Definisi 7 Pemrograman Linear Relaksasi PL-Relaksasi merupakan pemrograman
linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau
kendala 0-1 pada setiap variabelnya.
Untuk masalah meminimumkan, nilai fungsi objektif yang optimum di PL-relaksasi
lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimum di IP, sedangkan untuk
masalah memaksimumkan nilai fungsi objektif yang optimum di PL-relaksasi lebih
besar atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimum di IP.
[Winston, 1995]
2.3 Metode Branch and Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah IP
digunakan software LINGO 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk aplikasi riset
operasi dalam membangun dan menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi
integer
dengan prinsip pemecahannya berdasarkan metode branch and bound.
Keunggulan metode ini terletak pada tingkat efektifitasnya dalam memecahkan masalah
dengan hasil yang akurat. Prinsip
dasar metode
branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah
PL-relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem. Daerah fisibel pemrograman
linear adalah daerah yang memenuhi semua kendala pemrograman linear.
Ö
Branch Membuat partisi daerah solusi dari
masalah PL-relaksaasi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi
yang takfisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk
menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang takfisibel terhapus. Dengan
kata lain, hasil pengumpulan lengkap dari subproblem-subproblem ini menunjukkan
setiap titik integer yang fisibel dalam masalah asli. Proses ini dinamakan branching.
Ö
Bound Misalkan masalah tersebut diasumsikan
merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimum untuk setiap subproblem dibuat
dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan
dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan
menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan bounding.
[Taha, 1975] Aspek kunci dari metode branch and bound
adalah sebagai berikut. Langkah 1: Periksa apakah IP memenuhi
kondisi berikut. 1
Subproblem takfisibel. 2
Subproblem menghasilkan solusi optimum dengan semua variabel bernilai integer.
3 Nilai optimum nilai efektif yang dapat
dicapai untuk subproblem lebih kecil dari dalam masalah memaksimumkan batas
bawah lower bound. Jika ketiga kondisi tersebut terpenuhi maka
cabang subproblem tidak diperlukan. Langkah 2: Sebuah subproblem mungkin
dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut.
1
Subproblem takfisibel. 2
Batas bawah yang menunjukkan nilai optimum dari kandidat terbaik setidaknya
lebih besar dari nilai optimum nilai efektif yang dapat dicapai subproblem.
[Winston, 1995]
Contoh 2 Misalkan diberikan pemrograman integer IP
sebagai berikut: maksimumkan
1 2
5 4
z x
x =
+ terhadap:
1 2
5
x x
+ ≤
1 2
10 6
45
x x
+ ≤
1 2
,
x x ≥
dan integer Daerah fisibel untuk masalah IP tersebut
diperlihatkan oleh titik-titik pada Gambar 1, sedangkan daerah yang diarsir pada Gambar 1
merupakan daerah fisibel untuk PL-relaksasi.
Gambar 1 Daerah Fisibel IP dan PL-relaksasi. PL-relaksasi dari IP pada Contoh 2
selanjutnya disebut Subproblem 1 diselesaikan dengan menggunakan software
LINDO 6.1 dan diperoleh solusi optimum x
1
= 3.75, x
2
= 1.25, dan z = 23.75 lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 1. Solusi tersebut tidak
memenuhi kendala integer. Oleh karena itu, x
1
= 3.75
x
2
=1.25 Solusi Optimum Subproblem 1
harus dibuat subproblem baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi kendala
bilangan bulat. Misalkan dipilih x
1
= 3.75 secara sembarang. Diketahui bahwa daerah
1
3 4
x ≤
≤ dari daerah fisibel Subproblem 1
tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer
bilangan bulat, maka dibuat subproblem baru yakni:
• Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah
kendala
1
3;
x ≤
• Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala
1
4.
x ≥
Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:
Gambar 2 Daerah Fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.
Sekarang akan diselesaikan Subproblem 2 dan Subproblem 3 satu per satu. Misalkan
Subproblem 2 dipilih pertama kali untuk diselesaikan, yaitu:
maksimumkan
1 2
5 4
z x
x =
+ terhadap:
1 2
5
x x
+ ≤
1 2
10 6
45
x x
+ ≤
1
3
x ≤
1 2
,
x x ≥
Dengan menyelesaikan Subproblem 2 tersebut diperoleh solusi x
1
= 3, x
2
= 2, dan z = 23 lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 2.
Semua variabel bernilai bilangan bulat solusinya memenuhi kendala bilangan bulat,
maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Persamaan ini dijadikan
kandidat solusi bagi masalah IP. Sekarang akan dipecahkan Subproblem 3, yaitu:
maksimumkan
1 2
5 4
z x
x =
+ terhadap:
1 2
5
x x
+ ≤
1 2
10 6
45
x x
+ ≤
1
4
x
≥
1 2
,
x x ≥
Setiap titik solusi fisibel dari IP pada Contoh 2 termuat dalam daerah fisibel
Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2
dan Subproblem 3 dicabangkan oleh
1
.
x Sekarang dipilih subproblem yang belum
diselesaikan, yaitu Subproblem 3, kemudian diselesaikan sehingga diperoleh solusi
optimum untuk Subproblem 3 ini adalah
1 2
4, 0.8333,
x x
= =
dan
23.3333
z =
lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 3. Karena
nilai fungsi objektif yang diperoleh dari Subproblem 1 lebih baik lebih besar dari
pada nilai fungsi objektif yang diperoleh dari Subproblem 2, maka batas bawah bagi
masalah ini adalah
23.75.
z =
Karena solusi optimum Subproblem 3 bukan solusi integer, maka dipilih
pencabangan pada Subproblem 3 atas
2
,
x sehingga diperoleh dua subproblem lagi,
yakni: • Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah
kendala
2
0;
x ≤
• Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala
2
1.
x ≥
Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan yaitu Subproblem 4 atau
Subproblem 5. Subproblem 5 takfisibel lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 5 karena
tidak memiliki solusi fisibel, maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan
solusi optimum.
Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah
1 2
4.5, 0, dan 22.5
x x
z =
= =
lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4. Batas
bawah bagi masalah ini adalah 23.75,
z =
karena nilai dari masalah ini lebih baik daripada nilai objektif yang diperoleh
dari Subproblem 4. Penyelesaian Subproblem 2 menghasilkan
solusi optimum
1 2
3, 2, x
x =
= 23.
z =
Nilai objektif dari Subproblem 4 tidak lebih baik
dari nilai objektif yang dihasilkan oleh Subproblem 2. Dengan demikian, nilai solusi
optimum Subproblem 2, yakni 23
z =
menjadi batas bawah yang baru. Solusi optimum dari Subproblem 2
merupakan solusi optimum IP pada Contoh 2, yakni
1 2
3, 2, x
x =
= dan 23.
z =
Subproblem untuk permasalahan IP tersebut diberikan
pada Gambar 3 mengenai pencabangan untuk menentukan solusi IP. Tanda menyatakan
kandidat solusi optimum untuk masalah IP tersebut.
Gambar 3 Pencabangan yang dilakukan metode branch and bound untuk menentukan solusi IP.
III PEMODELAN
3.1 Model Penjadwalan Pertandingan
