Periode Tim
I II III IV V VI
a -b c
— b -c — b a
— -c -a — c c
— -a b — a -b
3.3 Penyelesaian Masalah Penjadwalan
Pertandingan Sepak Bola
Ada tiga langkah untuk menyelesaikan masalah penjadwalan pertandingan tersebut.
• Langkah 1: Penentuan pola dan himpunan pola.
Pola i terdiri atas H, A, B. Misalkan P adalah himpunan pola i yang mungkin terjadi,
sedangkan Q adalah himpunan pola i yang terpilih dan T adalah himpunan periode waktu
k . Berikut ini didefinisikan beberapa variabel
indeks yang bernilai 0 atau 1 Indeks dari pola yang diperoleh dari
Indeks dari tim yang bermain sebagai H dalam pola pada periode
Indeks dari tim yang bermain sebagai A dalam pola pada periode
i ik
ik i
x i
Q h
i k
a i
k b
= =
= = Indeks dari pola yang tidak dipilih
Banyaknya pola yang memuat H atau A i
n =
dengan
1 ;
jika pola ada dalam 0 ;
jika selainnya,
i
i Q
x
⎧⎪ = ⎨
⎪⎩ 1
; jika pola memuat H pada periode
0 ; jika selainnya,
ik
i k
h ⎧⎪
= ⎨ ⎪⎩
1 ;
jika pola memuat A pada periode 0 ;
jika selainnya,
ik
i k
a ⎧⎪
= ⎨ ⎪⎩
1 ;
jika pola tidak dipilih 0 ;
jika selainnya.
i
i b
⎧⎪ = ⎨
⎪⎩
Berdasarkan ilustrasi penyusunan jadwal pertandingan dengan peserta sebanyak 4 tim
yang berlangsung selama 3 minggu atau setengah kompetisi pada Subbab 3.1 diperoleh
{ }
1, 2,...,8 P
=
Misalkan dipilih pola pertandingan yang memenuhi kriteria sebagai berikut:
HHA, AHH, HAH, AAH, maka
{ }
1, 2, 3, 4 .
Q
= Karena pola HHH tidak termasuk di dalam
pola yang terpilih, yaitu
5 Q
∉
, maka
5
x
= atau dikatakan pola HHH sebagai pola yang tidak dipilih
5
1
b
= . Sedangkan untuk pola HAH termasuk pola yang terpilih, yaitu
3 ,
Q
∈ maka
3
1.
x
= Fungsi objektif dari permasalahan tersebut
adalah: minimumkan
1 i
i i P
J b x
∈
=
∑
Fungsi objektif tersebut menjelaskan bahwa hal yang akan diminimumkan adalah
indeks pola yang tidak dipilih
i
b
dan indeks dari pola
i
x
yang diperoleh, dengan pola
. i
P ∈
Untuk solusi optimum, fungsi objektif tersebut selalu bernilai nol karena batas
minimumnya tidak pernah negatif. Kendala-kendalanya adalah:
1. Pola yang memuat H sebanyak n pola
banyaknya pola adalah setengah dari banyaknya pola yang terpilih atau untuk
kasus banyaknya pola adalah ganjil maka banyaknya pola adalah setengah dari pola
yang terpilih dikurangi satu untuk setiap periode waktu yang memenuhi kendala
berikut ini
; .
ik i i P
h x n
k T
∈
= ∀ ∈
∑
2. Pola yang memuat A sebanyak n pola
banyaknya pola adalah setengah dari banyaknya pola yang terpilih atau untuk
kasus banyaknya pola adalah ganjil maka banyaknya pola adalah setengah dari pola
yang terpilih dikurangi satu untuk setiap periode waktu yang memenuhi kendala
berikut ini
; .
ik i i P
a x n
k T
∈
= ∀ ∈
∑
3. Variabel keputusan bernilai 0 atau 1, yaitu
{ }
0,1 ; .
i
x i
P ∈
∀ ∈
• Langkah 2: Penentuan tabel waktu. Pada langkah ini akan ditentukan
pertandingan berdasarkan pola tersebut, akan tetapi belum ditentukan timnya. Hasil dari
langkah ini disebut tabel waktu. Pemodelan untuk masalah tersebut dibuat berdasarkan
banyaknya tim dan periode waktu. Misalkan l adalah periode waktu yang merupakan
pencerminan dari periode waktu k. Berikut ini didefinisikan variabel indeks yang bernilai 0
atau 1, yaitu:
ijk
x = Indeks pertandingan tim i dengan tim j
pada periode waktu k dengan
jika tim bertanding dengan 1
; tim pada periode waktu
0 ; jika selainnya
ijk
i j
k
x
⎧ ⎪
= ⎨ ⎪
⎩
Fungsi objektif dari permasalahan tersebut adalah:
minimumkan
2 , ,
ijk i j k
J x
=
∑
Fungsi objektif tersebut menjelaskan bahwa hal yang akan diminimumkan adalah
banyaknya pertandingan. Indeks i dan j didefinisikan sebagai tim, sedangkan k adalah
periode waktu. Kendala-kendalanya adalah:
1.
Setiap tim harus bertanding dengan tim lain
, ,
1 ; ;
.
ijk i j k
x i
j k
T =
≠ ∀ ∈
∑
2. Setiap pasangan tim bertanding satu kali
untuk setiap periode waktu yang memenuhi kendala berikut ini
, , , ,
1; .
ijk jik
i j k i j k
x x
k T +
≤ ∀ ∈
∑ ∑
3. Adanya aturan mirror
; , , , , ,
ijk jil
x x
i j k j i l
= ∀
∀ dengan k dan l memenuhi aturan mirror
yaitu dua periode yang saling bercerminan.
4. Variabel keputusan bernilai 0 atau 1, yaitu
{ }
0,1 ; , , .
ijk
x i j k
∈ ∀
Maka tabel waktu untuk setengah kompetisi akan diperoleh setelah masalah ILP tersebut
diselesaikan.
• Langkah 3: Pencocokan himpunan pola dengan tabel waktu.
Langkah ini adalah perpaduan dari Langkah 1 dan Langkah 2, yaitu
mencocokkan himpunan pola dengan tabel waktu. Pada langkah ini dihasilkan jadwal
pertandingan selama satu musim kompetisi.
IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA
4.1 Masalah Penjadwalan Pertandingan
Kategori