Modul Matematika SMP Program BERMUTU
Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Datar Kelas VIII dan IX di SMP
13
Ada banyak bukti untuk Teorema Pythagoras, bahkan sebuah buku klasik pernah memuat lebih dari 350 macam bukti. Dari ratusan bukti yang telah
diperoleh orang, banyak pula yang sesuai untuk dipergunakan dalam pembelajaran di SMP. Berikut ini beberapa bukti yang cukup relevan.
Beberapa bukti Teorema Pythagoras berikut diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis.
a. Bukti diagram proof without words
Bukti dari Pythagoras berupa bukti dengan diagram dan termasuk salah satu bukti yang mudah untuk dipahami. Bukti dengan diagram kadang dapat
dipahami tanpa menyertakan tulisan apapun sehingga sering disebut ”bukti tanpa kata-kata” proof without words.
Bukti dapat dipahami dengan hanya melihat dan mencermati diagram. Berikut bukti dari Pythagoras atau Perguruan Pythagoras.
Gambar 2.3
Keempat segitiga siku-siku pada persegi Gambar 2.3 i dan ii mempunyai ukuran panjang sisi maupun sudutnya berpasang-pasangan sama segitiga-
segitiga itu dinamakan kongruen Dengan demikian, luas daerah yang tidak ditutupi oleh keempat segitiga siku-siku itu yang tidak diarsir haruslah
i ii
b
a c
a
a b
b a
b c
c c
b
a b
b a
b a
a
Modul Matematika SMP Program BERMUTU
Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Datar Kelas VIII dan IX di SMP
14
Gambar 2.4 c
b a
A B
C D
P Q
R S
sama. Pada persegi Gambar 2.3 i yang tidak terarsir luasnya c
2
dan kedua persegi pada Gambar 2.3 ii jumlah luasnya a
2
+ b
2
. Jadi, a
2
+ b
2
= c
2
.
b. Bukti dengan menggunakan rumus luas
Bukti I:
Dengan menggunakan diagram persegi pada Gambar 2.3 i pada diagram bukti sebelumnya, kita pun dapat menurunkan Teorema Pythagoras, sebagai
berikut: Pandang diagram persegi Gambar 2.3 i:
Luas persegi: Karena panjang sisinya a + b maka a + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
…. 1 Luas persegi: Karena terdiri dari persegi dengan panjang sisi c dan 4 segitiga
siku-siku maka c
2
+ 4.
2 ab
= c
2
+ 2ab …. 2
Dari 1 dan 2 diperoleh a
2
+ 2ab + b
2
= c
2
+ 2ab yang dapat disederhanakan lagi menjadi:
a
2
+ b
2
= c
2
terbukti.
Bukti II: Dari Bhaskara matematikawan India, sekitar abad X.
Perhatikan Gambar 2.4. Bangun ABCD di bawah berupa persegi dengan panjang sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan
panjang sisi a dan b. Dapat pula dipikirkan terdapat empat segitiga siku- siku kongruen yang disusun membentuk persegi ABCD.
Dengan konstruksi bangun tersebut maka: Luas PQRS + 4 × luas ABQ = luas ABCD
⇔ b – a
2
+ 4 ×
2 1
. ab = c
2
⇔ b
2
– 2ab + a
2
+ 2ab = c
2
⇔ a
2
+ b
2
= c
2
. terbukti
Modul Matematika SMP Program BERMUTU
Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Datar Kelas VIII dan IX di SMP
15 Bukti III: Dari J.A. Garfield tahun 1876.
Perhatikan Gambar 2.5. Luas daerah trapesium dapat dihitung dengan dua cara sehingga kita dapat membuktikan Teorema Pythagoras
seperti di bawah ini.
Luas trapesium =
2 1
panjang sisi alas + atas × tinggi =
2 1
a + b × a + b. Di lain pihak, luas trapesium = 2.
2 1
ab +
2 1
c
2
Jadi
2 1
a + b. a + b = 2.
2 1
ab +
2 1
c
2
⇔ a
2
+ 2ab + b
2
= 2ab + c
2
⇔ a
2
+ b
2
= c
2
. terbukti
c. Bukti dengan pemotongan dissection method termasuk proof without
