Pembahasan Soal SIMAK UI 2011 Matematika IPA kode 511
Pembahasan Soal
SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA
Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Disusun Oleh :
Pak Anang
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Pembahasan Soal SIMAK–
SIMAK–UI 2011
Matematika IPA Kode Soal 511
By Pak Anang (http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com)
anang.blogspot.com)
PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-16 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Misalkan 6 adalah suatu matriks 2 × 2. Jika 68 − 56 + 7< = 0 maka jumlah elemen-elemen diagonal
utama dari matriks 6 adalah ....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Pembahasan:
Misalkan matriks 6 = A
B
D
C
F, maka:
E
B C B
FA
A
D E D
1 0
B C
C
F=0
F + 7A
F − 5A
0 1
D E
E
8
B
⇔
I B + CD BC + CE
8 J = 5 AD
BD + DE CD + E
B8 + BE − BE + CD
C(B + E)
B
⇔
I
J = 5A
D
D(B + E)
CD + BE − BE + E8
B(B + E) − (BE − CD)
C(B + E)
B
⇔I
J = 5A
D(B + E)
E(B + E) − (BE − CD)
D
B(B + E) C(B + E)
B
BE − CD
0
⇔ I
F = 5A
J−A
D(B + E) E(B + E)
D
0
BE − CD
1 0
B
(B + E) AB C F − (BE − CD) A
F = 5A
⇔
0 1
D
D E
68 − 56 + 7< = 0 ⇔
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
0
F
1
0
F
1
0
F
1
0
F
1
0
F
1
Jadi dengan prinsip identitas, diperoleh jumlah nilai diagonal utama matriks 6 adalah B + E = 5.
TRIK SUPERKILAT:
Ingat, jika matriks 6 = A
68 = K6 − E<
B
D
C
F, K = B + E dan E = det(6) = BE − CD, maka:
E
Dari persamaan 68 − 56 + 7< = 0 ⇔ 68 = 56 − 7 sin 3M adalah ....
A. 0° < M < 120°, 180° < M < 240°
B. 0° < M < 150°, 180° < M < 270°
C. 120° < M < 180°, 240° < M < 240°
D. 150° < M < 180°, 270° < M < 360°
E. 0° < M < 135°, 180° < M < 270°
Pembahasan:
sin M + sin 2M > sin 3M ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sin M + sin 2M − sin 3M > 0
sin M − sin 3M + sin 2M > 0
2 cos 2M sin(−M) + 2 sin M cos M > 0
−2 cos 2M sin M + 2 sin M cos M > 0
2 sin M (cos M − cos 2M) > 0
2 sin M Ucos M − (2 cos8 M − 1)V > 0
2 sin M (−2 cos8 M + cos M + 1) > 0
2 sin M (− cos M + 1)(2 cos M + 1) > 0
pembuat nol
⇔ 2 sin M = 0 atau − cos M + 1 = 0 atau 2 cos M + 1 = 0
sin M = 0
cos M = 1
sin M = 0 ⇒ M = 0°, 180°, 360°
cos M = −
cos M = 1 ⇒ M = 0°, 360°
1
2
1
cos M = − ⇒ M = 120°, 240°
2
Gambarkan M pada garis bilangan dan periksa nilai M pada persamaan:
−
0°
+
120°
−
180°
+
240°
−
Jadi daerah penyelesaian yang memenuhi adalah:
360°
+
_M|0° < M < 120°, 180° < M < 240°a
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4
5.
Pada suatu barisan geometri dengan b > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah
tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat
bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku
ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda
b. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah ....
A. 14
B. 24
C. 28
D. 32
E. 42
Pembahasan:
Misalkan barisan geometri tersebut adalah:
XS , X8 , XT , Xc
Lalu disisipkan empat bilangan yaitu B, C, D, E, sehingga terbentuk barisan aritmatika berikut:
XS , X8 , B, XT , C, D, E, Xc
Dari soal diketahui bahwa dua kali jumlah empat suku pertama barisan geometri sama dengan tiga
kali jumlah dua suku genap pertama dari barisan geometri, maka:
2(XS + X8 + XT + Xc ) = 3(X8 + Xc ) ⇔ 2(XS + XS b + XS b 8 + XS b T ) = 3(XS b + Xb T )
⇔
2XS (1 + b + b 8 + b T ) = 3XS (b + b T )
⇔
2(1 + b + b 8 + b T ) = 3(b + b T )
⇔
2 + 2b + 2b 8 + 2b T = 3b + 3b T
⇔
b T − 2b 8 + b − 2 = 0
(b 8 + 1)(b − 2) = 0
⇔
defCXBg hij
⇔
b 8 + 1 = 0 atau b − 2 = 0
b 8 = −1
b=2
8
Perhatikan bahwa b = −1 tidak memiliki akar real, maka penyelesaian yang memenuhi hanyalah
b = 2. Sehingga rasio barisan geometri yang dimaksud adalah 2.
Dikarenakan XT adalah suku ketiga barisan geometri, maka:
XT = XS b 8 ⇔ XT = 4XS
Perhatikan juga bahwa XT adalah suku keempat barisan aritmetika, sehingga:
XT = XS + 3b = XS + 6
Sehingga dari persamaan XT = 4XS dan XT = XS + 6 diperoleh:
4XS = XS + 6 ⇔ 3XS = 6
⇔ XS = 2
Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah:
2, 4, 8, 16, …
Dan barisan aritmetika yang dimaksud adalah:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …
Sehingga jumlah suku-suku yang disisipkan adalah 6 + 10 + 12 + 14 = 42.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5
6.
Jika sin M − sin N = − dan cos M − cos N = , maka nilai dari sin(M + N) = ....
A.
B.
C.
D.
E.
S
S
T
S8
ST
S8
8
Sl
S8
Sm
S8
Sn
S8
8S
Pembahasan:
Dengan rumus selisih sinus dan kosinus diperoleh:
M+N
M−N
M+N
M−N
1
sin M − sin N = 2 cos I
J sin A
F ⇔ 2 cos I
J sin A
F=−
2
2
2
2
3
M−N
M+N
M−N
1
M+N
J sin A
F ⇔ −2 sin I
J sin A
F=
cos M − cos N = −2 cos I
2
2
2
2
2
Dikarenakan sudah terdapat faktor yang sama di kedua persamaan di atas, yaitu sin A
dengan menggunakan perbandingan diperoleh:
M+N
M+N
M−N
1
2 cos A
2 F sin A 2 F = − 3 ⇔ cos A 2 F = 2
M−N
M+N
M+N
1
F sin A
F
F 3
−2 sin A
sin A
2
2
2
2
M+N
2
⇔ cot I
J=
2
3
M+N
3
⇔ tan I
J=
2
2
Sehingga, dari tan A
sin A
Jadi,
psr
8
F=
T
√ST
psr
8
pqr
8
F, maka
F = diperoleh nilai:
dan cos A
T
8
psr
8
F=
8
√ST
M+N
M+N
J cos I
J
2
2
3
2
=2∙
∙
√13 √13
12
=
13
sin(M + N) = 2 sin I
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6
7.
Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Sebuah bola berdiameter 16 cm dimasukkan
kedalam kerucut hingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Kerucut dengan volume
terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi ....
A. 8√2 cm
B. 8√3 cm
C. 16√2 cm
D. 24 cm
E. 32 cm
Pembahasan:
Misalkan b adalah jari-jari bola, w adalah volume kerucut, B adalah jari-jari kerucut, dan g adalah
tinggi kerucut. Maka kita perhatikan penampang irisan kerucut sebagai berikut:
zB 8 + g 8
8
B
8
8
g
zB 8 + g 8
Jari-jari bola merupakan jari-jari lingkaran dalam segitiga sehingga
berlaku:
x∆
b=
⇔
1
K
2
8=
⇔
8=
S
(2B)g
8
1
(2B + 2√B8 + g 8
2
Bg
B + √B8 + g 8
⇔ 8B + 8zB8 + g 8 = Bg
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
8zB8 + g 8 = Bg − 8B (KXBEbBgKBh KeEXB bXB{)
64(B8 + g 8 ) = B8 g 8 − 16B8 g + 64B8
64B8 + 64g 8 = B8 g 8 − 16B8 g + 64B8
64g 8 = B8 g 8 − 16B8 g
64g 8 = B8 (g 8 − 16g)
64g 8
= B8
g 8 − 16g
64g
B8 =
g − 16
Diketahui pula volume kerucut adalah w = |B8 g, sehingga dengan mensubstitusikan B8 ke rumus
T
volume kerucut akan diperoleh nilai volume kerucut terhadap g:
S
1
1
64g
w = B8 g ⇔ w = | I
Jg
3
3 g − 16
64g 8
1
~
= |}
3
g − 16
Misalkan w′ adalah turunan pertama w, maka diperoleh:
1
128g(g − 16) − 64g 8
w = |}
~
(g − 16)8
3
€
Supaya nilai w minimum maka harus memenuhi w € = 0, sehingga
1
128g(g − 16) − 64g 8
w€ = 0 ⇔ | }
~=0
(g − 16)8
3
⇔
64g 8 − 2048 = 0
⇔
64g(g − 32) = 0
defCXBg hij
64g = 0 BgBX g − 32 = 0
⇔
g=0
g = 32
Karena nilai g tidak mungkin nol, maka nilai yang memenuhi hanyalah g = 32 cm.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7
8.
Misalkan salah satu akar dari persamaan (K − 5)M 8 − 2KM + K − 4 = 0 bernilai lebih dari 2 dan
salah satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan K yang memenuhi
adalah ....
A. _K ∈ ‚|5 < K < 24a
B. _K ∈ ‚|5 < K < 20a
C. _K ∈ ‚|15 < K < 24a
D. _K ∈ ‚|K > 5a
E. _K ∈ ‚|K > 24a
Pembahasan:
Misalkan Q(M) = (K − 5)M 8 − 2KM + (K − 4) = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat MS dan M8
maka:
MS > 2 ⇔ 2 < MS
ƒ Jadi M8 < 1 < 2 < MS .
M8 < 1
Sehingga daerah penyelesaian dari M8 < 1 < 2 < MS adalah irisan dari M8 < 1 < MS dan M8 < 2 < MS ,
maka diperoleh:
•
•
M8 < 1 < MS ⇔ M8 − 1 < 0 < MS − 1
⇔ M8 − 1 < 0 dan MS − 1 > 0
Akibatnya, dengan menggunakan sifat perkalian bilangan positif dan negatif pasti menghasilkan
bilangan negatif dan rumus jumlah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat akan diperoleh:
(MS − 1)(M8 − 1) < 0 ⇔
MS M8 − (MS + M8 ) + 1 < 0
2K
K−5
K−4
J−I
J+I
J 0
Akibatnya, dengan menggunakan sifat perkalian bilangan positif dan negatif pasti menghasilkan
bilangan negatif dan rumus jumlah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat akan diperoleh:
(MS − 2)(M8 − 2) < 0 ⇔
MS M8 − 2(MS + M8 ) + 4 < 0
K−4
2K
K−5
⇔I
J− 2I
J+4I
J 0
⇔
36K − 80 > 0
20
⇔
K>
9
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari ketiga pertidaksamaan di atas, yaitu:
_K ∈ ‚|5 < K < 24a
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8
9.
Misalkan fungsi Q: ‚ → ‚ dan ‡: ‚ → ‚ didefinisikan dengan Q(M) = 1 + dan ‡(M) = 1 − . Batas
p
p
nilai M dimana berlaku (Q ∘ ‡)(M) < (‡ ∘ Q)(M) adalah ....
A. −1 < M < 1
B. −1 < M < 0
C. 0 < M < 1
D. M < −1 atau M > 1
E. −1 < M < 0 atau 0 < M < 1
S
Pembahasan:
1
(Q ∘ ‡)(M) = Q I1 − J
M
1
=1+
1
A1 − F
M
1
1−
MŠ + ‰ 1 Š
=‰
1
1
1−
1
−
M
M
M−1
1
Š
=‰ M Š+‰
M−1
M−1
M
M
M−1
+1
= M
M−1
M
M−1 M
+
M
= M
M−1
M
M−1+M
M
=
×
M
M−1
2M − 1
=
M−1
Karena (Q ∘ ‡)(M) < (‡ ∘ Q)(M), maka:
S
1
(‡ ∘ Q)(M) = ‡ I1 + J
M
1
=1−
1
A1 + F
M
1
1+
MŠ − ‰ 1 Š
=‰
1
1
1+
1
+
M
M
M+1
1
Š
=‰ M Š−‰
M+1
M+1
M
M
M+1
−1
= M
M+1
M
M+1 M
−
M
= M
M+1
M
M+1−M
M
=
×
M
M+1
1
=
M+1
2M − 1
1
<
M−1
M+1
2M − 1
1
⇔
−
SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA
Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Disusun Oleh :
Pak Anang
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Pembahasan Soal SIMAK–
SIMAK–UI 2011
Matematika IPA Kode Soal 511
By Pak Anang (http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com)
anang.blogspot.com)
PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-16 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Misalkan 6 adalah suatu matriks 2 × 2. Jika 68 − 56 + 7< = 0 maka jumlah elemen-elemen diagonal
utama dari matriks 6 adalah ....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Pembahasan:
Misalkan matriks 6 = A
B
D
C
F, maka:
E
B C B
FA
A
D E D
1 0
B C
C
F=0
F + 7A
F − 5A
0 1
D E
E
8
B
⇔
I B + CD BC + CE
8 J = 5 AD
BD + DE CD + E
B8 + BE − BE + CD
C(B + E)
B
⇔
I
J = 5A
D
D(B + E)
CD + BE − BE + E8
B(B + E) − (BE − CD)
C(B + E)
B
⇔I
J = 5A
D(B + E)
E(B + E) − (BE − CD)
D
B(B + E) C(B + E)
B
BE − CD
0
⇔ I
F = 5A
J−A
D(B + E) E(B + E)
D
0
BE − CD
1 0
B
(B + E) AB C F − (BE − CD) A
F = 5A
⇔
0 1
D
D E
68 − 56 + 7< = 0 ⇔
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
1
C
F − 7A
0
E
0
F
1
0
F
1
0
F
1
0
F
1
0
F
1
Jadi dengan prinsip identitas, diperoleh jumlah nilai diagonal utama matriks 6 adalah B + E = 5.
TRIK SUPERKILAT:
Ingat, jika matriks 6 = A
68 = K6 − E<
B
D
C
F, K = B + E dan E = det(6) = BE − CD, maka:
E
Dari persamaan 68 − 56 + 7< = 0 ⇔ 68 = 56 − 7 sin 3M adalah ....
A. 0° < M < 120°, 180° < M < 240°
B. 0° < M < 150°, 180° < M < 270°
C. 120° < M < 180°, 240° < M < 240°
D. 150° < M < 180°, 270° < M < 360°
E. 0° < M < 135°, 180° < M < 270°
Pembahasan:
sin M + sin 2M > sin 3M ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sin M + sin 2M − sin 3M > 0
sin M − sin 3M + sin 2M > 0
2 cos 2M sin(−M) + 2 sin M cos M > 0
−2 cos 2M sin M + 2 sin M cos M > 0
2 sin M (cos M − cos 2M) > 0
2 sin M Ucos M − (2 cos8 M − 1)V > 0
2 sin M (−2 cos8 M + cos M + 1) > 0
2 sin M (− cos M + 1)(2 cos M + 1) > 0
pembuat nol
⇔ 2 sin M = 0 atau − cos M + 1 = 0 atau 2 cos M + 1 = 0
sin M = 0
cos M = 1
sin M = 0 ⇒ M = 0°, 180°, 360°
cos M = −
cos M = 1 ⇒ M = 0°, 360°
1
2
1
cos M = − ⇒ M = 120°, 240°
2
Gambarkan M pada garis bilangan dan periksa nilai M pada persamaan:
−
0°
+
120°
−
180°
+
240°
−
Jadi daerah penyelesaian yang memenuhi adalah:
360°
+
_M|0° < M < 120°, 180° < M < 240°a
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 4
5.
Pada suatu barisan geometri dengan b > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah
tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat
bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku
ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda
b. Jumlah bilangan yang disisipkan adalah ....
A. 14
B. 24
C. 28
D. 32
E. 42
Pembahasan:
Misalkan barisan geometri tersebut adalah:
XS , X8 , XT , Xc
Lalu disisipkan empat bilangan yaitu B, C, D, E, sehingga terbentuk barisan aritmatika berikut:
XS , X8 , B, XT , C, D, E, Xc
Dari soal diketahui bahwa dua kali jumlah empat suku pertama barisan geometri sama dengan tiga
kali jumlah dua suku genap pertama dari barisan geometri, maka:
2(XS + X8 + XT + Xc ) = 3(X8 + Xc ) ⇔ 2(XS + XS b + XS b 8 + XS b T ) = 3(XS b + Xb T )
⇔
2XS (1 + b + b 8 + b T ) = 3XS (b + b T )
⇔
2(1 + b + b 8 + b T ) = 3(b + b T )
⇔
2 + 2b + 2b 8 + 2b T = 3b + 3b T
⇔
b T − 2b 8 + b − 2 = 0
(b 8 + 1)(b − 2) = 0
⇔
defCXBg hij
⇔
b 8 + 1 = 0 atau b − 2 = 0
b 8 = −1
b=2
8
Perhatikan bahwa b = −1 tidak memiliki akar real, maka penyelesaian yang memenuhi hanyalah
b = 2. Sehingga rasio barisan geometri yang dimaksud adalah 2.
Dikarenakan XT adalah suku ketiga barisan geometri, maka:
XT = XS b 8 ⇔ XT = 4XS
Perhatikan juga bahwa XT adalah suku keempat barisan aritmetika, sehingga:
XT = XS + 3b = XS + 6
Sehingga dari persamaan XT = 4XS dan XT = XS + 6 diperoleh:
4XS = XS + 6 ⇔ 3XS = 6
⇔ XS = 2
Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah:
2, 4, 8, 16, …
Dan barisan aritmetika yang dimaksud adalah:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …
Sehingga jumlah suku-suku yang disisipkan adalah 6 + 10 + 12 + 14 = 42.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5
6.
Jika sin M − sin N = − dan cos M − cos N = , maka nilai dari sin(M + N) = ....
A.
B.
C.
D.
E.
S
S
T
S8
ST
S8
8
Sl
S8
Sm
S8
Sn
S8
8S
Pembahasan:
Dengan rumus selisih sinus dan kosinus diperoleh:
M+N
M−N
M+N
M−N
1
sin M − sin N = 2 cos I
J sin A
F ⇔ 2 cos I
J sin A
F=−
2
2
2
2
3
M−N
M+N
M−N
1
M+N
J sin A
F ⇔ −2 sin I
J sin A
F=
cos M − cos N = −2 cos I
2
2
2
2
2
Dikarenakan sudah terdapat faktor yang sama di kedua persamaan di atas, yaitu sin A
dengan menggunakan perbandingan diperoleh:
M+N
M+N
M−N
1
2 cos A
2 F sin A 2 F = − 3 ⇔ cos A 2 F = 2
M−N
M+N
M+N
1
F sin A
F
F 3
−2 sin A
sin A
2
2
2
2
M+N
2
⇔ cot I
J=
2
3
M+N
3
⇔ tan I
J=
2
2
Sehingga, dari tan A
sin A
Jadi,
psr
8
F=
T
√ST
psr
8
pqr
8
F, maka
F = diperoleh nilai:
dan cos A
T
8
psr
8
F=
8
√ST
M+N
M+N
J cos I
J
2
2
3
2
=2∙
∙
√13 √13
12
=
13
sin(M + N) = 2 sin I
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6
7.
Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Sebuah bola berdiameter 16 cm dimasukkan
kedalam kerucut hingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Kerucut dengan volume
terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi ....
A. 8√2 cm
B. 8√3 cm
C. 16√2 cm
D. 24 cm
E. 32 cm
Pembahasan:
Misalkan b adalah jari-jari bola, w adalah volume kerucut, B adalah jari-jari kerucut, dan g adalah
tinggi kerucut. Maka kita perhatikan penampang irisan kerucut sebagai berikut:
zB 8 + g 8
8
B
8
8
g
zB 8 + g 8
Jari-jari bola merupakan jari-jari lingkaran dalam segitiga sehingga
berlaku:
x∆
b=
⇔
1
K
2
8=
⇔
8=
S
(2B)g
8
1
(2B + 2√B8 + g 8
2
Bg
B + √B8 + g 8
⇔ 8B + 8zB8 + g 8 = Bg
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
8zB8 + g 8 = Bg − 8B (KXBEbBgKBh KeEXB bXB{)
64(B8 + g 8 ) = B8 g 8 − 16B8 g + 64B8
64B8 + 64g 8 = B8 g 8 − 16B8 g + 64B8
64g 8 = B8 g 8 − 16B8 g
64g 8 = B8 (g 8 − 16g)
64g 8
= B8
g 8 − 16g
64g
B8 =
g − 16
Diketahui pula volume kerucut adalah w = |B8 g, sehingga dengan mensubstitusikan B8 ke rumus
T
volume kerucut akan diperoleh nilai volume kerucut terhadap g:
S
1
1
64g
w = B8 g ⇔ w = | I
Jg
3
3 g − 16
64g 8
1
~
= |}
3
g − 16
Misalkan w′ adalah turunan pertama w, maka diperoleh:
1
128g(g − 16) − 64g 8
w = |}
~
(g − 16)8
3
€
Supaya nilai w minimum maka harus memenuhi w € = 0, sehingga
1
128g(g − 16) − 64g 8
w€ = 0 ⇔ | }
~=0
(g − 16)8
3
⇔
64g 8 − 2048 = 0
⇔
64g(g − 32) = 0
defCXBg hij
64g = 0 BgBX g − 32 = 0
⇔
g=0
g = 32
Karena nilai g tidak mungkin nol, maka nilai yang memenuhi hanyalah g = 32 cm.
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7
8.
Misalkan salah satu akar dari persamaan (K − 5)M 8 − 2KM + K − 4 = 0 bernilai lebih dari 2 dan
salah satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan K yang memenuhi
adalah ....
A. _K ∈ ‚|5 < K < 24a
B. _K ∈ ‚|5 < K < 20a
C. _K ∈ ‚|15 < K < 24a
D. _K ∈ ‚|K > 5a
E. _K ∈ ‚|K > 24a
Pembahasan:
Misalkan Q(M) = (K − 5)M 8 − 2KM + (K − 4) = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat MS dan M8
maka:
MS > 2 ⇔ 2 < MS
ƒ Jadi M8 < 1 < 2 < MS .
M8 < 1
Sehingga daerah penyelesaian dari M8 < 1 < 2 < MS adalah irisan dari M8 < 1 < MS dan M8 < 2 < MS ,
maka diperoleh:
•
•
M8 < 1 < MS ⇔ M8 − 1 < 0 < MS − 1
⇔ M8 − 1 < 0 dan MS − 1 > 0
Akibatnya, dengan menggunakan sifat perkalian bilangan positif dan negatif pasti menghasilkan
bilangan negatif dan rumus jumlah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat akan diperoleh:
(MS − 1)(M8 − 1) < 0 ⇔
MS M8 − (MS + M8 ) + 1 < 0
2K
K−5
K−4
J−I
J+I
J 0
Akibatnya, dengan menggunakan sifat perkalian bilangan positif dan negatif pasti menghasilkan
bilangan negatif dan rumus jumlah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat akan diperoleh:
(MS − 2)(M8 − 2) < 0 ⇔
MS M8 − 2(MS + M8 ) + 4 < 0
K−4
2K
K−5
⇔I
J− 2I
J+4I
J 0
⇔
36K − 80 > 0
20
⇔
K>
9
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari ketiga pertidaksamaan di atas, yaitu:
_K ∈ ‚|5 < K < 24a
Bimbel SIMAK–UI 2012 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8
9.
Misalkan fungsi Q: ‚ → ‚ dan ‡: ‚ → ‚ didefinisikan dengan Q(M) = 1 + dan ‡(M) = 1 − . Batas
p
p
nilai M dimana berlaku (Q ∘ ‡)(M) < (‡ ∘ Q)(M) adalah ....
A. −1 < M < 1
B. −1 < M < 0
C. 0 < M < 1
D. M < −1 atau M > 1
E. −1 < M < 0 atau 0 < M < 1
S
Pembahasan:
1
(Q ∘ ‡)(M) = Q I1 − J
M
1
=1+
1
A1 − F
M
1
1−
MŠ + ‰ 1 Š
=‰
1
1
1−
1
−
M
M
M−1
1
Š
=‰ M Š+‰
M−1
M−1
M
M
M−1
+1
= M
M−1
M
M−1 M
+
M
= M
M−1
M
M−1+M
M
=
×
M
M−1
2M − 1
=
M−1
Karena (Q ∘ ‡)(M) < (‡ ∘ Q)(M), maka:
S
1
(‡ ∘ Q)(M) = ‡ I1 + J
M
1
=1−
1
A1 + F
M
1
1+
MŠ − ‰ 1 Š
=‰
1
1
1+
1
+
M
M
M+1
1
Š
=‰ M Š−‰
M+1
M+1
M
M
M+1
−1
= M
M+1
M
M+1 M
−
M
= M
M+1
M
M+1−M
M
=
×
M
M+1
1
=
M+1
2M − 1
1
<
M−1
M+1
2M − 1
1
⇔
−