y
α
2
cos α cos α
sin α
Universitas Sumatera Utara
34 {
} = =
Analog:
{ } =
=
Pada titik simpul 1 berlaku juga seperti simpul 2, maka untuk satu elemen berlaku : { } = [
] { } { } = =
……… a
Untuk displacement vektor berlaku juga : = [
] …………………………………………………
b
Analog : = [
]
{ } = =
-1
{ }
= [ ]
-1
dari persamaan a dan b : [
] { } = [
] ………………………………..
c
-1 -1
Universitas Sumatera Utara
35 { } = [
] [
] =
…………..……. d
dimana : = [
] [
] = [ ]
[ ]…………………...
e Keterangan : [
] = [ ] karena [
] matriks Orthogonal.
Matriks transformasi:
[ ] =
[ ] =
Matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat lokal adalah:
=
Jika: Sin α = S
Cos α = C, maka:
-1 -1
T -1
T
T
Universitas Sumatera Utara
36 =[
] [
]
T
=
=
Dengan menyelesaikan persamaan diatas, diperoleh matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat global:
=
Universitas Sumatera Utara
37 • Nilai k
1
yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.1 Tabel.III.1. Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zy k
1
Untuk Tampang Persegi
Universitas Sumatera Utara
38
ba k
1
1.0 0.675
1.1 0.720
1.2 0.759
1.3 0.793
1.4 0.822
1.5 0.848
1.6 0.869
1.7 0.888
1.8 0.904
1.9 0.918
2.0 0.930
2.1 0.940
2.2 0.949
2.3 0.956
2.4 0.963
ba k
1
2.5 0.968
2.6 0.973
2.7 0.977
2.8 0.980
2.9 0.983
3.0 0.985
3.1 0.988
3.2 0.989
3.3 0.991
3.4 0.992
3.5 0.993
3.6 0.994
3.7 0.995
3.8 0.996
3.9 0.996
ba k
1
4.0 0.997
4.5 0.999
5.0 0.999
5.5 1.000
6.0 1.000
6.5 1.000
7.0 1.000
7.5 1.000
8.0 1.000
8.5 1.000
9.0 1.000
9.5 1.000
10.0 1.000
∞ 1.000
Universitas Sumatera Utara
39 • Nilai k
2
yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.2 Tabel.III.2. Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zx k
2
Untuk Tampang Persegi
Universitas Sumatera Utara
40
ba k
2
1.0 0.675
1.1 0.693
1.2 0.706
1.3 0.716
1.4 0.723
1.5 0.728
1.6 0.732
1.7 0.735
1.8 0.737
1.9 0.738
2.0 0.739
2.1 0.740
2.2 0.741
2.3 0.741
2.4 0.742
ba k
2
2.5 0.742
2.6 0.742
2.7 0.742
2.8 0.742
2.9 0.742
3.0 0.742
3.1 0.742
3.2 0.742
3.3 0.742
3.4 0.742
3.5 0.742
3.6 0.742
3.7 0.742
3.8 0.742
3.9 0.742
ba k
2
4.0 0.742
4.5 0.742
5.0 0.742
5.5 0.742
6.0 0.742
6.5 0.742
7.0 0.742
7.5 0.742
8.0 0.742
8.5 0.742
9.0 0.742
9.5 0.742
10.0 0.742
∞ 0.742
Universitas Sumatera Utara
41 Jika kedua tegangan geser yaitu tegangan geser maksimum arah zy dan tegangan
geser arah zx yang telah diperoleh di atas dibandingkan, maka akan diperoleh hubungan :
dimana : = Tegangan geser maksimum pada sisi terpendek persegi
= Tegangan geser maksimum pada sisi terpanjang persegi = Nilai konstanta perbandingan antara
terhadap = k
2
k
1
Nilai k
3
untuk berbagai nilai ba dapat dilihat pada Tabel.III.3 Tabel.III.3. Nilai Konstanta Perbandingan Antara
terhadap
Universitas Sumatera Utara
42
ba k
3
1.0 1.000
1.1 0.963
1.2 0.930
1.3 0.903
1.4 0.880
1.5 0.858
1.6 0.842
1.7 0.828
1.8 0.815
1.9 0.804
2.0 0.795
2.1 0.787
2.2 0.781
2.3 0.775
2.4 0.771
ba k
3
2.5 0.767
2.6 0.763
2.7 0.759
2.8 0.757
2.9 0.755
3.0 0.753
3.1 0.751
3.2 0.750
3.3 0.749
3.4 0.748
3.5 0.747
3.6 0.746
3.7 0.746
3.8 0.745
3.9 0.745
ba k
3
4.0 0.744
4.5 0.743
5.0 0.743
5.5 0.742
6.0 0.742
6.5 0.742
7.0 0.742
7.5 0.742
8.0 0.742
8.5 0.742
9.0 0.742
9.5 0.742
10.0 0.742
∞ 0.742
Universitas Sumatera Utara
43 Nilai k
1
yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.4 Tabel.III.4. Nilai Konstanta Inersia Torsi Untuk Tampang Persegi
Universitas Sumatera Utara
44
ba k
4
1.0 0.1406
1.1 0.154
1.2 0.166
1.3 0.177
1.4 0.187
1.5 0.196
1.6 0.204
1.7 0.211
1.8 0.217
1.9 0.223
2.0 0.229
2.1 0.234
2.2 0.238
2.3 0.242
2.4 0.246
ba k
4
2.5 0.249
2.6 0.253
2.7 0.256
2.8 0.258
2.9 0.261
3.0 0.263
3.1 0.266
3.2 0.268
3.3 0.270
3.4 0.272
3.5 0.273
3.6 0.275
3.7 0.277
3.8 0.278
3.9 0.279
ba k
4
4.0 0.281
4.5 0.287
5.0 0.291
5.5 0.295
6.0 0.298
6.5 0.301
7.0 0.303
7.5 0.305
8.0 0.307
8.5 0.309
9.0 0.310
9.5 0.311
10.0 0.312
∞ 0.333
Universitas Sumatera Utara
47
BAB IV APLIKASI ANALISA MOMEN DAN PEMBAHASAN
Kategori