Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 Matematika IPA kode 521
Pembahasan Soal
SIMAK–UI 2012
SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA
Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Matematika IPA
Disusun Oleh :
Pak Anang
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Pembahasan Soal SIMAK–UI 2012
Matematika IPA Kode Soal 521
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-11 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Misalkan dan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:
−
+
+
−
− =
{
+
=
maka −
= ....
A. −
B. −
C. 0
D. 3
E. 6
Pembahasan:
Perhatikan bentuk sistem persamaan berikut:
−
+
+
−
−
= .....................(1)
+
= ...................................................................(2)
+
=
Persamaan (1) akan menjadi persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan
persamaan (2).
⇒
=
−
atau
=
atau
dari
−
Dengan mudah dilihat bahwa substitusi ke persamaan (1) lebih mudah daripada substitusi ,
karena tidak mengandung unsur pecahan.
Substitusi
−
=
+
−
ke persamaan (1) akan diperoleh:
+
−
−
=
⇒
⇔
⇔
⇔
⇒
⇔
−
−
−
+
+
+
Pembuat nol
−
−
−
+
+
−
+
−
+
⇔
Karena
dan
Sehingga, nilai
Jadi, nilai
adalah bilangan bulat, maka
yang memenuhi adalah
−
=
−
=
−
=
9
tidak memenuhi (TM).
= , sehingga
=
=
−
⇒
−
−
−
+ −
−
−
−
+
+ −
−
+
−
−
−
= atau −
��
�=
atau
�
��
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
LOGIKA PRAKTIS:
Apabila dan adalah bilangan bulat, maka kemungkinan nilai
−
adalah bilangan nol, atau
bilangan bulat ganjil. Jadi jelas jawaban A dan E bukan jawaban yang benar.
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 1
2.
Misalkan �
adalah ....
A. − +
B. − +
C.
−
D.
−
E.
+
=
+
−
+
−
−
. Maka sisa dari pembagian �
+
−
oleh
Pembahasan:
Fungsi �
�
+
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan dengan + , sehingga:
=
−
+
−
+
−
⇒ �
⇔�
+
+
Misal sisa pembagian dari � +
oleh
−
suku banyak bisa dirumuskan sebagai berikut:
�
+
=
∙ℎ
+
⇒ �
⇔�
+
+
=( +
= −
− ) +( +
+ + +
adalah
=
−
=⏟+
ℎ
− ) +(
+
− )
+ , maka menurut teorema pembagian
+
− ℎ
Substitusikan
pembuat nol
dari pembagi
yaitu
�=−
�=
+
+
+
Dengan mensubstitusikan pembuat nol dari fungsi pembagi, maka akan diperoleh persamaan:
=− ⇒�
=
⇒�
Padahal �
�
=
+
=
=� − +
�
=�
= − + ....................................... (1)
+
=
+ ............................................... (2)
−
=( −
Dengan mensubstitusi �
akan diperoleh:
− +
+
−
Substitusi
+
=
= −
=
=−
=
−
⇒
⇔
+
+
+
+
+
+
= − dan �
=
=
=
= −
=−
Jadi, sisa pembagian dari �
, sehingga:
− ) + −
ke persamaan
⇒
⇔
⇔
+
+
+( −
=
=
+ )= −
+ +
=
+ +
serta mengeliminasi
=− +
=−
pada persamaan (1) dan (2)
−
−
+
=
oleh
menghasilkan:
− adalah
− .
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ada di halaman berikutnya!
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 2
TRIK SUPERKILAT:
�
=
−
+
−
Jadi, sisa pembagian dari �
+
+
−
oleh
⇒ �
⇔�
⇔�
⇔�
⇔�
+
+
+
+
+
= −
=
−
= ⏟−
=
=
� � −
− adalah
−
−
+ + +
+
+ ⏟
−
+ − +
− .
−
� −
+ −
− +
−
−
− +
LOGIKA PRAKTIS
Soal tersebut bisa dikerjakan menggunakan pembagian ”porogapit”.
�
=
−
−
+
−
−
−
−
−
+
−
+
Jadi, sisa pembagian dari �
+
−
+
oleh
+
−
⇒ �
⇔�
+
+
=
=
− adalah
−
−
+
+
+
+
− .
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 3
3.
Nilai-nilai yang memenuhi
A. Semua bilangan riil
B.
− atau
C. −
D.
E.
| −
−
| adalah ....
− atau
atau
Pembahasan:
Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga mutlak, ingat lagi definisi nilai mutlak:
| −
|={
−
−
, untuk
−
, untuk
>
Jadi, kita harus memisah pertidaksamaan tersebut menjadi dua bentuk, yaitu:
Bentuk pertama,
Untuk
, maka:
−
−
⇒
⇔
⇔
−
> , maka:
−
+
⇔
Bentuk kedua,
Untuk
+
−
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
−
−
−
− +
− +
−
−
−
Jadi, karena penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah
pertidaksamaan tersebut adalah = semua bilangan riil.
atau
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, maka penyelesaian
Halaman 4
4.
Misalkan
dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat
− � −�−
+ � + = dan
kedua akar itu bilangan bulat dengan � konstan. Jika , �, merupakan 3 suku pertama barisan
geometri, maka jumlah suku pertama dari barisan tersebut adalah ....
A. − −
+
−
B. −
+
−
C.
D. − −
E.
−
−
−
Pembahasan:
Akar-akar persamaan kuadrat
− � −�−
adalah bilangan bulat serta � konstan.
= ,
=− � −�−
, =
�+
+
�+
=
adalah
dan
dimana
,
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh:
=
⇒
�+
=
⇔
=
�+
……….
Dengan memandang bahwa , �, adalah 3 suku pertama barisan geometri, maka kuadrat suku
tengah adalah perkalian dari suku pertama dan suku terakhir, sehingga diperoleh:
� =
……….
Dengan mensubstitusi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
� = �+
⇒
⇔
� − �− =
�+
�− =
Pembuat nol
⇔ � − = atau � + =
⇔
� = atau � = −
Kasus pertama,
Jika � = , maka:
+
+ =
⇒
−
+
=
Kok sepertinya tidak bisa difaktorkan ya?
Mari kita periksa diskriminannya!
−
=
=
−
=
> dan bukan bilangan kuadrat
Sehingga akar-akarnya bukan bil. bulat
−
−
−
Berarti untuk kasus pertama ini tidak memenuhi syarat
Kasus kedua,
Jika � = − , maka:
⇒
⇔
⇔
−
−
− −
−
+
−
−
+
+
−
=
,
adalah bilangan bulat.
=
=
=
=
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5
,
Sehingga, substitusi
� =
pada persamaan (2) akan menghasilkan:
⇒
� =
⇔
� =
⇔
� − =
⇔ �+
�− =
⇔ � = − atau � =
Dengan mudah kita memilih � = − sebagai pilihan yang tepat, mengingat di semua opsi jawaban
mengandung unsur −
Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah , − , , − , …
Hal ini berarti bahwa suku pertama
Jadi, jumlah
=
=
dan rasio barisan = − .
suku pertama barisan geometri tersebut adalah:
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=−
−
+
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6
5.
Dalam segitiga
A. ( + ⃗ )
6
B. ( + ⃗ )
, ⃗⃗⃗⃗⃗ = , ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ . Jika titik
adalah titik berat segitiga
maka ⃗⃗⃗⃗⃗ = ....
( + ⃗)
( + ⃗)
C.
D.
( + ⃗)
E.
Pembahasan:
Misalkan titik adalah titik tengah garis ⃗⃗⃗⃗⃗ , sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah salah satu garis berat segitiga. Dan
titik adalah titik berat segitiga, yaitu titik perpotongan semua garis berat segitiga.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
A
A
G
B
Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ =
D
G
C
B
D
C
dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ , maka:
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ⃗
Sehingga,
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ =
+
=
−
=
( + ⃗)
=
Perhatikan bahwa titik
+ (− + ⃗ )
+
⃗
⃗
membagi ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ ⃗⃗⃗⃗⃗ =
( + ⃗) = ( + ⃗)
∶ , sehingga:
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7
6.
, diketahui sudut , , berhadapan dengan sisi , , . Jika
Dalam segitiga
A.
B.
i
c
−
c
C.
a
D.
a
E.
a
i
i
a
c
> maka
−
+
= ....
−
−
−
−
Pembahasan:
C
Perhatikan gambar di samping!
Pada ∆
, berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya
merupakan dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga,
yaitu:
sin
=
=
sin
sin
=
A
B
Dari aturan sinus bisa diperoleh kesamaan berikut:
sin
=
⇒
=
sin
Sehingga, substitusikan
=
sin −
sin
sin +
sin
sin − sin
=
sin + sin
sin − sin
=
sin + sin
−
=
+
=
=
cos
sin
cos
sin
+
+
+
+
= cot
+
= cot
°−
tan
−
= cot
= tan
=
cot
°−
sin
dan
dan =
sin
−
sin
−
∙ tan
−
∙
∙ tan
cos
sin
=
⇒
=
sin
sin ke persamaan pada soal,
−
cos
−
∙ tan
∙ tan
−
−
−
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8
7.
Jika sin
csc −
adalah ....
A. √ − −
B. −√ − −
C. −√ + −
D. −
E.
− sin + sin
− sin
+ … = , dengan
�
<
�, maka nilai dari cos
√ − �−
√ + �−
Pembahasan:
Perhatikan!
sin
⏟csc
−
�
�
��
c c − =c
⇒
⇔
�
�
�
sin
sin
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
�
⏟ − sin + sin
− sin
�
Karena <
�
=
�∞ =
− sin
�
−
∙ cot
∙
+ … =
� ℎ� ��
=− i
∙(
cos
sin
∙(
cos
∙(
− sin
∙(
+ sin
∙(
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
− sin
−
)=
)=
)=
)=
)=
=
= sin
� berarti berada di kuadran II, artinya nilai cos negatif.
Sehingga, bentuk cos dapat diperoleh dari sin dengan menggunakan identitas trigonometri:
cos
+ sin
=
⇒ cos = − sin
⇔ cos = −√ − sin
= −√ −
= −√ −
−
−
ingat di kuadran II maka cos bernilai negatif
ingat
−
=
−
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9
8.
lim
�→−∞
A. −∞
B. −
C.
D.
E. ∞
−√
+
= ....
Pembahasan:
Ingat bentuk limit tak hingga bentuk ∞ − ∞ adalah salah satu limit bentuk tak tentu.
Sekarang periksa nilai limit berikut dengan mensubstitusikan nilai
dahulu, apakah menghasilkan sebuah limit bentuk tak tentu?
lim
�→−∞
−√
+
=
−∞ − √ −∞
= −∞ − √∞
= −∞ − ∞
= −∞
pada fungsi limit terlebih
+
Karena nilai limit tidak menyebabkan limit menjadi limit bentuk tak tentu, maka nilai limit tersebut
adalah −∞.
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10
9.
Diberikan �
= sin . Jika � ′
lim ℎ {� ′ + − � ′ } = ....
ℎ
menyatakan turunan pertama dari �
ℎ→∞
A. sin
B. – cos
C. cos
D. sin
E. − cos
, maka
Pembahasan:
Perhatikan bentuk limit pada soal!
lim ℎ {� ′ ( + ) − � ′
ℎ
ℎ→∞
⇒ lim
→
ℎ ∞
⇔ lim
ℎ
→
ℎ
{� ′ ( + ) − � ′
ℎ
{� ′
+
⇔ � ′′
ℎ
ℎ
− �′
ingat ℎ → ∞ ⇔
}
}
(ingat
}
∞
= )
ℎ
=
∞
dan ℎ =
(Bukankah ini identik dengan lim
ℎ→
ℎ
{�
+ℎ −�
ℎ
Sehingga penyelesaian limit tersebut adalah turunan kedua dari fungsi �
}
= �′
)
.
Jadi,
�
= sin
⇒ lim ℎ {� ′ ( + ) − � ′
ℎ→∞
ℎ
} = � ′′
=
=
=
= sin
⇒ �
⇒ �′
⇒ � ′′
sin cos
sin cos
= ∙ (cos cos + sin
= ∙ cos − sin
= cos
TRIK SUPERKILAT:
�
∙
sin
=
− sin
)
− cos
= − sin
= cos
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11
10.
Jika diketahui garis singgung parabola =
+
+ , pada titik = − membentuk sudut
terhadap sumbu sebesar arctan . Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus = − −
dan
parabola tersebut adalah ....
A.
B.
C.
D.
E. ∞
Pembahasan:
Gradien garis singgung parabola =
+
+ pada titik
turunan pertama dari kurva pada titik tersebut, sehingga:
�
=
+
⇒ �′
+
=
+
⇒
⇔
⇔
bisa diperoleh dari nilai
= �′ −
= − +
=− +
................. (1)
Garis singgung tersebut membentuk sudut terhadap sumbu
� = arctan
=−
⇒ tan � =
sebesar arctan
, sehingga:
Padahal gradien garis singgung dari sebuah kurva juga merupakan nilai dari tan �, dimana � adalah
sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu , sehingga diperoleh:
= tan � ⇒
=
............................................................................................. (2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) akan diperoleh:
−
+
=
⇒
⇔
=
=
+
Jadi, dengan mensubstitusi nilai
=
+
+
=
, maka persamaan parabola tersebut adalah:
Sehingga, untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh =
+
=− −
maka gunakan rumus cepat TRIK SUPERKILAT berikut:
Luas daerah yang hanya dibatasi kurva dan garis lurus adalah:
�=
dimana,
dan sebuah garis lurus,
√
=
−
.
adalah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat
mensubstitusi persamaan garis ke persamaan kurva.
Jadi, substitusi
⇔
⇔
⇔
+
−
−
Sehingga, nilai
=
−
=−
=
=
=
=⏟
−
adalah:
⇒
+
+
yang diperoleh dengan
pada kurva, akan diperoleh:
+
+
+
+ − − −
+
+ +
+
+⏟ +⏟
−
−
=
=
=
Jadi, luas daerah tersebut adalah:
�=
√
=
√
=
∙
∙
=
=
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12
11.
Diberikan bidang empat
=
= √ cm, dan
�
A.
B.
C.
D.
E.
6
�
.
=
dengan
tegaklurus
dan
cm, maka sudut antara bidang
tegaklurus bidang
. Jika
dan
sama dengan ....
�
�
�
Pembahasan:
Perhatikan bidang segiempat .
⊥
,
=
cm
=
di samping!
⊥ bidang
= √ cm
Maka besar sudut antara bidang
dan
dapat
ditentukan dengan membuat menentukan titik potong
kedua bidang terlebih dulu.
Ternyata garis potong kedua bidang tersebut adalah
terletak pada ruas garis
.
Sudut antara bidang bidang
dan
adalah
sudut yang dibentuk oleh dua garis pada masingmasing bidang yang tegak lurus dengan garis potong,
Misal
adalah titik tengah
, maka sudut antara
bidang bidang
dan
adalah sudut yang
dibentuk oleh ruas garis
dengan ruas garis
.
Jadi,
= ∠ bidang
, bidang
=∠
,
Perhatikan bidang alas
yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Apabila bidang alas kita
perluas sehingga menjadi sebuah persegi
, sehingga
adalah salah satu diagonal persegi.
=√
= √( √ ) + ( √ ) = √
+
Dan dengan mudah kita mengetahui bahwa:
=
=
⇒
=
⇔
=
=
=
=
+
=√
=
=
=
Jadi, besar sudut dengan mudah ditentukan dari nilai tangen sudut , dimana nilai tangen sudut
adalah perbandingan antara ruas garis
dengan ruas garis
:
tan
=
⇒ tan
⇔ tan
⇔
⇔
⇔
=
=
= arctan
= °
�
=
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13
PETUNJUK C: Untuk soal nomor 12
12.
Persamaan kuadrat
−
+ +
= akar-akarnya
dan
dengan
Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara dan adalah ....
(1) =
(2) =
(3) = +
(4)
=
=
+
.
Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat maka dari
persamaan kuadrat −
+ +
= akan diperoleh:
+
=−
=
Sehingga
=
⇒
⇔
=
⇒
⇔
+
+
+
+
=
=
+
=−
=
−
+
+
bisa dinyatakan menjadi:
⇒
⇔
⇔
⇔
+
−
+
−
+
−
−
Pembuat nol
⇒ −
= atau
−
⇔
=
atau
Sehingga diperoleh hubungan antara
dan , yaitu
=
=
=
=
=
=
=
atau
=
Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam
menghadapi SIMAK-UI, UM STIS, SBMPTN, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI,
SNMPTN, UM STIS, UMB PTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi
http://pak-anang.blogspot.com.
Terimakasih,
Pak Anang.
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14
SIMAK–UI 2012
SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA
Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
Matematika IPA
Disusun Oleh :
Pak Anang
Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Pembahasan Soal SIMAK–UI 2012
Matematika IPA Kode Soal 521
By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-11 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.
1.
Misalkan dan bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:
−
+
+
−
− =
{
+
=
maka −
= ....
A. −
B. −
C. 0
D. 3
E. 6
Pembahasan:
Perhatikan bentuk sistem persamaan berikut:
−
+
+
−
−
= .....................(1)
+
= ...................................................................(2)
+
=
Persamaan (1) akan menjadi persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan
persamaan (2).
⇒
=
−
atau
=
atau
dari
−
Dengan mudah dilihat bahwa substitusi ke persamaan (1) lebih mudah daripada substitusi ,
karena tidak mengandung unsur pecahan.
Substitusi
−
=
+
−
ke persamaan (1) akan diperoleh:
+
−
−
=
⇒
⇔
⇔
⇔
⇒
⇔
−
−
−
+
+
+
Pembuat nol
−
−
−
+
+
−
+
−
+
⇔
Karena
dan
Sehingga, nilai
Jadi, nilai
adalah bilangan bulat, maka
yang memenuhi adalah
−
=
−
=
−
=
9
tidak memenuhi (TM).
= , sehingga
=
=
−
⇒
−
−
−
+ −
−
−
−
+
+ −
−
+
−
−
−
= atau −
��
�=
atau
�
��
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
LOGIKA PRAKTIS:
Apabila dan adalah bilangan bulat, maka kemungkinan nilai
−
adalah bilangan nol, atau
bilangan bulat ganjil. Jadi jelas jawaban A dan E bukan jawaban yang benar.
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 1
2.
Misalkan �
adalah ....
A. − +
B. − +
C.
−
D.
−
E.
+
=
+
−
+
−
−
. Maka sisa dari pembagian �
+
−
oleh
Pembahasan:
Fungsi �
�
+
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan dengan + , sehingga:
=
−
+
−
+
−
⇒ �
⇔�
+
+
Misal sisa pembagian dari � +
oleh
−
suku banyak bisa dirumuskan sebagai berikut:
�
+
=
∙ℎ
+
⇒ �
⇔�
+
+
=( +
= −
− ) +( +
+ + +
adalah
=
−
=⏟+
ℎ
− ) +(
+
− )
+ , maka menurut teorema pembagian
+
− ℎ
Substitusikan
pembuat nol
dari pembagi
yaitu
�=−
�=
+
+
+
Dengan mensubstitusikan pembuat nol dari fungsi pembagi, maka akan diperoleh persamaan:
=− ⇒�
=
⇒�
Padahal �
�
=
+
=
=� − +
�
=�
= − + ....................................... (1)
+
=
+ ............................................... (2)
−
=( −
Dengan mensubstitusi �
akan diperoleh:
− +
+
−
Substitusi
+
=
= −
=
=−
=
−
⇒
⇔
+
+
+
+
+
+
= − dan �
=
=
=
= −
=−
Jadi, sisa pembagian dari �
, sehingga:
− ) + −
ke persamaan
⇒
⇔
⇔
+
+
+( −
=
=
+ )= −
+ +
=
+ +
serta mengeliminasi
=− +
=−
pada persamaan (1) dan (2)
−
−
+
=
oleh
menghasilkan:
− adalah
− .
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ada di halaman berikutnya!
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 2
TRIK SUPERKILAT:
�
=
−
+
−
Jadi, sisa pembagian dari �
+
+
−
oleh
⇒ �
⇔�
⇔�
⇔�
⇔�
+
+
+
+
+
= −
=
−
= ⏟−
=
=
� � −
− adalah
−
−
+ + +
+
+ ⏟
−
+ − +
− .
−
� −
+ −
− +
−
−
− +
LOGIKA PRAKTIS
Soal tersebut bisa dikerjakan menggunakan pembagian ”porogapit”.
�
=
−
−
+
−
−
−
−
−
+
−
+
Jadi, sisa pembagian dari �
+
−
+
oleh
+
−
⇒ �
⇔�
+
+
=
=
− adalah
−
−
+
+
+
+
− .
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 3
3.
Nilai-nilai yang memenuhi
A. Semua bilangan riil
B.
− atau
C. −
D.
E.
| −
−
| adalah ....
− atau
atau
Pembahasan:
Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga mutlak, ingat lagi definisi nilai mutlak:
| −
|={
−
−
, untuk
−
, untuk
>
Jadi, kita harus memisah pertidaksamaan tersebut menjadi dua bentuk, yaitu:
Bentuk pertama,
Untuk
, maka:
−
−
⇒
⇔
⇔
−
> , maka:
−
+
⇔
Bentuk kedua,
Untuk
+
−
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
−
−
−
− +
− +
−
−
−
Jadi, karena penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah
pertidaksamaan tersebut adalah = semua bilangan riil.
atau
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
, maka penyelesaian
Halaman 4
4.
Misalkan
dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat
− � −�−
+ � + = dan
kedua akar itu bilangan bulat dengan � konstan. Jika , �, merupakan 3 suku pertama barisan
geometri, maka jumlah suku pertama dari barisan tersebut adalah ....
A. − −
+
−
B. −
+
−
C.
D. − −
E.
−
−
−
Pembahasan:
Akar-akar persamaan kuadrat
− � −�−
adalah bilangan bulat serta � konstan.
= ,
=− � −�−
, =
�+
+
�+
=
adalah
dan
dimana
,
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh:
=
⇒
�+
=
⇔
=
�+
……….
Dengan memandang bahwa , �, adalah 3 suku pertama barisan geometri, maka kuadrat suku
tengah adalah perkalian dari suku pertama dan suku terakhir, sehingga diperoleh:
� =
……….
Dengan mensubstitusi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
� = �+
⇒
⇔
� − �− =
�+
�− =
Pembuat nol
⇔ � − = atau � + =
⇔
� = atau � = −
Kasus pertama,
Jika � = , maka:
+
+ =
⇒
−
+
=
Kok sepertinya tidak bisa difaktorkan ya?
Mari kita periksa diskriminannya!
−
=
=
−
=
> dan bukan bilangan kuadrat
Sehingga akar-akarnya bukan bil. bulat
−
−
−
Berarti untuk kasus pertama ini tidak memenuhi syarat
Kasus kedua,
Jika � = − , maka:
⇒
⇔
⇔
−
−
− −
−
+
−
−
+
+
−
=
,
adalah bilangan bulat.
=
=
=
=
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 5
,
Sehingga, substitusi
� =
pada persamaan (2) akan menghasilkan:
⇒
� =
⇔
� =
⇔
� − =
⇔ �+
�− =
⇔ � = − atau � =
Dengan mudah kita memilih � = − sebagai pilihan yang tepat, mengingat di semua opsi jawaban
mengandung unsur −
Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah , − , , − , …
Hal ini berarti bahwa suku pertama
Jadi, jumlah
=
=
dan rasio barisan = − .
suku pertama barisan geometri tersebut adalah:
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=−
−
+
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 6
5.
Dalam segitiga
A. ( + ⃗ )
6
B. ( + ⃗ )
, ⃗⃗⃗⃗⃗ = , ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ . Jika titik
adalah titik berat segitiga
maka ⃗⃗⃗⃗⃗ = ....
( + ⃗)
( + ⃗)
C.
D.
( + ⃗)
E.
Pembahasan:
Misalkan titik adalah titik tengah garis ⃗⃗⃗⃗⃗ , sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah salah satu garis berat segitiga. Dan
titik adalah titik berat segitiga, yaitu titik perpotongan semua garis berat segitiga.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
A
A
G
B
Jika ⃗⃗⃗⃗⃗ =
D
G
C
B
D
C
dan ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ , maka:
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = − + ⃗
Sehingga,
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ =
+
=
−
=
( + ⃗)
=
Perhatikan bahwa titik
+ (− + ⃗ )
+
⃗
⃗
membagi ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ ⃗⃗⃗⃗⃗ =
( + ⃗) = ( + ⃗)
∶ , sehingga:
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 7
6.
, diketahui sudut , , berhadapan dengan sisi , , . Jika
Dalam segitiga
A.
B.
i
c
−
c
C.
a
D.
a
E.
a
i
i
a
c
> maka
−
+
= ....
−
−
−
−
Pembahasan:
C
Perhatikan gambar di samping!
Pada ∆
, berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya
merupakan dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga,
yaitu:
sin
=
=
sin
sin
=
A
B
Dari aturan sinus bisa diperoleh kesamaan berikut:
sin
=
⇒
=
sin
Sehingga, substitusikan
=
sin −
sin
sin +
sin
sin − sin
=
sin + sin
sin − sin
=
sin + sin
−
=
+
=
=
cos
sin
cos
sin
+
+
+
+
= cot
+
= cot
°−
tan
−
= cot
= tan
=
cot
°−
sin
dan
dan =
sin
−
sin
−
∙ tan
−
∙
∙ tan
cos
sin
=
⇒
=
sin
sin ke persamaan pada soal,
−
cos
−
∙ tan
∙ tan
−
−
−
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 8
7.
Jika sin
csc −
adalah ....
A. √ − −
B. −√ − −
C. −√ + −
D. −
E.
− sin + sin
− sin
+ … = , dengan
�
<
�, maka nilai dari cos
√ − �−
√ + �−
Pembahasan:
Perhatikan!
sin
⏟csc
−
�
�
��
c c − =c
⇒
⇔
�
�
�
sin
sin
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
�
⏟ − sin + sin
− sin
�
Karena <
�
=
�∞ =
− sin
�
−
∙ cot
∙
+ … =
� ℎ� ��
=− i
∙(
cos
sin
∙(
cos
∙(
− sin
∙(
+ sin
∙(
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
− sin
−
)=
)=
)=
)=
)=
=
= sin
� berarti berada di kuadran II, artinya nilai cos negatif.
Sehingga, bentuk cos dapat diperoleh dari sin dengan menggunakan identitas trigonometri:
cos
+ sin
=
⇒ cos = − sin
⇔ cos = −√ − sin
= −√ −
= −√ −
−
−
ingat di kuadran II maka cos bernilai negatif
ingat
−
=
−
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 9
8.
lim
�→−∞
A. −∞
B. −
C.
D.
E. ∞
−√
+
= ....
Pembahasan:
Ingat bentuk limit tak hingga bentuk ∞ − ∞ adalah salah satu limit bentuk tak tentu.
Sekarang periksa nilai limit berikut dengan mensubstitusikan nilai
dahulu, apakah menghasilkan sebuah limit bentuk tak tentu?
lim
�→−∞
−√
+
=
−∞ − √ −∞
= −∞ − √∞
= −∞ − ∞
= −∞
pada fungsi limit terlebih
+
Karena nilai limit tidak menyebabkan limit menjadi limit bentuk tak tentu, maka nilai limit tersebut
adalah −∞.
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 10
9.
Diberikan �
= sin . Jika � ′
lim ℎ {� ′ + − � ′ } = ....
ℎ
menyatakan turunan pertama dari �
ℎ→∞
A. sin
B. – cos
C. cos
D. sin
E. − cos
, maka
Pembahasan:
Perhatikan bentuk limit pada soal!
lim ℎ {� ′ ( + ) − � ′
ℎ
ℎ→∞
⇒ lim
→
ℎ ∞
⇔ lim
ℎ
→
ℎ
{� ′ ( + ) − � ′
ℎ
{� ′
+
⇔ � ′′
ℎ
ℎ
− �′
ingat ℎ → ∞ ⇔
}
}
(ingat
}
∞
= )
ℎ
=
∞
dan ℎ =
(Bukankah ini identik dengan lim
ℎ→
ℎ
{�
+ℎ −�
ℎ
Sehingga penyelesaian limit tersebut adalah turunan kedua dari fungsi �
}
= �′
)
.
Jadi,
�
= sin
⇒ lim ℎ {� ′ ( + ) − � ′
ℎ→∞
ℎ
} = � ′′
=
=
=
= sin
⇒ �
⇒ �′
⇒ � ′′
sin cos
sin cos
= ∙ (cos cos + sin
= ∙ cos − sin
= cos
TRIK SUPERKILAT:
�
∙
sin
=
− sin
)
− cos
= − sin
= cos
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 11
10.
Jika diketahui garis singgung parabola =
+
+ , pada titik = − membentuk sudut
terhadap sumbu sebesar arctan . Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus = − −
dan
parabola tersebut adalah ....
A.
B.
C.
D.
E. ∞
Pembahasan:
Gradien garis singgung parabola =
+
+ pada titik
turunan pertama dari kurva pada titik tersebut, sehingga:
�
=
+
⇒ �′
+
=
+
⇒
⇔
⇔
bisa diperoleh dari nilai
= �′ −
= − +
=− +
................. (1)
Garis singgung tersebut membentuk sudut terhadap sumbu
� = arctan
=−
⇒ tan � =
sebesar arctan
, sehingga:
Padahal gradien garis singgung dari sebuah kurva juga merupakan nilai dari tan �, dimana � adalah
sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu , sehingga diperoleh:
= tan � ⇒
=
............................................................................................. (2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) akan diperoleh:
−
+
=
⇒
⇔
=
=
+
Jadi, dengan mensubstitusi nilai
=
+
+
=
, maka persamaan parabola tersebut adalah:
Sehingga, untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh =
+
=− −
maka gunakan rumus cepat TRIK SUPERKILAT berikut:
Luas daerah yang hanya dibatasi kurva dan garis lurus adalah:
�=
dimana,
dan sebuah garis lurus,
√
=
−
.
adalah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat
mensubstitusi persamaan garis ke persamaan kurva.
Jadi, substitusi
⇔
⇔
⇔
+
−
−
Sehingga, nilai
=
−
=−
=
=
=
=⏟
−
adalah:
⇒
+
+
yang diperoleh dengan
pada kurva, akan diperoleh:
+
+
+
+ − − −
+
+ +
+
+⏟ +⏟
−
−
=
=
=
Jadi, luas daerah tersebut adalah:
�=
√
=
√
=
∙
∙
=
=
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 12
11.
Diberikan bidang empat
=
= √ cm, dan
�
A.
B.
C.
D.
E.
6
�
.
=
dengan
tegaklurus
dan
cm, maka sudut antara bidang
tegaklurus bidang
. Jika
dan
sama dengan ....
�
�
�
Pembahasan:
Perhatikan bidang segiempat .
⊥
,
=
cm
=
di samping!
⊥ bidang
= √ cm
Maka besar sudut antara bidang
dan
dapat
ditentukan dengan membuat menentukan titik potong
kedua bidang terlebih dulu.
Ternyata garis potong kedua bidang tersebut adalah
terletak pada ruas garis
.
Sudut antara bidang bidang
dan
adalah
sudut yang dibentuk oleh dua garis pada masingmasing bidang yang tegak lurus dengan garis potong,
Misal
adalah titik tengah
, maka sudut antara
bidang bidang
dan
adalah sudut yang
dibentuk oleh ruas garis
dengan ruas garis
.
Jadi,
= ∠ bidang
, bidang
=∠
,
Perhatikan bidang alas
yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Apabila bidang alas kita
perluas sehingga menjadi sebuah persegi
, sehingga
adalah salah satu diagonal persegi.
=√
= √( √ ) + ( √ ) = √
+
Dan dengan mudah kita mengetahui bahwa:
=
=
⇒
=
⇔
=
=
=
=
+
=√
=
=
=
Jadi, besar sudut dengan mudah ditentukan dari nilai tangen sudut , dimana nilai tangen sudut
adalah perbandingan antara ruas garis
dengan ruas garis
:
tan
=
⇒ tan
⇔ tan
⇔
⇔
⇔
=
=
= arctan
= °
�
=
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 13
PETUNJUK C: Untuk soal nomor 12
12.
Persamaan kuadrat
−
+ +
= akar-akarnya
dan
dengan
Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara dan adalah ....
(1) =
(2) =
(3) = +
(4)
=
=
+
.
Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat maka dari
persamaan kuadrat −
+ +
= akan diperoleh:
+
=−
=
Sehingga
=
⇒
⇔
=
⇒
⇔
+
+
+
+
=
=
+
=−
=
−
+
+
bisa dinyatakan menjadi:
⇒
⇔
⇔
⇔
+
−
+
−
+
−
−
Pembuat nol
⇒ −
= atau
−
⇔
=
atau
Sehingga diperoleh hubungan antara
dan , yaitu
=
=
=
=
=
=
=
atau
=
Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam
menghadapi SIMAK-UI, UM STIS, SBMPTN, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI,
SNMPTN, UM STIS, UMB PTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi
http://pak-anang.blogspot.com.
Terimakasih,
Pak Anang.
Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 14