Proses Optimasi Masalah Penugasan

commit to user

4.1.1 Proses Optimasi

a Penyelesaian yang hanya mempertimbangkan biaya operasi Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan biaya operasi yaitu bagaimana menetapkan tugas agar total biaya operasi dapat minimum, maka fungsi tujuan dalam 2.1 dapat ditulis kembali sebagai berikut. ð ð N i N j ij ij x c C Minimumkan 1 1 4.1 dimana C adalah total biaya operasi dari pekerja, c ij adalah biaya dari pekerja i untuk menyelesaikan tugas j dan x ij adalah variabel keputusan . Karena hanya mempertimbangkan biaya operasi saja, maka hasil keputusan untuk waktu operasi dan kualitas harus mengikuti hasil keputusan dari penetapan biaya operasi. Dengan menggunakan data pada Tabel 4.1 akan dicari solusi penetapan dengan hanya menggunakan biaya operasi yang ditunjukkan pada Tabel 4.2. Penyelesaian : Tabel 4.2. Matriks Biaya Operasi Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 420 660 1800 9600 6000 2 300 600 2500 6500 5800 3 390 660 1050 10200 10800 4 500 840 1050 7000 6500 5 180 720 1080 1200 1500 Minimumkan C = 420x 11 + 660x 12 + 1800x 13 + 9600x 14 + 6000x 15 + 300x 21 + 600x 22 + 2500x 23 + 6500x 24 + 5800x 25 + 390x 31 + 660x 32 + 1050x 33 + 10200x 34 + 10800x 35 + 500x 41 + 840x 42 + 1050x 43 + 7000x 44 + 6500x 45 + 180x 51 + 720x 52 + 1080x 53 + 1200x 54 + 1500x 55 4.2 commit to user Kendala : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 = 1 x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = 1 Solusi penetapan diselesaikan dengan menggunakan metode Hungaria dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1 Menentukan nilai terkecil dari setiap baris pada Tabel 4.2, lalu mengurangi semua nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Hasil perhitungan langkah pertama ini dapat dilihat pada Tabel 4.3. Tabel 4.3. Hasil Perhitungan Langkah Pertama Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 240 1380 9180 5580 2 300 2200 6200 5500 3 270 660 9810 10410 4 340 550 6500 6000 5 540 900 1020 1320 2 Memeriksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol. Karena pada kolom B, C, D, dan E belum mempunyai nilai nol, maka dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom tersebut, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangi dengan nilai terkecilnya. Hasil perhitungan langkah kedua dapat dilihat pada Tabel 4.4. Tabel 4.4. Hasil Perhitungan Langkah Kedua Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 830 8160 4260 2 60 1650 5180 4180 3 30 110 8790 9090 4 100 5480 4680 5 300 350 commit to user 3 Melakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertikalhorizontal seminimal mungkin. Bila jumlah garis sudah sama dengan jumlah bariskolom, maka tabel telah optimal. Jika jumlah garis belum sama dengan jumlah bariskolom, maka dilanjutkan ke langkah selanjutnya. Hasil dari langkah ketiga dapat dilihat pada Tabel 4.5. Tabel 4.5. Hasil Penutupan Semua Nilai Nol Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 830 8160 4260 2 60 1650 5180 4180 3 30 110 8790 9090 4 100 5480 4680 5 300 350 Tabel 4.5 menunjukkan jumlah garis belum sama dengan banyaknya bariskolom, maka tabel belum optimal dan harus dilakukan langkah selanjutnya. 4 Menentukan nilai terkecil dari nilai -nilai yang tidak tertutup garis, kemudian semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, akan tetapi nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut, kemudian dilakukan penutupan semua nilai 0 dengan menggunakan garis seminimal mungkin. Hasil perhitungan ini ditunjukkan pada Tabel 4.6. Tabel 4.6. Hasil Perhitungan Langkah Keempat Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 720 8050 4150 2 60 1540 5070 4070 3 30 8680 8980 4 110 210 5480 4680 5 110 410 350 commit to user Tabel 4.6 masih menunjukkan jumlah garis belum sama dengan banyaknya bariskolom, maka langkah keempat diulangi kembali. 5 Mengulangi kembali proses pada langkah keempat dan diperoleh hasil perbaikan yang ditunjukkan pada Tabel 4.7. Tabel 4.7. Hasil Perbaikan Pertama Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 30 750 8050 4150 2 30 1540 5040 4040 3 8650 8950 4 110 180 5450 4650 5 140 410 380 Tabel 4.7 juga masih menunjukkan jumlah garis belum sama dengan banyaknya bariskolom, maka langkah keempat diulangi kembali. 6 Mengulangi kembali proses pada langkah kee mpat dan diperoleh hasil perbaikan kedua yang ditunjukkan pada Tabel 4.8. Tabel 4.8. Hasil Perbaikan Kedua Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 30 750 4010 110 2 30 1540 1000 3 4610 4910 4 110 180 1410 610 5 4180 4450 4420 Tabel 4.8 menunjukkan bahwa jumlah garis yang menutupi semua nilai nol sudah sama dengan jumlah bariskolom pada tabelnya, sehingga tabel sudah optimal. Dengan demikian penentuan penugasan sudah dapat dilakukan. Penentuan ini dimulai dari baris kolom yang hanya mempunyai satu nilai nol. Solusikeputusan yang diperoleh adalah commit to user x 12 = x 25 = x 31 = x 43 = x 54 = 1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan x ij pada tabel mula-mula Tabel 4.1, maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 lima jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut. Total biaya operasi : C = 660 + 5800 + 390 + 1050 + 1200 = 9100 ribuan ripiah Total waktu operasi : T = 8 + 8 + 2 + 4 + 14 = 36 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah cukup bagus, B adalah bagus, C adalah bagus, D adalah kurang bagus dan E adalah bagus. b Penyelesaian yang hanya mempertimbangkan waktu operasi Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan wakt u operasi yaitu bagaimana menetapkan tugas agar total waktu operasi dapat minimum. Maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut. N i N j ij ij x t T Minimumkan 1 1 4.3 Dimana T adalah total waktu operasi dari pekerja dan t ij adalah waktu yang diperlukan oleh tempat usaha i untuk menyelesaikan jenis gitar j. Karena hanya mempertimbangkan waktu operasi saja, maka hasil keputusan untuk biaya operasi dan kualitas harus mengikuti hasil keputusan dari penetapan waktu operasi. Dengan menggunakan data waktu operasi pada Tabel 4.1 akan dicari solusi penetapan yang optimal. Data waktu operasi pekerja ditunjukkan pada Tabel 4.9. commit to user Tabel 4.9. Data Waktu Operasi dari Pekerja Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 7 8 8 13 10 2 3 6 7 9 8 3 2 2 2 8 7 4 6 7 4 8 6 5 5 6 14 14 13 Minimumkan T = 7x 11 + 8x 12 + 8x 13 + 13x 14 + 10x 15 + 3x 21 + 6x 22 + 7x 23 + 9x 24 + 8x 25 + 2x 31 + 2x 32 + 2x 33 + 8x 34 + 7x 35 + 6x 41 + 7x 42 + 4x 43 + 8x 44 + 6x 45 + 5x 51 + 6x 52 + 14x 53 + 14x 54 + 13x 55 4.4 Kendala : x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 = 1 x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = 1 Solusi penetapan diselesaikan den gan menggunakan metode Hungaria dan langkah-langkahnya dapat dilihat di Lampiran 1. S olusi yang diperoleh dari persamaan 4.4 adalah x 15 = x 21 = x 33 = x 44 = x 52 =1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan x ij pada tabel mula-mula Tabel 4.1, maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 lima jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut. Total biaya operasi : C = 6000 + 300 + 1050 + 7000 + 720 = 15070 ribuan rupiah Total waktu operasi : T = 10 + 3 + 2 + 8 + 6 = 29 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah bagus, B adalah cukup bagus, C ad alah bagus, D adalah bagus dan E adalah cukup bagus. commit to user c Penyelesaian yang hanya mempertimbangkan kualitas Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan kualitas yaitu bagaimana menetapkan tugas agar diperoleh kualitas hasil yang maksimal dari masing -masing jenis gitar. Untuk mengevaluasi kriteria kualitas, maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengkuantifikasi kan kriteria kualitas tersebut. Karena permintaan kualitas adalah maksimalterbaik , maka kualitas yang terbaik harus dinilai dengan angka yang terkecil seperti rangking, agar proses tujuannya menjadi sama seperti pada penggunaan biaya dan waktu yaitu diminimalkan. Sebagai contoh, menetapkan kriteria kualitas “sangat bagus” sebagai angka “1”, kualitas “bagus” sebagai angka “2” dan kualitas “cukup bagus” sebagai angka “3” dan kualitas “ kurang bagus” sebagai angka “4”, sehingga fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut . N i N j ij ij x q Q Minimumkan 1 1 4.5 Dimana q ij adalah kualitas yang dihasilkan oleh tempat usaha i terhadap jenis gitar j. Karena hanya mempertimbangkan kualitas saja, maka hasil keputusan untuk biaya dan waktu operasi harus mengikuti hasil keputusan dari penetapan kualitas. Dengan menggunakan data kualitas pada Tabel 4.1 akan dicari solusi penetapan yang optimal. Data kualitas yang sudah dikuantifikasikan ditunjukkan pada Tabel 4. 10. Tabel 4.10. Data Kualitas Hasil Penyelesaian Gitar Tempat Produksi Jenis Gitar A B C D E 1 1 2 1 1 1 2 2 3 1 2 2 3 3 3 2 1 1 4 1 2 2 2 2 5 3 3 2 4 3 Minimumkan Q = x 11 + 2x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + 2x 21 + 3x 22 + x 23 + 2x 24 + 2x 25 + 3x 31 + 3x 32 + 2x 33 + x 34 + x 35 + x 41 + 2x 42 + 2x 43 + 2x 44 + 2x 45 + 3x 51 + 3x 52 + 2x 53 + 4x 54 + 3x 55 4.6 commit to user Solusi penetapan diselesaikan dengan menggunakan metode Hungaria dan langkah-langkahnya dapat dilihat di Lampiran 2. Solusi yang diperoleh dari persamaan 4.6 adalah x 14 = x 23 = x 35 = x 41 = x 52 =1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan x ij pada tabel mula-mula Tabel 4.1, maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 lima jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut. Total biaya operasi : C = 9600 + 2500 + 10800 + 500 + 720 = 24120 ribuan rupiah Total waktu operasi : T = 13 + 7 + 7 + 6 + 6 = 39 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah sangat bagus, B adalah cukup bagus, C adalah sangat bagus, D adalah sangat bagus dan E adalah sangat bagus. d Penyelesaian yang mempertimbangkan biaya dan waktu operasi Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini mempertimbangkan dua sumber daya yaitu biaya dan waktu operasi, maka tujuannya adalah bagaimana meminimumkan total biaya dan total waktu operasi secara bersamaan. Dike tahui bahwa satuan untuk mengukur biaya dan waktu operasi adalah berbeda, sehingga tidak bisa untuk menempatkan “biaya operasi” langsung ke dalam fungsi objektif 4.3 yang diukur oleh “waktu operasi” saja, ataupun sebaliknya. Langkah pertama untuk memeca hkan masalah semacam ini adalah dengan menormalkan semua data, yaitu proses penyetaraan semua data dengan cara membagi data biaya, waktu dan kualitas dalam Tabel 4.1 dengan data maksimum biaya, waktu dan kualitas masing-masing. Sebagai contoh, maksimum dari biaya, waktu dan kualitas masing-masing adalah 10800, 14 dan 4, sehingga masing-masing data dibagi dengan nilai maksimumnya. Hasil penormalan data biaya, waktu dan kualitas dari Tabel 4.1 dapat dilihat pada Tabel 4.1 1. commit to user Tabel 4.11. Data Penormalan Biaya, Waktu dan Kualitas Jenis Gitar Tempat Usaha A B C D E 1 0,039 0,5 0,25 0,061 0,571 0,5 0,167 0,571 0,25 0,889 0,929 0,25 0,556 0,714 0,25 2 0,028 0,214 0,5 0,056 0,429 0,75 0,231 0,5 0,25 0,602 0,643 0,5 0,537 0,571 0,5 3 0,036 0,143 0,75 0,061 0,143 0,75 0,097 0,143 0,5 0,944 0,571 0,25 1,00 0,5 0,25 4 0,046 0,429 0,25 0,078 0,5 0,5 0,097 0,286 0,5 0,648 0,571 0,5 0,602 0,429 0,5 5 0,017 0,357 0,75 0,067 0,429 0,75 0,1 1,00 0,5 0,111 1,00 1,00 0,139 0,929 0,75 Normalisasi data tidak mempengaruhi hasil keputusan dari masalah penugasan. Karena jika setiap elemennilai dari suatu tabel penugasan dikalikan atau dibagi dengan sebuah nilai skalar yang sama, maka setiap elemennilai yang dihasilkan mempunyai perbanding an yang sama dengan setiap elemennilai pada tabel penugasan sebelumnya. Oleh karena itu, meskipun nilai yang dihasilkan dari tabel penugasan mengalami perubahan, akan tetapi hasil keputusan penetapan dari masalah penugasan tersebut tetap sama, karena memp unyai perbandingan nilai yang sama. Sebagai contoh, hanya mempertimbangkan waktu operasi saja, maka dengan menggunakan fungsi tujuan 4.3 diperoleh : Minimumkan T = 0,5x 11 + 0,571x 12 + 0,571x 13 + 0,929x 14 + 0,714x 15 + 0,214x 21 + 0,429x 22 + 0,5x 23 + 0,643x 24 + 0,571x 25 + 0,143x 31 + 0,143x 32 + 0,143x 33 + 0,571x 34 + 0,5x 35 + 0,429x 41 + 0,5x 42 + commit to user 0,286x 43 + 0,571x 44 + 0,429x 45 + 0,357x 51 + 0,429x 52 + 1,00x 53 + 1,00x 54 + 0,929x 55 4.7 Dengan menggunakan metode Hungaria, solusi yang diperoleh dari persamaan 4.7 adalah x 15 = x 21 = x 33 = x 44 = x 52 =1, sama dengan solusi dari persamaan 4.4. Langkah berikutnya adalah untuk menyelesaikan kedua tujuan secara bersamaan, yaitu meminimumkan baik biaya operasi maupun waktu operasi. Karena proses penyelesaian mempertimbangkan dua jenis sumber daya, maka secara matematis bobot dari masing-masing tujuan harus diteta pkan terlebih dahulu, agar dapat mengetahui sumber daya mana yang lebih penting daripada sumb er daya yang lain ataupun tingkat kepentingan dari masing -masing tujuan tersebut. Diasumsikan bahwa bobot dari dua tujuan tersebut mempunyai tingkat kepentingan yang sama, , dengan . dimana m adalah banyaknya tujuan, dengan ∑ 1. Kemudian fungsi tujuan dapat ditulis menjadi :   N i N j ij ij N i N j ij ij x t x c T C Minimumkan 1 1 2 1 1 1 ,   4.8 c ij dan t ij dalam 4.8 masing-masing mewakili normalisasi biaya operasi dan waktu operasi. Menggunakan normalisasi data biaya dan waktu pada Tabel 4.11 dan memberikan bobot , maka dengan fungsi tujuan 4. 8 diperoleh persamaan fungsi objektif sebagai berikut. Minimumkan C,T = 0,539x 11 + 0,632x 12 + 0,738x 13 + 1,818x 14 + 1,27x 15 + 0,242x 21 + 0,486x 22 + 0,731x 23 + 1,245x 24 + 1,108x 25 + 0,179x 31 + 0,204x 32 + 0,240x 33 + 1,515x 34 + 1,5x 35 + 0,475x 41 + 0,578x 42 + 0,383x 43 + 1,219x 44 + 1,031x 45 commit to user + 0,374x 51 + 0,496x 52 + 1,1x 53 + 1,111x 54 + 1,068x 55 atau dapat dituliskan menjadi : = 0,270x 11 + 0,316x 12 + 0,369x 13 + 0,909x 14 + 0,635x 15 + 0,121x 21 + 0,243x 22 + 0,366x 23 + 0,623x 24 + 0,554x 25 + 0,090x 31 + 0,102x 32 + 0,120x 33 + 0,758x 34 + 0,75x 35 + 0,238x 41 + 0,289x 42 + 0,192x 43 + 0,610x 44 + 0,516x 45 + 0,187x 51 + 0,248x 52 + 0,55x 53 + 0,556x 54 + 0,534x 55 4.9 Langkah penyelesaian dari persamaan 4.9 menggunakan metode Hungaria dapat dilihat di Lampiran 3 dan diperoleh solusi penetapan adalah x 15 = x 21 = x 32 = x 43 = x 54 = 1 Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan x ij pada tabel mula-mula Tabel 4.1, maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 lima jenis gitar tersebut adalah sebagai be rikut. Total biaya operasi : C = 6000 + 300 + 660 + 1050 + 1200 = 9210 ribuan rupiah Total waktu operasi : T = 10 + 3 + 2 + 4 + 14 = 33 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah bagus, B adalah cukup bagus, C adalah bagus, D adalah kurang bagus dan E adalah sangat bagus. e Penyelesaian yang mempertimb angkan biaya, waktu dan kualitas Sekarang masalah penugasan menjadi tiga kriteria evaluasi masalah, yaitu biaya c ij , waktu t ij , dan kualitas q ij , dimana semua tujuan harus diminimumkan. Diasumsikan bahwa bobot dari biaya, waktu dan kualitas adalah sama, yaitu . Sehingga gabungan fungsi tujuan menjadi, commit to user    N i N j N i N j ij ij ij ij N i N j ij ij x q x t x c Q T C Minimumkan 1 1 1 1 3 2 1 1 1 , ,    4.10 Dengan menggunakan data pada Tabel 4.11, diperoleh persamaan objektif berikut. Min C,T,Q = 0,039 + 0,5 + 0,25 x 11 + 0,061 + 0,571 + 0,5 x 12 + 0,167 + 0,571 + 0,25 x 13 + 0,889 + 0,929 + 0,25 x 14 + 0,556 + 0,714 + 0,25 x 15 + 0,028 + 0,214 + 0,5 x 21 + 0,056 + 0,429 + 0,75 x 22 + 0,231 + 0,5 + 0,25 x 23 + 0,602 + 0,643 + 0,5 x 24 + 0,537 + 0,571 + 0,5 x 25 + 0,036 + 0,143 + 0,75 x 31 + 0,061 + 0,143 + 0,75 x 32 + 0,097 + 0,143 + 0,5 x 33 + 0,944 + 0,571 + 0,25 x 34 + 1,00 + 0,5 + 0,25 x 35 + 0,046 + 0,429 + 0,25 x 41 + 0,078 + 0,5 + 0,5 x 42 + 0,097 + 0,286 + 0,5 x 43 + 0,648 + 0,571 + 0,5 x 44 + 0,602 + 0,429 + 0,5 x 45 + 0,017 + 0,357 + 0,75 x 51 + 0,067 + 0,429 + 0,75 x 52 + 0,1 + 1,00 + 0,5 x 53 + 0,111 + 1,00 + 1,00 x 54 + 0,139 + 0,929 + 0,75 x 55 = 0,263x 11 + 0,377x 12 + 0,329x 13 + 0,689x 14 + 0,507x 15 + 0,247x 21 + 0,412x 22 + 0,327x 23 + 0,582x 24 + 0,536x 25 + 0,310x 31 + 0,318x 32 + 0,247x 33 + 0,588x 34 + 0,583x 35 + 0,242x 41 + 0,359x 42 + 0,293x 43 + 0,573x 44 + 0,510x 45 + 0,375x 51 + 0,415x 52 + 0,533x 53 + 0,704x 54 + 0,606x 55 4.11 Langkah penyelesaian dari persamaan 4.11 dengan menggunakan metode Hungaria dapat dilihat di Lampiran 4 dan diperoleh solusi adalah x 15 = x 21 = x 33 = x 44 = x 52 = 1 commit to user Dengan menyesuaikan variabel hasil keputusan x ij pada tabel mula-mula Tabel 4.1, maka diperoleh total biaya dan total waktu yang dibutuhkan untuk membuat 5 lima jenis gitar tersebut adalah sebagai berikut. Total biaya operasi : C = 6000 + 300 + 1050 + 7000 + 720 = 15070 ribuan rupiah Total waktu operasi : T = 10 + 3 + 2 + 8 + 6 = 29 hari Dengan kualitas hasil penyelesaian pada jenis gitar A adalah bagus, B adalah cukup bagus, C adalah bagus, D adalah bagus dan E adalah sangat bagus. Ketika mempertimbangkan masalah penugasan M-Objective untuk mendapatkan hasil yang optimal, maka fungsi M-Objective dapat ditulis sebagai berikut.     N i N j ij mij m N i N j N i N j ij ij ij ij m x z x z x z Z Z Z Min 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 ... ..., , ,    4.12 dimana Z i menunjukkan jenis sumber daya yang harus dioptimalkan dan adalah bobot dari sumber daya i, dengan .

4.1.2 Proses Idealisasi