Pembahasan Soal SIMAK UI 2011 Matematika
Pembahasan Soal
SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA
Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Disusun Oleh :
Pak Anang
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Pembahasan Soal SIMAK–
SIMAK–UI 2011
Matematika Dasar Kode Soal 211
By Pak Anang (http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com)
anang.blogspot.com)
PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-16 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Diketahui 56 + 8 6 = 1 dan : 6 + ; 6 = 1. Nilai minimum dari 5: + 8; − 2 adalah ....
A. −6
B. −5
C. −3
D. 3
E. 5
Pembahasan:
Ingat bilangan kuadrat pasti lebih besar sama dengan nol.
Sehingga diperoleh:
(5 + :)6 ≥ 0
⇔ 56 + 25: + : 6 ≥ 0
dan
(8 + ;)6 ≥ 0
⇔ 8 6 + 28; + ;6 ≥ 0
Dengan menjumlahkan kedua pertidaksamaan maka diperoleh:
56 + 8 6 + : 6 + ; 6 + 25: + 28; ≥ 0
⇔
2 + 25: + 28; ≥ 0
⇔
2(1 + 5: + 8;) ≥ 0
⇔
1 + 5: + 8; ≥ 0
⇔
5: + 8; ≥ −1
Karena 5: + 8; ≥ −1, jelas terlihat bahwa nilai minimum dari 5: + 8; adalah −1, akibatnya nilai
minimum dari 5: + 8; − 2 adalah −3.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 1
2.
Dua titik dengan CD = −5 dan C6 = 35 dimana 5 ≠ 0, terletak pada parabola F = C 6 . Garis G
menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis G,
maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu F di ....
A. – 56
B. 56
C. 256
D. 456
E. 556
Pembahasan:
Misalkan A dan B adalah masing-masing adalah titik pada garis CD = 5 dan C6 = 35, dimana 5 ≠ 0
yang terletak pada parabola F = C 6 , maka koordinat titik A adalah (−5, 56 ) dan koordinat titik B
adalah (35, 956 ).
Sebuah garis G menghubungkan titik A dan titik B, maka diperoleh gradien garis G adalah:
JK =
956 − 56
856
=
= 25
35 − (−5)
45
Misalkan ℎ adalah garis singgung kurva, maka gradien garis singgung kurva F = C 6 untuk sebarang
nilai C adalah JO = F P = 2C.
Dari soal diperoleh informasi bahwa garis singgung ℎ sejajar dengan garis G, maka JO = JK = 25.
Karena JO = 2C dan JO = 25, maka diperoleh C = 5.
Sehingga garis singgung ℎ adalah garis singgung yang menyinggung kurva pada titik (5, 56 ).
Sehingga diperoleh persamaan garis singgung ℎ di titik (5, 56 ) adalah:
(F − FD ) = JO (C − CD ) ⇔ F − 56 = 25(C − 5)
⇔ F − 56 = 25C − 256
⇔
F = 25C − 56
Jadi, diperoleh titik potong garis singgung ℎ dengan sumbu F:
C = 0 ⇒ F = 25(0) − 56 = −56
Titik potong garis singgung ℎ dengan sumbu F adalah (0, −56 )
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 2
3.
Diketahui S(C) =
GWS(C)X adalah ....
Y
A. − Z
TUD
TVD
dan G(C) = 3C. Jumlah semua nilai C yang mungkin sehingga SWG(C)X =
B. − Y
C.
Z
Y
Y
Z
D. Z
E. 2
Pembahasan: D
Perhatikan bahwa,
SWG(C)X = S(3C) =
dan
3C − 1
3C + 1
C−1
3C − 3
C−1
\ = 3[
\=
GWS(C)X = G [
C+1
C+1
C+1
Sehingga diperoleh:
3C − 1 3C − 3
=
3C + 1
C+1
⇔ (3C − 1)(C + 1) = (3C + 1)(3C − 3)
⇔ 3C 6 + 2C − 1 = 9C 6 − 6C − 3
⇔ 6C 6 − 8C − 2 = 0
SWG(C)X = GWS(C)X ⇔
Sehingga jika CD dan C6 adalah penyelesaian dari SWG(C)X = GWS(C)X maka dengan menggunakan
rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh jumlah semua nilai C yang
mungkin adalah:
CD + C6 = −
−8 8 4
= =
6
6 3
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 3
4.
Jika ] = ^
A.
B.
C.
D.
E.
2a `
2D6 `
4a
4b `
2DY
−3
2 1
_ dan ` = ^ _ maka ]a ` = ....
−6
0 4
Pembahasan:
TRIK SUPERKILAT:
−6 − 6
1 −3
−12
_=^
_^ _ = ^
_
0 − 24
4 −6
−24
−3
−12
Dari ]` bisa diketahui bahwa ]` = ^
_ = 4 ^ _ = 4` ⇔ ] = 4
−6
−24
Karena nilai ] = 4, maka:
]` = ^
2
0
]a ` = (4)a ` = (26 )a ` = 2D6 `
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4
5.
Nilai dari c2 + √5 + c2 − √5 − 3 adalah ....
A. −2
B. −1
C. 1
D. 1,5
E. 2
e
e
Pembahasan:
Soal ini menantang kita untuk menghilangkan tanda akar pangkat 3.
Ingat, (5 + 8 + :)Z = 5Z + 8 Z + : Z + 3W56 (8 + :) + 8 6 (5 + :) + : 6 (5 + 8)X + 658:
Misal, 5 + 8 + : = 0 maka diperoleh:
5 + 8 + : = 0 ⇔ 0 = 5Z + 8 Z + : Z + 3W56 (−5) + 8 6 (−8) + : 6 (−:)X + 658:
⇔ 0 = 5Z + 8 Z + : Z + 3(−5Z − 8 Z − : Z ) + 658:
⇔ 2(5Z + 8 Z + : Z ) = 658:
⇔ 5Z + 8 Z + : Z = 358:
Misal f = c2 + √5 + c2 − √5 maka c2 + √5 + c2 − √5 − f = 0, sehingga
e
e
5 = g2 + √5
e
e
e
8 = g2 − √5
e
: = −f
Dikarenakan 5 + 8 + : = 0, maka 5Z + 8 Z + : Z = 358:, sehingga
⇔
⇔
⇔
⇔
Z
Z
h g2 + √5i + h g2 − √5i + (−f)Z = 3 h g2 + √5 × g2 − √5i (−f)
e
e
e
2 + √5 + 2 − √5 − f Z = (−3f) ∙ √−1
4 − f Z = 3f
Z
f + 3f − 4 = 0
(f − 1)(f 6 + f + 4) = 0
e
e
Dari persamaan (f − 1)(f 6 + f + 4) = 0, nilai f yang mungkin adalah:
f − 1 = 0 atau f 6 + f + 4 = 0
Karena persamaan f 6 + f + 4 = 0 menghasilkan akar-akar yang imajiner, maka hanya didapatkan
satu nilai f yaitu f = 1.
Sehingga,
g2 + √5 + g2 − √5 − 3 = f − 3 = 1 − 3 = −2
e
e
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5
6.
Jika diketahui bahwa l log 8 + m log 5 = 1 dimana 5, 8 > 0 dan 5, 8 ≠ 1, maka nilai 5 + 8 = ....
A.
B.
C.
D.
E.
6
lo VD
l
2 √5
25
56
5DV√6
Pembahasan:
l6
6
1 l
1
∙ log 8 + ∙ m log 5 = 1
2
2
1 l
( log 8 + m log 5) = 1
⇔
2
l
log 8 + m log 5 = 2
⇔
1
l
⇔
log 8 + l
=2
log 8
(l log 8)6 + 1 = 2(l log 8)
⇔
⇔ (l log 8)6 − 2(l log 8) + 1 = 0
(l log 8 − 1)6 = 0
⇔
l
log 8 − 1 = 0
⇔
l
⇔
log 8 = 1
log 8 + m log 5 = 1 ⇔
6
Karena l log 8 = 1 maka 5D = 8 ⇔ 5 = 8, sehingga 5 + 8 = 5 + (5) = 25
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6
7.
Jika rata-rata 20 bilangan bulat nonnegatif berbeda adalah 20, maka bilangan terbesar yang
mungkin adalah ....
A. 210
B. 229
C. 230
D. 239
E. 240
Pembahasan:
Misalkan q adalah bilangan terbesar yang mungkin, dan Cr adalah bilangan bulat nonnegatif
dimana Cr ≥ 0.
Sehingga jika rata-rata 20 bilangan nonnegatif berbeda termasuk q adalah 20, maka:
CD + C6 + CZ + … + CDt + q
= 20 ⇔ CD + C6 + CZ + … + CDt + q = 400
20
Sehingga apabila diambil kemungkinan terburuk yaitu 19 bilangan nonnegatif tersebut adalah
bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 18, maka:
0 + 1 + 2 + … + 18 + q = 400 ⇔ 171 + q = 400
⇔
q = 400 − 171
⇔
q = 229
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7
8.
Diketahui fungsi S(C) = C 6 − 2C − 5|C|. Nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 10] adalah ....
t
A.
Y
Yt
B.
Y
C. 10
D. 20
E. 30
Pembahasan:
S(C) = C 6 − 2C − 5|C| x
Sehingga,
•
C 6 − 7C, untuk C ≥ 0
C 6 + 3C, untuk C < 0
S(C) = C 6 − 7C ⇒ S P (C) = 2C − 7
S(C) memiliki titik ekstrim untuk C yang memenuhi S P (C) = 0
7
S P (C) = 0 ⇔ 2C − 7 = 0 ⇔ C =
2
Untuk interval ^ , 10z S P (C) > 0, sehingga S(C) naik, jadi nilai maksimum kemungkinan berada
6
di akhir interval, yaitu saat C = 10. Sehingga diperoleh S(10) = (10)6 − 7(10) = 30.
b
Untuk interval {0, _ S P (C) < 0, sehingga S(C) turun, jadi nilai maksimum kemungkinan berada
6
di awal interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(0) = 0
b
•
Jadi nilai maksimum S(C) pada interval [0, 10] adalah 30.
S(C) = C 6 + 3C ⇒ S P (C) = 2C + 3
S(C) memiliki titik ekstrim untuk C yang memenuhi S P (C) = 0
3
S P (C) = 0 ⇔ 2C + 3 = 0 ⇔ C = −
2
Untuk interval ^− , 0_ S P (C) > 0, sehingga S(C) naik, jadi nilai maksimum kemungkinan berada
6
di akhir interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(0) = 0.
Z
Untuk interval {−5, − 6_ S P (C) < 0, sehingga S(C) turun, jadi nilai maksimum kemungkinan
berada di awal interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(−5) = (−5)6 − 3(−5) = 10
Z
Jadi nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 0) adalah 10.
Sehingga didapatkan nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 10] adalah 30.
TRIK SUPERKILAT:
Dengan menggambar sketsa grafik
S(C) = x
C 6 − 7C, untuk C ≥ 0
C 6 + 3C, untuk C < 0
akan diperoleh kesimpulan bahwa nilai maksimum S(C) adalah saat C = 10 yaitu 30.
F = C 6 + 3C
3
F = C 6 − 7C
0
7
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8
9.
Jika C adaah sudut lancip dengan tan6 C = dan memenuhi persamaan
m
2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5, maka nilai dari 28 sin C = ....
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 3√3
D
Pembahasan:
Dari persamaan 2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5 diperoleh
2 sin6 C − 8 sin C = (2 − 2 sin6 C) − 5
2 sin6 C − 8 sin C = −2 sin6 C − 3
4 sin6 C − 8 sin C + 3 = 0
(2 sin C − 1)(2 sin C − 3) = 0
pembuat nol
⇔ 2 sin C − 1 = 0 atau 2 sin C − 3 = 0
2 sin C = 1
2 sin C = 3
1
3
sin C =
sin C = (}~;5f J•€Gf~€)
2
2
2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5 ⇔
⇔
⇔
⇔
Sehingga karena nilai sin C =
D
6
dan C adalah sudut lancip maka nilai C = 30°.
Dari persamaan tan6 C = m diperoleh:
D
6
1
3
3
6
6
2
∙
^
√3_
2∙
C
C
sin
1
2
cos
1
2
4
= ⇔ 28 sin C =
=
=
= 2 =3
tan6 C = ⇔
6
1
1
1
cos C 8
sin C
8
2
2
2
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9
10.
5 + 28 + 3: = 12
258 + 35: + 68: = 48
maka nilai 5 + 8 + : = ....
b
A. Z
Diketahui ‚
B.
C.
ƒ
Z
D„
Z
66
D. Z
E. 6
Pembahasan:
Misalkan C = 5, F = 28, dan … = 12, maka diperoleh persamaan:
C + F + … = 12
CF + C… + F… = 48
Dari penjabaran kuadrat C + F + … kita tahu bahwa,
(C + F + …)6 = C 6 + F 6 + … 6 + 2(CF + C… + F…) ⇔ C 6 + F 6 + … 6
⇔ C6 + F6 + …6
⇔ C6 + F6 + …6
⇔ C6 + F6 + …6
= (C + F + …)6 − 2(CF + C… + F…)
= (12)6 − 2(48)
= 144 − 96
= 48
Karena diberikan CF + C… + F… = 48 dan dari perhitungan juga diperoleh C 6 + F 6 + … 6 = 48, maka:
C 6 + F 6 + … 6 = CF + C… + F…
⇔
C 6 + F 6 + … 6 − CF − C… − F… = 0
1
1
1
1
1
1
⇔ [ C 6 − CF + F 6 \ + [ C 6 − C… + … 6 \ + [ F 6 − F… + … 6 \ = 0
2
2
2
2
2
2
1
⇔
[(C 6 − 2CF + F 6 ) + (C 6 − 2C… + … 6 ) + (F − 2F… + … 6 )] = 0
2
1
[(C − F)6 + (C − …)6 + (F − …)6 ] = 0
⇔
2
(C − F)6 + (C − …)6 + (F − …)6 = 0
⇔
Persamaan tersebut dipenuhi jika C = F = ….
Sehingga karena C + F + … = 12, maka C = F = … = 4, maka
C=5⇔5=4
F = 28 ⇔ 28 = 4 ⇔ 8 = 2
… = 3: ⇔ 3: = 4 ⇔ : =
Jadi,
5+8+: =4+2+
4
3
4 12 6 4 22
=
+ + =
3 3 3
3
3
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10
11.
Untuk setiap C, F anggota bilangan riil didefinisikan C • F = (C − F)6, maka (C − F)6 • (F − C)6
adalah ....
A. 0
B. C 6 + F 6
C. 2C 6
D. 2F 6
E. 4CF
Pembahasan:
(C − F)6 • (F − C)6 = ((C − F)6 − (F − C)6 )6
TRIK SUPERKILAT:
= W(C 6 − 2CF + F 6 ) − (F 6 − 2CF + C 6 )X
= 06
=0
6
Ingat C 6 = (−C)6, maka (C − F)6 = W−(C − F)X = (F − C)6
Jadi (C − F)6 • (F − C)6 = (C − F)6 • (C − F)6
= W(C − F) − (C − F)X
= 06
=0
6
6
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11
12.
‡
0,5 sin 2C hˆ‰Š ‹
A.
B.
C.
D.
E.
sin 2C
cos 2C
tan 2C
cot 2C
sec 2C
U6 Œ•Ž T
••Œ T
i = ....
Pembahasan:
1
2 sin6 C
1
−
2
sin
C
−
sin C ”
0,5 sin 2C ‘sin C
’ = 0,5 ∙ (2 sin C cos C) ∙ “sin C
cos C
cos C
1 − 2 sin6 C
i
= sin C cos C h
sin C cos C
= 1 − 2 sin6 C
= cos 2C
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12
13.
1 − 3 + 5 + 7 − 9 + 11 + 13 − 15 + 17 + … + 193 − 195 + 197 = ....
A. 3399
B. 3366
C. 3333
D. 3267
E. 3266
Pembahasan:
1 − 3 + 5 + 7 − 9 + 11 + 13 − 15 + 17 + … + 193 − 195 + 197
⇔ (1 − 3 + 5) + (7 − 9 + 11) + (13 − 15 + 17) + … + (193 − 195 + 197)
⇔ 3 + 9 + 15 + … + 195
Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 5 = 3, dan selisih
atau beda 8 = 6.
Sehingga,
•• = 5 + (€ − 1)8 ⇔ 195 = 3 + 6(€ − 1) ⇔ € = 33
Jadi,
–• =
€
33
33
(5 + •• ) =
(3 + 195) =
∙ 198 = 33 ∙ 99 = 3267
2
2
2
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13
14.
Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua dadu adalah ....
—
A.
B.
C.
D.
E.
6Ya
—
Za
6—
Ya
6—
b6
D6—
YZ6
Pembahasan:
Pada pelemparan dua dadu, jumlah ruang sampel adalah €(˜) = 36.
Misalkan A adalah kejadian mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu,
maka:
] = ™(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)š
Sehingga, €(]) = 6
Jadi peluang mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu adalah:
›(]) =
€(])
6
1
=
=
€(˜) 36 6
Sehingga peluang tidak mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu adalah:
1 5
=
6 6
Misal B adalah kejadian mendapatkan jumlah angka 7 pada tiga kali pelemparan dadu, maka dengan
menggunakan aturan perkalian diperoleh peluang mendapatkan hanya satu kali jumlah angka 7
pada tiga kali pelemparan dua dadu adalah:
›(]œ ) = 1 − ›(]) = 1 −
›(`) =
1 5 5
25
∙ ∙ ∙3=
72
6 6 6
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14
15.
Jika solusi dari persamaan 5TV— = 7T dapat dinyatakan dalam bentuk C = l log 5— , maka nilai 5 = ....
—
A.
B.
C.
D.
E.
D6
—
b
b
—
D6
b
D6
—
Pembahasan:
5TV— = 7T ⇔
log 5TV— = log 7T
(C + 5) log 5 = C log 7
⇔
⇔ C log 5 + 5 log 5 = C log 7
⇔
5 log 5 = C log 7 − C log 5
⇔
log 5— = C(log 7 − log 5)
7
⇔
log 5— = C log [ \
5
—
log 5
⇔
C=
7
log ^ _
5
•
⇔
C = ž log 5—
Sehingga nilai 5 =
7
.
5
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 15
16.
Jika G(C) = (S ∘ S ∘ S)(C) dengan S(0) = 0 dan S P (0) = 2, maka nilai GP (0) = ....
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
E. 16
Pembahasan:
Dari persamaan G(C) = SW(S ∘ S)(C)X, dengan menggunakan aturan rantai pada turunan diperoleh:
GP (C) = S P W(S ∘ S)(C)X ∙ S P WS(C)X ∙ S P (C) ⇔ GP (0) = S P W(S ∘ S)(0)X ∙ S P WS(0)X ∙ S P (0)
⇔ GP (0) = S P WS(0)X ∙ S P (0) ∙ S P (0)
⇔ GP (0) = S P (0) ∙ S P (0) ∙ S P (0)
⇔ GP (0) = 2 ∙ 2 ∙ 2
⇔ GP (0) = 8
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 16
PETUNJUK C: Untuk soal nomor 17-20
17.
Akar-akar persamaan kuadrat C 6 − 6C + 25 − 1 = 0 mempunyai beda 10. Yang benar berikut ini
adalah ....
(1) Jumlah kedua akarnya 6.
(2) Hasil kali kedua akarnya −16.
(3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 20.
D
(4) Hasil kali kebalikan akar-akarnya − .
Da
Pembahasan:
Misal akar-akar persamaan kuadrat C 6 − 6C + 25 − 1 = 0 adalah ¡ dan ¢ dan ¡ > ¢, maka dengan
menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:
−6
= 6 (¡£¤€F5}55€ (1) 8£€5¤)
1
Karena pernyataan (1) benar, otomatis pernyataan (3) juga benar, jadi periksa kebenaran dari
pernyataan(2):
¡+¢ =−
(¡ − ¢) = 10 ⇔
(¡ − ¢)6
⇔ ¡6 − 2¡¢ + ¢ 6
⇔ (¡ + ¢)6 − 4¡¢
⇔
36 − 4¡¢
⇔
4¡¢
⇔
⇔
= 100
= 100
= 100
= 100
= −64
−64
¡¢ =
4
¡¢ = −16 (¡£¤€F5}55€ (2)8£€5¤)
Periksa kebenaran pernyataan (4):
1
1
1
1 1
∙ =
=
=−
(¡£¤€F5}55€ (4)8£€5¤)
16
¡ ¢ ¡¢ −16
Jadi kesimpulannya pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Ups, namun ada yang janggal, pernyataan (3) sebenarnya tidak tepat.
Periksa pernyataan (3):
¡6 + ¢ 6 = (¡ + ¢)6 − 2¡¢ = (6)6 − 2(−16) = 36 − 32 = 4 (¡£¤€F5}55€ (3) –£8£€5¤€F5 –5¥5ℎ)
Jadi kesimpulan yang tepat adalah hanya pernyataan (1), (2), dan (4) yang benar.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 17
18.
Misalkan CD dan C6 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat C 6 + ¡C + ¢ = 0 yang merupakan
bilangan bulat. Jika diketahui bahwa ¡ + ¢ = 2010, maka akar-akar persamaan tersebut adalah ....
(1) −2012
(2) −2010
(3) −2
(4) 0
Pembahasan:
Misal akar-akar persamaan kuadrat C 6 + ¡C + ¢ = 0 adalah 5 dan 8 dan 5 ≥ 8, maka dari rumus
jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:
5 + 8 = −¡
58 = ¢
Maka jika ¡ + ¢ = 2010 akan diperoleh:
¡ + ¢ = 2010 ⇔ −(5 + 8) + 58 = 2010
⇔
58 − 5 − 8 = 2010
⇔ 58 − 5 − 8 + 1 = 2011
⇔ (5 − 1)(8 − 1) = 2011
Dengan memperhatikan bahwa bilangan 2011 adalah bilangan prima. Maka faktor dari bilangan
2011 hanya bilangan 1 dan 2011 atau −1 dan −2011, sehingga:
•
•
5 − 1 = 1 atau 8 − 1 = 2011
Jadi 5 = 2 atau 8 = 2012. Ternyata tidak ada yang memenuhi pada jawaban.
5 − 1 = −1 atau 8 − 1 = −2011
Jadi 5 = 0 atau 8 = −2010. Sehingga pernyataan (2) dan (4) benar.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18
19.
Diketahui bahwa A, B, C adalah 3 buah titik yang berbeda yang terletak pada kurva F = C 6 di mana
garis yang menghubungkan titik A dan B sejajar dengan sumbu C. Ketika ketiga titik dihubungkan,
akan terbentuk sebuah segitiga siku-siku dengan luas daerah sama dengan 5. Absis titik C adalah ....
(1) −2√6
(2) 5
(3) 2√6
(4) 25
Pembahasan:
Misal titik A adalah (5, 56 ), sehingga dengan memperhatikan bahwa titik A dan B sejajar maka titik
B adalah W– 5, 56 X. Sehingga jarak ruas garis AB adalah 25.
Karena titik C adalah berada pada kurva sehingga luas daerah ABC sama dengan 5, maka kita bisa
membuat permisalan bahwa titik C terletak di (8, 8 6 ).
Selanjutnya, dengan memperhatikan kurva F = C 6 dan bahwa segitiga ABC adalah segitiga sikusiku, maka mustahil sudut siku-siku segitiga ABC akan terletak pada A atau B, sehingga segitiga ABC
akan siku-siku di C.
Perhatikan, gradien ruas garis ]¦ adalah J§¨ =
J©¨ =
m o Ulo
mVl
= 8 − 5.
m o Ulo
mUl
= 8 + 5 dan gradien ruas garis `¦ adalah
Karena ruas garis ]¦ dan `¦ siku-siku di C, maka :
J§¨ ∙ J©¨ = −1 ⇔ (8 + 5)(8 − 5) = −1
⇔
8 6 − 56 = −1
Sehingga, dengan memperhatikan bahwa } adalah tinggi segitiga terhadap alas ]`, maka } adalah
jarak titik C ke garis AB, artinya jarak ordinat C ke A atau B. Sehingga } = 8 6 − 56 , maka luas daerah
segitiga ]`¦ adalah:
1
1
ª = ∙ ]` ∙ } ⇔ ª = ∙ 25(8 6 − 56 )
2
2
⇔ 5 = 5(−1)
⇔ 5 = −5
Dengan mensubstitusikan 5 = −5 ke (8 6 − 56 ) = −1, diperoleh:
8 6 − 25 = −1 ⇔ 8 6 = 24
⇔ 8 = ±√24
⇔ 8 = ±2√6
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19
20.
Diberikan program linier berikut:
Maks S = 3C + 2F
dengan kendala
C + F ≥ 4, 5C − F ≤ 0, −C + 5F ≤ 20, F ≥ 0
Jika daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis
C + F = 4 dan 5C − F = 0, maka titik (C, F) dimana S mencapai maksimum akan memenuhi ....
(1) F + 10 = 3C
(2) C + 3F = 5C − F
(3) 2C + 7 ≤ 4F
(4) 2F ≥ 5 + C
Pembahasan:
Perhatikan bahwa gradien garis C + F = 4 adalah JD = −1, dan gradien garis 5C − F = 0 adalah
J6 = 5.
Dikarenakan daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong
garis C + F = 4 dan 5C − F = 0, maka dua garis tersebut adalah siku-siku, sehingga berlaku sifat:
JD ∙ J6 = −1 ⇔ −1 ∙ 5 = −1 ⇔ 5 = 1
Dengan menggambar ketiga garis pada bidang koordinat, diperoleh:
−C + 5F ≤ 20
C−F≤0
5
4
2
2
4
5
C+F≥4
Jadi, jelas terlihat bahwa nilai maksimum 3C + 2F adalah di titik (5, 5).
Dengan mensubstitusikan titik (5, 5) ke semua pernyataan:
(1) F + 10 = 3C ⇔ 5 + 10 = 3(5) ⇔ 15 = 15 (8£€5¤)
(2) C + 3F = 5C − F ⇔ 5 + 3(5) = 5(5) − (5) ⇔ 20 = 20 (8£€5¤)
(3) 2C + 7 ≤ 4F ⇔ 2(5) + 7 ≤ 4(5) ⇔ 17 ≤ 20 (8£€5¤)
(4) 2F ≥ 5 + C ⇔ 2(5) ≥ 5 + (5) ⇔ 10 ≥ 10 (8£€5¤)
Sehingga dapat diperoleh kesimpulan bahwa semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam
menghadapi SIMAK-UI, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI, SNMPTN, OSN
ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terimakasih,
Pak Anang.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20
SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA
Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Disusun Oleh :
Pak Anang
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Pembahasan Soal SIMAK–
SIMAK–UI 2011
Matematika Dasar Kode Soal 211
By Pak Anang (http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com)
anang.blogspot.com)
PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-16 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Diketahui 56 + 8 6 = 1 dan : 6 + ; 6 = 1. Nilai minimum dari 5: + 8; − 2 adalah ....
A. −6
B. −5
C. −3
D. 3
E. 5
Pembahasan:
Ingat bilangan kuadrat pasti lebih besar sama dengan nol.
Sehingga diperoleh:
(5 + :)6 ≥ 0
⇔ 56 + 25: + : 6 ≥ 0
dan
(8 + ;)6 ≥ 0
⇔ 8 6 + 28; + ;6 ≥ 0
Dengan menjumlahkan kedua pertidaksamaan maka diperoleh:
56 + 8 6 + : 6 + ; 6 + 25: + 28; ≥ 0
⇔
2 + 25: + 28; ≥ 0
⇔
2(1 + 5: + 8;) ≥ 0
⇔
1 + 5: + 8; ≥ 0
⇔
5: + 8; ≥ −1
Karena 5: + 8; ≥ −1, jelas terlihat bahwa nilai minimum dari 5: + 8; adalah −1, akibatnya nilai
minimum dari 5: + 8; − 2 adalah −3.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 1
2.
Dua titik dengan CD = −5 dan C6 = 35 dimana 5 ≠ 0, terletak pada parabola F = C 6 . Garis G
menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis G,
maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu F di ....
A. – 56
B. 56
C. 256
D. 456
E. 556
Pembahasan:
Misalkan A dan B adalah masing-masing adalah titik pada garis CD = 5 dan C6 = 35, dimana 5 ≠ 0
yang terletak pada parabola F = C 6 , maka koordinat titik A adalah (−5, 56 ) dan koordinat titik B
adalah (35, 956 ).
Sebuah garis G menghubungkan titik A dan titik B, maka diperoleh gradien garis G adalah:
JK =
956 − 56
856
=
= 25
35 − (−5)
45
Misalkan ℎ adalah garis singgung kurva, maka gradien garis singgung kurva F = C 6 untuk sebarang
nilai C adalah JO = F P = 2C.
Dari soal diperoleh informasi bahwa garis singgung ℎ sejajar dengan garis G, maka JO = JK = 25.
Karena JO = 2C dan JO = 25, maka diperoleh C = 5.
Sehingga garis singgung ℎ adalah garis singgung yang menyinggung kurva pada titik (5, 56 ).
Sehingga diperoleh persamaan garis singgung ℎ di titik (5, 56 ) adalah:
(F − FD ) = JO (C − CD ) ⇔ F − 56 = 25(C − 5)
⇔ F − 56 = 25C − 256
⇔
F = 25C − 56
Jadi, diperoleh titik potong garis singgung ℎ dengan sumbu F:
C = 0 ⇒ F = 25(0) − 56 = −56
Titik potong garis singgung ℎ dengan sumbu F adalah (0, −56 )
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 2
3.
Diketahui S(C) =
GWS(C)X adalah ....
Y
A. − Z
TUD
TVD
dan G(C) = 3C. Jumlah semua nilai C yang mungkin sehingga SWG(C)X =
B. − Y
C.
Z
Y
Y
Z
D. Z
E. 2
Pembahasan: D
Perhatikan bahwa,
SWG(C)X = S(3C) =
dan
3C − 1
3C + 1
C−1
3C − 3
C−1
\ = 3[
\=
GWS(C)X = G [
C+1
C+1
C+1
Sehingga diperoleh:
3C − 1 3C − 3
=
3C + 1
C+1
⇔ (3C − 1)(C + 1) = (3C + 1)(3C − 3)
⇔ 3C 6 + 2C − 1 = 9C 6 − 6C − 3
⇔ 6C 6 − 8C − 2 = 0
SWG(C)X = GWS(C)X ⇔
Sehingga jika CD dan C6 adalah penyelesaian dari SWG(C)X = GWS(C)X maka dengan menggunakan
rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh jumlah semua nilai C yang
mungkin adalah:
CD + C6 = −
−8 8 4
= =
6
6 3
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 3
4.
Jika ] = ^
A.
B.
C.
D.
E.
2a `
2D6 `
4a
4b `
2DY
−3
2 1
_ dan ` = ^ _ maka ]a ` = ....
−6
0 4
Pembahasan:
TRIK SUPERKILAT:
−6 − 6
1 −3
−12
_=^
_^ _ = ^
_
0 − 24
4 −6
−24
−3
−12
Dari ]` bisa diketahui bahwa ]` = ^
_ = 4 ^ _ = 4` ⇔ ] = 4
−6
−24
Karena nilai ] = 4, maka:
]` = ^
2
0
]a ` = (4)a ` = (26 )a ` = 2D6 `
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4
5.
Nilai dari c2 + √5 + c2 − √5 − 3 adalah ....
A. −2
B. −1
C. 1
D. 1,5
E. 2
e
e
Pembahasan:
Soal ini menantang kita untuk menghilangkan tanda akar pangkat 3.
Ingat, (5 + 8 + :)Z = 5Z + 8 Z + : Z + 3W56 (8 + :) + 8 6 (5 + :) + : 6 (5 + 8)X + 658:
Misal, 5 + 8 + : = 0 maka diperoleh:
5 + 8 + : = 0 ⇔ 0 = 5Z + 8 Z + : Z + 3W56 (−5) + 8 6 (−8) + : 6 (−:)X + 658:
⇔ 0 = 5Z + 8 Z + : Z + 3(−5Z − 8 Z − : Z ) + 658:
⇔ 2(5Z + 8 Z + : Z ) = 658:
⇔ 5Z + 8 Z + : Z = 358:
Misal f = c2 + √5 + c2 − √5 maka c2 + √5 + c2 − √5 − f = 0, sehingga
e
e
5 = g2 + √5
e
e
e
8 = g2 − √5
e
: = −f
Dikarenakan 5 + 8 + : = 0, maka 5Z + 8 Z + : Z = 358:, sehingga
⇔
⇔
⇔
⇔
Z
Z
h g2 + √5i + h g2 − √5i + (−f)Z = 3 h g2 + √5 × g2 − √5i (−f)
e
e
e
2 + √5 + 2 − √5 − f Z = (−3f) ∙ √−1
4 − f Z = 3f
Z
f + 3f − 4 = 0
(f − 1)(f 6 + f + 4) = 0
e
e
Dari persamaan (f − 1)(f 6 + f + 4) = 0, nilai f yang mungkin adalah:
f − 1 = 0 atau f 6 + f + 4 = 0
Karena persamaan f 6 + f + 4 = 0 menghasilkan akar-akar yang imajiner, maka hanya didapatkan
satu nilai f yaitu f = 1.
Sehingga,
g2 + √5 + g2 − √5 − 3 = f − 3 = 1 − 3 = −2
e
e
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5
6.
Jika diketahui bahwa l log 8 + m log 5 = 1 dimana 5, 8 > 0 dan 5, 8 ≠ 1, maka nilai 5 + 8 = ....
A.
B.
C.
D.
E.
6
lo VD
l
2 √5
25
56
5DV√6
Pembahasan:
l6
6
1 l
1
∙ log 8 + ∙ m log 5 = 1
2
2
1 l
( log 8 + m log 5) = 1
⇔
2
l
log 8 + m log 5 = 2
⇔
1
l
⇔
log 8 + l
=2
log 8
(l log 8)6 + 1 = 2(l log 8)
⇔
⇔ (l log 8)6 − 2(l log 8) + 1 = 0
(l log 8 − 1)6 = 0
⇔
l
log 8 − 1 = 0
⇔
l
⇔
log 8 = 1
log 8 + m log 5 = 1 ⇔
6
Karena l log 8 = 1 maka 5D = 8 ⇔ 5 = 8, sehingga 5 + 8 = 5 + (5) = 25
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6
7.
Jika rata-rata 20 bilangan bulat nonnegatif berbeda adalah 20, maka bilangan terbesar yang
mungkin adalah ....
A. 210
B. 229
C. 230
D. 239
E. 240
Pembahasan:
Misalkan q adalah bilangan terbesar yang mungkin, dan Cr adalah bilangan bulat nonnegatif
dimana Cr ≥ 0.
Sehingga jika rata-rata 20 bilangan nonnegatif berbeda termasuk q adalah 20, maka:
CD + C6 + CZ + … + CDt + q
= 20 ⇔ CD + C6 + CZ + … + CDt + q = 400
20
Sehingga apabila diambil kemungkinan terburuk yaitu 19 bilangan nonnegatif tersebut adalah
bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 18, maka:
0 + 1 + 2 + … + 18 + q = 400 ⇔ 171 + q = 400
⇔
q = 400 − 171
⇔
q = 229
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7
8.
Diketahui fungsi S(C) = C 6 − 2C − 5|C|. Nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 10] adalah ....
t
A.
Y
Yt
B.
Y
C. 10
D. 20
E. 30
Pembahasan:
S(C) = C 6 − 2C − 5|C| x
Sehingga,
•
C 6 − 7C, untuk C ≥ 0
C 6 + 3C, untuk C < 0
S(C) = C 6 − 7C ⇒ S P (C) = 2C − 7
S(C) memiliki titik ekstrim untuk C yang memenuhi S P (C) = 0
7
S P (C) = 0 ⇔ 2C − 7 = 0 ⇔ C =
2
Untuk interval ^ , 10z S P (C) > 0, sehingga S(C) naik, jadi nilai maksimum kemungkinan berada
6
di akhir interval, yaitu saat C = 10. Sehingga diperoleh S(10) = (10)6 − 7(10) = 30.
b
Untuk interval {0, _ S P (C) < 0, sehingga S(C) turun, jadi nilai maksimum kemungkinan berada
6
di awal interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(0) = 0
b
•
Jadi nilai maksimum S(C) pada interval [0, 10] adalah 30.
S(C) = C 6 + 3C ⇒ S P (C) = 2C + 3
S(C) memiliki titik ekstrim untuk C yang memenuhi S P (C) = 0
3
S P (C) = 0 ⇔ 2C + 3 = 0 ⇔ C = −
2
Untuk interval ^− , 0_ S P (C) > 0, sehingga S(C) naik, jadi nilai maksimum kemungkinan berada
6
di akhir interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(0) = 0.
Z
Untuk interval {−5, − 6_ S P (C) < 0, sehingga S(C) turun, jadi nilai maksimum kemungkinan
berada di awal interval, yaitu saat C = 0. Sehingga diperoleh S(−5) = (−5)6 − 3(−5) = 10
Z
Jadi nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 0) adalah 10.
Sehingga didapatkan nilai maksimum S(C) pada interval [−5, 10] adalah 30.
TRIK SUPERKILAT:
Dengan menggambar sketsa grafik
S(C) = x
C 6 − 7C, untuk C ≥ 0
C 6 + 3C, untuk C < 0
akan diperoleh kesimpulan bahwa nilai maksimum S(C) adalah saat C = 10 yaitu 30.
F = C 6 + 3C
3
F = C 6 − 7C
0
7
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8
9.
Jika C adaah sudut lancip dengan tan6 C = dan memenuhi persamaan
m
2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5, maka nilai dari 28 sin C = ....
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 3√3
D
Pembahasan:
Dari persamaan 2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5 diperoleh
2 sin6 C − 8 sin C = (2 − 2 sin6 C) − 5
2 sin6 C − 8 sin C = −2 sin6 C − 3
4 sin6 C − 8 sin C + 3 = 0
(2 sin C − 1)(2 sin C − 3) = 0
pembuat nol
⇔ 2 sin C − 1 = 0 atau 2 sin C − 3 = 0
2 sin C = 1
2 sin C = 3
1
3
sin C =
sin C = (}~;5f J•€Gf~€)
2
2
2 sin6 C − 8 sin C = 2 cos6 C − 5 ⇔
⇔
⇔
⇔
Sehingga karena nilai sin C =
D
6
dan C adalah sudut lancip maka nilai C = 30°.
Dari persamaan tan6 C = m diperoleh:
D
6
1
3
3
6
6
2
∙
^
√3_
2∙
C
C
sin
1
2
cos
1
2
4
= ⇔ 28 sin C =
=
=
= 2 =3
tan6 C = ⇔
6
1
1
1
cos C 8
sin C
8
2
2
2
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9
10.
5 + 28 + 3: = 12
258 + 35: + 68: = 48
maka nilai 5 + 8 + : = ....
b
A. Z
Diketahui ‚
B.
C.
ƒ
Z
D„
Z
66
D. Z
E. 6
Pembahasan:
Misalkan C = 5, F = 28, dan … = 12, maka diperoleh persamaan:
C + F + … = 12
CF + C… + F… = 48
Dari penjabaran kuadrat C + F + … kita tahu bahwa,
(C + F + …)6 = C 6 + F 6 + … 6 + 2(CF + C… + F…) ⇔ C 6 + F 6 + … 6
⇔ C6 + F6 + …6
⇔ C6 + F6 + …6
⇔ C6 + F6 + …6
= (C + F + …)6 − 2(CF + C… + F…)
= (12)6 − 2(48)
= 144 − 96
= 48
Karena diberikan CF + C… + F… = 48 dan dari perhitungan juga diperoleh C 6 + F 6 + … 6 = 48, maka:
C 6 + F 6 + … 6 = CF + C… + F…
⇔
C 6 + F 6 + … 6 − CF − C… − F… = 0
1
1
1
1
1
1
⇔ [ C 6 − CF + F 6 \ + [ C 6 − C… + … 6 \ + [ F 6 − F… + … 6 \ = 0
2
2
2
2
2
2
1
⇔
[(C 6 − 2CF + F 6 ) + (C 6 − 2C… + … 6 ) + (F − 2F… + … 6 )] = 0
2
1
[(C − F)6 + (C − …)6 + (F − …)6 ] = 0
⇔
2
(C − F)6 + (C − …)6 + (F − …)6 = 0
⇔
Persamaan tersebut dipenuhi jika C = F = ….
Sehingga karena C + F + … = 12, maka C = F = … = 4, maka
C=5⇔5=4
F = 28 ⇔ 28 = 4 ⇔ 8 = 2
… = 3: ⇔ 3: = 4 ⇔ : =
Jadi,
5+8+: =4+2+
4
3
4 12 6 4 22
=
+ + =
3 3 3
3
3
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10
11.
Untuk setiap C, F anggota bilangan riil didefinisikan C • F = (C − F)6, maka (C − F)6 • (F − C)6
adalah ....
A. 0
B. C 6 + F 6
C. 2C 6
D. 2F 6
E. 4CF
Pembahasan:
(C − F)6 • (F − C)6 = ((C − F)6 − (F − C)6 )6
TRIK SUPERKILAT:
= W(C 6 − 2CF + F 6 ) − (F 6 − 2CF + C 6 )X
= 06
=0
6
Ingat C 6 = (−C)6, maka (C − F)6 = W−(C − F)X = (F − C)6
Jadi (C − F)6 • (F − C)6 = (C − F)6 • (C − F)6
= W(C − F) − (C − F)X
= 06
=0
6
6
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11
12.
‡
0,5 sin 2C hˆ‰Š ‹
A.
B.
C.
D.
E.
sin 2C
cos 2C
tan 2C
cot 2C
sec 2C
U6 Œ•Ž T
••Œ T
i = ....
Pembahasan:
1
2 sin6 C
1
−
2
sin
C
−
sin C ”
0,5 sin 2C ‘sin C
’ = 0,5 ∙ (2 sin C cos C) ∙ “sin C
cos C
cos C
1 − 2 sin6 C
i
= sin C cos C h
sin C cos C
= 1 − 2 sin6 C
= cos 2C
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12
13.
1 − 3 + 5 + 7 − 9 + 11 + 13 − 15 + 17 + … + 193 − 195 + 197 = ....
A. 3399
B. 3366
C. 3333
D. 3267
E. 3266
Pembahasan:
1 − 3 + 5 + 7 − 9 + 11 + 13 − 15 + 17 + … + 193 − 195 + 197
⇔ (1 − 3 + 5) + (7 − 9 + 11) + (13 − 15 + 17) + … + (193 − 195 + 197)
⇔ 3 + 9 + 15 + … + 195
Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 5 = 3, dan selisih
atau beda 8 = 6.
Sehingga,
•• = 5 + (€ − 1)8 ⇔ 195 = 3 + 6(€ − 1) ⇔ € = 33
Jadi,
–• =
€
33
33
(5 + •• ) =
(3 + 195) =
∙ 198 = 33 ∙ 99 = 3267
2
2
2
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13
14.
Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua dadu adalah ....
—
A.
B.
C.
D.
E.
6Ya
—
Za
6—
Ya
6—
b6
D6—
YZ6
Pembahasan:
Pada pelemparan dua dadu, jumlah ruang sampel adalah €(˜) = 36.
Misalkan A adalah kejadian mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu,
maka:
] = ™(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)š
Sehingga, €(]) = 6
Jadi peluang mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu adalah:
›(]) =
€(])
6
1
=
=
€(˜) 36 6
Sehingga peluang tidak mendapatkan jumlah angka 7 pada satu kali pelemparan dua dadu adalah:
1 5
=
6 6
Misal B adalah kejadian mendapatkan jumlah angka 7 pada tiga kali pelemparan dadu, maka dengan
menggunakan aturan perkalian diperoleh peluang mendapatkan hanya satu kali jumlah angka 7
pada tiga kali pelemparan dua dadu adalah:
›(]œ ) = 1 − ›(]) = 1 −
›(`) =
1 5 5
25
∙ ∙ ∙3=
72
6 6 6
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14
15.
Jika solusi dari persamaan 5TV— = 7T dapat dinyatakan dalam bentuk C = l log 5— , maka nilai 5 = ....
—
A.
B.
C.
D.
E.
D6
—
b
b
—
D6
b
D6
—
Pembahasan:
5TV— = 7T ⇔
log 5TV— = log 7T
(C + 5) log 5 = C log 7
⇔
⇔ C log 5 + 5 log 5 = C log 7
⇔
5 log 5 = C log 7 − C log 5
⇔
log 5— = C(log 7 − log 5)
7
⇔
log 5— = C log [ \
5
—
log 5
⇔
C=
7
log ^ _
5
•
⇔
C = ž log 5—
Sehingga nilai 5 =
7
.
5
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 15
16.
Jika G(C) = (S ∘ S ∘ S)(C) dengan S(0) = 0 dan S P (0) = 2, maka nilai GP (0) = ....
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
E. 16
Pembahasan:
Dari persamaan G(C) = SW(S ∘ S)(C)X, dengan menggunakan aturan rantai pada turunan diperoleh:
GP (C) = S P W(S ∘ S)(C)X ∙ S P WS(C)X ∙ S P (C) ⇔ GP (0) = S P W(S ∘ S)(0)X ∙ S P WS(0)X ∙ S P (0)
⇔ GP (0) = S P WS(0)X ∙ S P (0) ∙ S P (0)
⇔ GP (0) = S P (0) ∙ S P (0) ∙ S P (0)
⇔ GP (0) = 2 ∙ 2 ∙ 2
⇔ GP (0) = 8
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 16
PETUNJUK C: Untuk soal nomor 17-20
17.
Akar-akar persamaan kuadrat C 6 − 6C + 25 − 1 = 0 mempunyai beda 10. Yang benar berikut ini
adalah ....
(1) Jumlah kedua akarnya 6.
(2) Hasil kali kedua akarnya −16.
(3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 20.
D
(4) Hasil kali kebalikan akar-akarnya − .
Da
Pembahasan:
Misal akar-akar persamaan kuadrat C 6 − 6C + 25 − 1 = 0 adalah ¡ dan ¢ dan ¡ > ¢, maka dengan
menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:
−6
= 6 (¡£¤€F5}55€ (1) 8£€5¤)
1
Karena pernyataan (1) benar, otomatis pernyataan (3) juga benar, jadi periksa kebenaran dari
pernyataan(2):
¡+¢ =−
(¡ − ¢) = 10 ⇔
(¡ − ¢)6
⇔ ¡6 − 2¡¢ + ¢ 6
⇔ (¡ + ¢)6 − 4¡¢
⇔
36 − 4¡¢
⇔
4¡¢
⇔
⇔
= 100
= 100
= 100
= 100
= −64
−64
¡¢ =
4
¡¢ = −16 (¡£¤€F5}55€ (2)8£€5¤)
Periksa kebenaran pernyataan (4):
1
1
1
1 1
∙ =
=
=−
(¡£¤€F5}55€ (4)8£€5¤)
16
¡ ¢ ¡¢ −16
Jadi kesimpulannya pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Ups, namun ada yang janggal, pernyataan (3) sebenarnya tidak tepat.
Periksa pernyataan (3):
¡6 + ¢ 6 = (¡ + ¢)6 − 2¡¢ = (6)6 − 2(−16) = 36 − 32 = 4 (¡£¤€F5}55€ (3) –£8£€5¤€F5 –5¥5ℎ)
Jadi kesimpulan yang tepat adalah hanya pernyataan (1), (2), dan (4) yang benar.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 17
18.
Misalkan CD dan C6 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat C 6 + ¡C + ¢ = 0 yang merupakan
bilangan bulat. Jika diketahui bahwa ¡ + ¢ = 2010, maka akar-akar persamaan tersebut adalah ....
(1) −2012
(2) −2010
(3) −2
(4) 0
Pembahasan:
Misal akar-akar persamaan kuadrat C 6 + ¡C + ¢ = 0 adalah 5 dan 8 dan 5 ≥ 8, maka dari rumus
jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:
5 + 8 = −¡
58 = ¢
Maka jika ¡ + ¢ = 2010 akan diperoleh:
¡ + ¢ = 2010 ⇔ −(5 + 8) + 58 = 2010
⇔
58 − 5 − 8 = 2010
⇔ 58 − 5 − 8 + 1 = 2011
⇔ (5 − 1)(8 − 1) = 2011
Dengan memperhatikan bahwa bilangan 2011 adalah bilangan prima. Maka faktor dari bilangan
2011 hanya bilangan 1 dan 2011 atau −1 dan −2011, sehingga:
•
•
5 − 1 = 1 atau 8 − 1 = 2011
Jadi 5 = 2 atau 8 = 2012. Ternyata tidak ada yang memenuhi pada jawaban.
5 − 1 = −1 atau 8 − 1 = −2011
Jadi 5 = 0 atau 8 = −2010. Sehingga pernyataan (2) dan (4) benar.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 18
19.
Diketahui bahwa A, B, C adalah 3 buah titik yang berbeda yang terletak pada kurva F = C 6 di mana
garis yang menghubungkan titik A dan B sejajar dengan sumbu C. Ketika ketiga titik dihubungkan,
akan terbentuk sebuah segitiga siku-siku dengan luas daerah sama dengan 5. Absis titik C adalah ....
(1) −2√6
(2) 5
(3) 2√6
(4) 25
Pembahasan:
Misal titik A adalah (5, 56 ), sehingga dengan memperhatikan bahwa titik A dan B sejajar maka titik
B adalah W– 5, 56 X. Sehingga jarak ruas garis AB adalah 25.
Karena titik C adalah berada pada kurva sehingga luas daerah ABC sama dengan 5, maka kita bisa
membuat permisalan bahwa titik C terletak di (8, 8 6 ).
Selanjutnya, dengan memperhatikan kurva F = C 6 dan bahwa segitiga ABC adalah segitiga sikusiku, maka mustahil sudut siku-siku segitiga ABC akan terletak pada A atau B, sehingga segitiga ABC
akan siku-siku di C.
Perhatikan, gradien ruas garis ]¦ adalah J§¨ =
J©¨ =
m o Ulo
mVl
= 8 − 5.
m o Ulo
mUl
= 8 + 5 dan gradien ruas garis `¦ adalah
Karena ruas garis ]¦ dan `¦ siku-siku di C, maka :
J§¨ ∙ J©¨ = −1 ⇔ (8 + 5)(8 − 5) = −1
⇔
8 6 − 56 = −1
Sehingga, dengan memperhatikan bahwa } adalah tinggi segitiga terhadap alas ]`, maka } adalah
jarak titik C ke garis AB, artinya jarak ordinat C ke A atau B. Sehingga } = 8 6 − 56 , maka luas daerah
segitiga ]`¦ adalah:
1
1
ª = ∙ ]` ∙ } ⇔ ª = ∙ 25(8 6 − 56 )
2
2
⇔ 5 = 5(−1)
⇔ 5 = −5
Dengan mensubstitusikan 5 = −5 ke (8 6 − 56 ) = −1, diperoleh:
8 6 − 25 = −1 ⇔ 8 6 = 24
⇔ 8 = ±√24
⇔ 8 = ±2√6
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19
20.
Diberikan program linier berikut:
Maks S = 3C + 2F
dengan kendala
C + F ≥ 4, 5C − F ≤ 0, −C + 5F ≤ 20, F ≥ 0
Jika daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis
C + F = 4 dan 5C − F = 0, maka titik (C, F) dimana S mencapai maksimum akan memenuhi ....
(1) F + 10 = 3C
(2) C + 3F = 5C − F
(3) 2C + 7 ≤ 4F
(4) 2F ≥ 5 + C
Pembahasan:
Perhatikan bahwa gradien garis C + F = 4 adalah JD = −1, dan gradien garis 5C − F = 0 adalah
J6 = 5.
Dikarenakan daerah penyelesaian berbentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong
garis C + F = 4 dan 5C − F = 0, maka dua garis tersebut adalah siku-siku, sehingga berlaku sifat:
JD ∙ J6 = −1 ⇔ −1 ∙ 5 = −1 ⇔ 5 = 1
Dengan menggambar ketiga garis pada bidang koordinat, diperoleh:
−C + 5F ≤ 20
C−F≤0
5
4
2
2
4
5
C+F≥4
Jadi, jelas terlihat bahwa nilai maksimum 3C + 2F adalah di titik (5, 5).
Dengan mensubstitusikan titik (5, 5) ke semua pernyataan:
(1) F + 10 = 3C ⇔ 5 + 10 = 3(5) ⇔ 15 = 15 (8£€5¤)
(2) C + 3F = 5C − F ⇔ 5 + 3(5) = 5(5) − (5) ⇔ 20 = 20 (8£€5¤)
(3) 2C + 7 ≤ 4F ⇔ 2(5) + 7 ≤ 4(5) ⇔ 17 ≤ 20 (8£€5¤)
(4) 2F ≥ 5 + C ⇔ 2(5) ≥ 5 + (5) ⇔ 10 ≥ 10 (8£€5¤)
Sehingga dapat diperoleh kesimpulan bahwa semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.
Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam
menghadapi SIMAK-UI, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI, SNMPTN, OSN
ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com.
Terimakasih,
Pak Anang.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika Dasar by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 20